libstdc++-v3/include/tr1/modified_bessel_func.tcc

   1 // Special functions -*- C++ -*-
   2
   3 // Copyright (C) 2006-2017 Free Software Foundation, Inc.
   4 //
   5 // This file is part of the GNU ISO C++ Library.  This library is free
   6 // software; you can redistribute it and/or modify it under the
   7 // terms of the GNU General Public License as published by the
   8 // Free Software Foundation; either version 3, or (at your option)
   9 // any later version.
  10 //
  11 // This library is distributed in the hope that it will be useful,
  12 // but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  13 // MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  14 // GNU General Public License for more details.
  15 //
  16 // Under Section 7 of GPL version 3, you are granted additional
  17 // permissions described in the GCC Runtime Library Exception, version
  18 // 3.1, as published by the Free Software Foundation.
  19
  20 // You should have received a copy of the GNU General Public License and
  21 // a copy of the GCC Runtime Library Exception along with this program;
  22 // see the files COPYING3 and COPYING.RUNTIME respectively.  If not, see
  23 // <http://www.gnu.org/licenses/>.
  24
  25 /** @file tr1/modified_bessel_func.tcc
  26  *  This is an internal header file, included by other library headers.
  27  *  Do not attempt to use it directly. @headername{tr1/cmath}
  28  */
  29
  30 //
  31 // ISO C++ 14882 TR1: 5.2  Special functions
  32 //
  33
  34 // Written by Edward Smith-Rowland.
  35 //
  36 // References:
  37 //   (1) Handbook of Mathematical Functions,
  38 //       Ed. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun,
  39 //       Dover Publications,
  40 //       Section 9, pp. 355-434, Section 10 pp. 435-478
  41 //   (2) The Gnu Scientific Library, http://www.gnu.org/software/gsl
  42 //   (3) Numerical Recipes in C, by W. H. Press, S. A. Teukolsky,
  43 //       W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Cambridge University Press (1992),
  44 //       2nd ed, pp. 246-249.
  45
  46 #ifndef _GLIBCXX_TR1_MODIFIED_BESSEL_FUNC_TCC
  47 #define _GLIBCXX_TR1_MODIFIED_BESSEL_FUNC_TCC 1
  48
  49 #include "special_function_util.h"
  50
  51 namespace std _GLIBCXX_VISIBILITY(default)
  52 {
  53 _GLIBCXX_BEGIN_NAMESPACE_VERSION
  54
  55 #if _GLIBCXX_USE_STD_SPEC_FUNCS
  56 #elif defined(_GLIBCXX_TR1_CMATH)
  57 namespace tr1
  58 {
  59 #else
  60 # error do not include this header directly, use <cmath> or <tr1/cmath>
  61 #endif
  62   // [5.2] Special functions
  63
  64   // Implementation-space details.
  65   namespace __detail
  66   {
  67     /**
  68      *   @brief  Compute the modified Bessel functions @f$ I_\nu(x) @f$ and
  69      *           @f$ K_\nu(x) @f$ and their first derivatives
  70      *           @f$ I'_\nu(x) @f$ and @f$ K'_\nu(x) @f$ respectively.
  71      *           These four functions are computed together for numerical
  72      *           stability.
  73      *
  74      *   @param  __nu  The order of the Bessel functions.
  75      *   @param  __x   The argument of the Bessel functions.
  76      *   @param  __Inu  The output regular modified Bessel function.
  77      *   @param  __Knu  The output irregular modified Bessel function.
  78      *   @param  __Ipnu  The output derivative of the regular
  79      *                   modified Bessel function.
  80      *   @param  __Kpnu  The output derivative of the irregular
  81      *                   modified Bessel function.
