source-1233022809.txt

   1 Fun with calculus after midnight
   2
   3 Problem: what is the shortest way of defining a variable consisting of ''N''
   4 spaces?  I.e. for ''N=80'' the result will look something like
   5
   6 <bash>
   7 s='    '
   8 s="$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s$s"
   9 </bash>
  10
  11 Let's see.  Let the minimal number of characters needed be ''A(N)''.  For
  12 simplicity, let's say that we only use one variable.  Then, certainly, ''A(N)''
  13 cannot be larger than ''5+N'', as we could define a variable using 1 character
  14 for the name, 1 for the equal sign, 2 for the quotes, and one for the semicolon
  15 or newline character (whichever).
  16
  17 Now, let's assume ''N'' is a product ''K*L''.  Then certainly, ''A(N)'' cannot
  18 be larger than ''A(K)+5+2*L'', as we could first define a variable that has
  19 exactly ''K'' spaces and then use that to define the end result (in the example
  20 above, ''K=5'' and ''L=20'').
  21
  22 So, for which ''N=K*L'' is it better to use two definitions instead of one?
  23
  24 Simple calculus says that ''5+K*L>5+K+5+2*L'' must hold true, or (after some
  25 scribbling): ''L>1+7/(K-2)''. Which means that it makes no sense to define
  26 a variable with 1 or 2 spaces first, which is kinda obvious (writing '$s'
  27 alone would use two characters, so we could write the spaces right away).
  28
  29 But what for the other values?  For ''K=3'', ''L'' must be at least 9 to make
  30 sense (in other words, ''N'' must be at least 27).  For ''K=4'', ''L'' needs
  31 to be greater or equal to 5 (''N>=20''), the next pairs are ''(5,4)'',
  32 ''(6,3)'', ''(7,3)'', ''(8,3)'', ''(9,3)'' and starting with ''K=10'', any
  33 ''L>1'' makes sense.
  34
  35 The second definition can also contain spaces at the end, however, so for any
  36 ''N=K*L+M'', ''A(N)'' cannot be larger than ''A(K)+5+2*L+M''.
  37
  38 Not surprisingly, this leads to exactly the same ''L>1+7/(K-2)'' (as we can
  39 append the ''M'' spaces in the last definition, no matter if we use 1 or
  40 2 definitions).
  41
  42 However, that means that as soon as ''N>=18'', we should use two definitions,
  43 prior to that, it makes no sense.
  44
  45 So for ''N<18'', ''A(N)=5+N''.
  46
  47 But what ''K'' should one choose, i.e. how many spaces in the first definition?
  48 In other words, what is ''A(N)'' given that we use two definitions?
  49
  50 That will have to wait for another midnight.  Just a teaser: ''A(80)=36''.  Oh,
  51 and with 80 characters, you can define a string of 9900 spaces...