  82      */
  83     template <typename _Tp>
  84     void
  85     __bessel_ik(_Tp __nu, _Tp __x,
  86                 _Tp & __Inu, _Tp & __Knu, _Tp & __Ipnu, _Tp & __Kpnu)
  87     {
  88       if (__x == _Tp(0))
  89         {
  90           if (__nu == _Tp(0))
  91             {
  92               __Inu = _Tp(1);
  93               __Ipnu = _Tp(0);
  94             }
  95           else if (__nu == _Tp(1))
  96             {
  97               __Inu = _Tp(0);
  98               __Ipnu = _Tp(0.5L);
  99             }
 100           else
 101             {
 102               __Inu = _Tp(0);
 103               __Ipnu = _Tp(0);
 104             }
 105           __Knu = std::numeric_limits<_Tp>::infinity();
 106           __Kpnu = -std::numeric_limits<_Tp>::infinity();
 107           return;
 108         }
 109
 110       const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 111       const _Tp __fp_min = _Tp(10) * std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 112       const int __max_iter = 15000;
 113       const _Tp __x_min = _Tp(2);
 114
 115       const int __nl = static_cast<int>(__nu + _Tp(0.5L));
 116
 117       const _Tp __mu = __nu - __nl;
 118       const _Tp __mu2 = __mu * __mu;
 119       const _Tp __xi = _Tp(1) / __x;
 120       const _Tp __xi2 = _Tp(2) * __xi;
 121       _Tp __h = __nu * __xi;
 122       if ( __h < __fp_min )
 123         __h = __fp_min;
 124       _Tp __b = __xi2 * __nu;
 125       _Tp __d = _Tp(0);
 126       _Tp __c = __h;
 127       int __i;
 128       for ( __i = 1; __i <= __max_iter; ++__i )
 129         {
 130           __b += __xi2;
 131           __d = _Tp(1) / (__b + __d);
 132           __c = __b + _Tp(1) / __c;
 133           const _Tp __del = __c * __d;
 134           __h *= __del;
 135           if (std::abs(__del - _Tp(1)) < __eps)
 136             break;
 137         }
 138       if (__i > __max_iter)
 139         std::__throw_runtime_error(__N("Argument x too large "
 140                                        "in __bessel_ik; "
 141                                        "try asymptotic expansion."));
 142       _Tp __Inul = __fp_min;
 143       _Tp __Ipnul = __h * __Inul;
 144       _Tp __Inul1 = __Inul;
 145       _Tp __Ipnu1 = __Ipnul;
 146       _Tp __fact = __nu * __xi;
 147       for (int __l = __nl; __l >= 1; --__l)
 148         {
 149           const _Tp __Inutemp = __fact * __Inul + __Ipnul;
 150           __fact -= __xi;
 151           __Ipnul = __fact * __Inutemp + __Inul;
 152           __Inul = __Inutemp;
 153         }
 154       _Tp __f = __Ipnul / __Inul;
 155       _Tp __Kmu, __Knu1;
 156       if (__x < __x_min)
 157         {
 158           const _Tp __x2 = __x / _Tp(2);
 159           const _Tp __pimu = __numeric_constants<_Tp>::__pi() * __mu;
 160           const _Tp __fact = (std::abs(__pimu) < __eps
 161                             ? _Tp(1) : __pimu / std::sin(__pimu));
 162           _Tp __d = -std::log(__x2);
 163           _Tp __e = __mu * __d;
 164           const _Tp __fact2 = (std::abs(__e) < __eps
 165                             ? _Tp(1) : std::sinh(__e) / __e);
 166           _Tp __gam1, __gam2, __gampl, __gammi;
 167           __gamma_temme(__mu, __gam1, __gam2, __gampl, __gammi);
 168           _Tp __ff = __fact
 169                    * (__gam1 * std::cosh(__e) + __gam2 * __fact2 * __d);
 170           _Tp __sum = __ff;
 171           __e = std::exp(__e);
 172           _Tp __p = __e / (_Tp(2) * __gampl);
 173           _Tp __q = _Tp(1) / (_Tp(2) * __e * __gammi);
 174           _Tp __c = _Tp(1);
 175           __d = __x2 * __x2;
 176           _Tp __sum1 = __p;
 177           int __i;
 178           for (__i = 1; __i <= __max_iter; ++__i)
 179             {
 180               __ff = (__i * __ff + __p + __q) / (__i * __i - __mu2);
 181               __c *= __d / __i;
 182               __p /= __i - __mu;
 183               __q /= __i + __mu;
 184               const _Tp __del = __c * __ff;
 185               __sum += __del;
 186               const _Tp __del1 = __c * (__p - __i * __ff);
 187               __sum1 += __del1;
 188               if (std::abs(__del) < __eps * std::abs(__sum))
 189                 break;
 190             }
 191           if (__i > __max_iter)
 192             std::__throw_runtime_error(__N("Bessel k series failed to converge "
 193                                            "in __bessel_ik."));
 194           __Kmu = __sum;
 195           __Knu1 = __sum1 * __xi2;
 196         }
 197       else
 198         {
 199           _Tp __b = _Tp(2) * (_Tp(1) + __x);
 200           _Tp __d = _Tp(1) / __b;
 201           _Tp __delh = __d;
 202           _Tp __h = __delh;
 203           _Tp __q1 = _Tp(0);
 204           _Tp __q2 = _Tp(1);
 205           _Tp __a1 = _Tp(0.25L) - __mu2;
 206           _Tp __q = __c = __a1;
 207           _Tp __a = -__a1;
 208           _Tp __s = _Tp(1) + __q * __delh;
 209           int __i;
 210           for (__i = 2; __i <= __max_iter; ++__i)
 211             {
 212               __a -= 2 * (__i - 1);
 213               __c = -__a * __c / __i;
 214               const _Tp __qnew = (__q1 - __b * __q2) / __a;
 215               __q1 = __q2;
 216               __q2 = __qnew;
 217               __q += __c * __qnew;
 218               __b += _Tp(2);
 219               __d = _Tp(1) / (__b + __a * __d);
 220               __delh = (__b * __d - _Tp(1)) * __delh;
 221               __h += __delh;
 222               const _Tp __dels = __q * __delh;
 223               __s += __dels;
 224               if ( std::abs(__dels / __s) < __eps )
 225                 break;
 226             }
 227           if (__i > __max_iter)
 228             std::__throw_runtime_error(__N("Steed's method failed "
 229                                            "in __bessel_ik."));
 230           __h = __a1 * __h;
 231           __Kmu = std::sqrt(__numeric_constants<_Tp>::__pi() / (_Tp(2) * __x))
 232                 * std::exp(-__x) / __s;
 233           __Knu1 = __Kmu * (__mu + __x + _Tp(0.5L) - __h) * __xi;
 234         }
 235
 236       _Tp __Kpmu = __mu * __xi * __Kmu - __Knu1;
 237       _Tp __Inumu = __xi / (__f * __Kmu - __Kpmu);
 238       __Inu = __Inumu * __Inul1 / __Inul;
 239       __Ipnu = __Inumu * __Ipnu1 / __Inul;
 240       for ( __i = 1; __i <= __nl; ++__i )
 241         {
 242           const _Tp __Knutemp = (__mu + __i) * __xi2 * __Knu1 + __Kmu;
 243           __Kmu = __Knu1;
 244           __Knu1 = __Knutemp;
 245         }
 246       __Knu = __Kmu;
 247       __Kpnu = __nu * __xi * __Kmu - __Knu1;
 248
 249       return;
 250     }
 251
 252
 253     /**
 254      *   @brief  Return the regular modified Bessel function of order
 255      *           \f$ \nu \f$: \f$ I_{\nu}(x) \f$.
 256      *
 257      *   The regular modified cylindrical Bessel function is:
 258      *   @f[
 259      *    I_{\nu}(x) = \sum_{k=0}^{\infty}
 260      *              \frac{(x/2)^{\nu + 2k}}{k!\Gamma(\nu+k+1)}
 261      *   @f]
 262      *
 263      *   @param  __nu  The order of the regular modified Bessel function.
 264      *   @param  __x   The argument of the regular modified Bessel function.
 265      *   @return  The output regular modified Bessel function.
 266      */
 267     template<typename _Tp>
 268     _Tp
 269     __cyl_bessel_i(_Tp __nu, _Tp __x)
 270     {
 271       if (__nu < _Tp(0) || __x < _Tp(0))
 272         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument "
 273                                       "in __cyl_bessel_i."));
 274       else if (__isnan(__nu) || __isnan(__x))
 275         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 276       else if (__x * __x < _Tp(10) * (__nu + _Tp(1)))
 277         return __cyl_bessel_ij_series(__nu, __x, +_Tp(1), 200);
 278       else
 279         {
 280           _Tp __I_nu, __K_nu, __Ip_nu, __Kp_nu;
 281           __bessel_ik(__nu, __x, __I_nu, __K_nu, __Ip_nu, __Kp_nu);
 282           return __I_nu;
 283         }
 284     }
 285
 286
 287     /**
 288      *   @brief  Return the irregular modified Bessel function
 289      *           \f$ K_{\nu}(x) \f$ of order \f$ \nu \f$.
 290      *
 291      *   The irregular modified Bessel function is defined by:
 292      *   @f[
 293      *      K_{\nu}(x) = \frac{\pi}{2}
 294      *                   \frac{I_{-\nu}(x) - I_{\nu}(x)}{\sin \nu\pi}
 295      *   @f]
 296      *   where for integral \f$ \nu = n \f$ a limit is taken:
 297      *   \f$ lim_{\nu \to n} \f$.
 298      *
 299      *   @param  __nu  The order of the irregular modified Bessel function.
 300      *   @param  __x   The argument of the irregular modified Bessel function.
 301      *   @return  The output irregular modified Bessel function.
 302      */
 303     template<typename _Tp>
 304     _Tp
 305     __cyl_bessel_k(_Tp __nu, _Tp __x)
 306     {
 307       if (__nu < _Tp(0) || __x < _Tp(0))
 308         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument "
 309                                       "in __cyl_bessel_k."));
 310       else if (__isnan(__nu) || __isnan(__x))
 311         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 312       else
 313         {
 314           _Tp __I_nu, __K_nu, __Ip_nu, __Kp_nu;
 315           __bessel_ik(__nu, __x, __I_nu, __K_nu, __Ip_nu, __Kp_nu);
 316           return __K_nu;
 317         }
 318     }
 319
 320
 321     /**
 322      *   @brief  Compute the spherical modified Bessel functions
 323      *           @f$ i_n(x) @f$ and @f$ k_n(x) @f$ and their first
 324      *           derivatives @f$ i'_n(x) @f$ and @f$ k'_n(x) @f$
 325      *           respectively.
 326      *
 327      *   @param  __n  The order of the modified spherical Bessel function.
 328      *   @param  __x  The argument of the modified spherical Bessel function.
 329      *   @param  __i_n  The output regular modified spherical Bessel function.
 330      *   @param  __k_n  The output irregular modified spherical
 331      *                  Bessel function.
 332      *   @param  __ip_n  The output derivative of the regular modified
 333      *                   spherical Bessel function.
 334      *   @param  __kp_n  The output derivative of the irregular modified
 335      *                   spherical Bessel function.
 336      */
 337     template <typename _Tp>
 338     void
 339     __sph_bessel_ik(unsigned int __n, _Tp __x,
 340                     _Tp & __i_n, _Tp & __k_n, _Tp & __ip_n, _Tp & __kp_n)
 341     {
 342       const _Tp __nu = _Tp(__n) + _Tp(0.5L);
 343
 344       _Tp __I_nu, __Ip_nu, __K_nu, __Kp_nu;
 345       __bessel_ik(__nu, __x, __I_nu, __K_nu, __Ip_nu, __Kp_nu);
 346
 347       const _Tp __factor = __numeric_constants<_Tp>::__sqrtpio2()
 348                          / std::sqrt(__x);
 349
 350       __i_n = __factor * __I_nu;
 351       __k_n = __factor * __K_nu;
 352       __ip_n = __factor * __Ip_nu - __i_n / (_Tp(2) * __x);
 353       __kp_n = __factor * __Kp_nu - __k_n / (_Tp(2) * __x);
 354
 355       return;
 356     }
 357
 358
 359     /**
 360      *   @brief  Compute the Airy functions
 361      *           @f$ Ai(x) @f$ and @f$ Bi(x) @f$ and their first
 362      *           derivatives @f$ Ai'(x) @f$ and @f$ Bi(x) @f$
 363      *           respectively.
 364      *
 365      *   @param  __x  The argument of the Airy functions.
 366      *   @param  __Ai  The output Airy function of the first kind.
 367      *   @param  __Bi  The output Airy function of the second kind.
 368      *   @param  __Aip  The output derivative of the Airy function
 369      *                  of the first kind.
 370      *   @param  __Bip  The output derivative of the Airy function
 371      *                  of the second kind.
 372      */
 373     template <typename _Tp>
 374     void
 375     __airy(_Tp __x, _Tp & __Ai, _Tp & __Bi, _Tp & __Aip, _Tp & __Bip)
 376     {
 377       const _Tp __absx = std::abs(__x);
 378       const _Tp __rootx = std::sqrt(__absx);
 379       const _Tp __z = _Tp(2) * __absx * __rootx / _Tp(3);
 380       const _Tp _S_NaN = std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 381       const _Tp _S_inf = std::numeric_limits<_Tp>::infinity();
 382
 383       if (__isnan(__x))
 384         __Bip = __Aip = __Bi = __Ai = std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 385       else if (__z == _S_inf)
 386         {
 387           __Aip = __Ai = _Tp{0};
 388           __Bip = __Bi = _S_inf;
 389         }
 390       else if (__z == -_S_inf)
 391         __Bip = __Aip = __Bi = __Ai = _Tp{0};
 392       else if (__x > _Tp(0))
 393         {
 394           _Tp __I_nu, __Ip_nu, __K_nu, __Kp_nu;
 395
 396           __bessel_ik(_Tp(1) / _Tp(3), __z, __I_nu, __K_nu, __Ip_nu, __Kp_nu);
 397           __Ai = __rootx * __K_nu
 398                / (__numeric_constants<_Tp>::__sqrt3()
 399                 * __numeric_constants<_Tp>::__pi());
 400           __Bi = __rootx * (__K_nu / __numeric_constants<_Tp>::__pi()
 401                  + _Tp(2) * __I_nu / __numeric_constants<_Tp>::__sqrt3());
 402
 403           __bessel_ik(_Tp(2) / _Tp(3), __z, __I_nu, __K_nu, __Ip_nu, __Kp_nu);
 404           __Aip = -__x * __K_nu
 405                 / (__numeric_constants<_Tp>::__sqrt3()
 406                  * __numeric_constants<_Tp>::__pi());
 407           __Bip = __x * (__K_nu / __numeric_constants<_Tp>::__pi()
 408                       + _Tp(2) * __I_nu
 409                       / __numeric_constants<_Tp>::__sqrt3());
 410         }
 411       else if (__x < _Tp(0))
 412         {
 413           _Tp __J_nu, __Jp_nu, __N_nu, __Np_nu;
 414
 415           __bessel_jn(_Tp(1) / _Tp(3), __z, __J_nu, __N_nu, __Jp_nu, __Np_nu);
 416           __Ai = __rootx * (__J_nu
 417                     - __N_nu / __numeric_constants<_Tp>::__sqrt3()) / _Tp(2);
 418           __Bi = -__rootx * (__N_nu
 419                     + __J_nu / __numeric_constants<_Tp>::__sqrt3()) / _Tp(2);
 420
 421           __bessel_jn(_Tp(2) / _Tp(3), __z, __J_nu, __N_nu, __Jp_nu, __Np_nu);
 422           __Aip = __absx * (__N_nu / __numeric_constants<_Tp>::__sqrt3()
 423                           + __J_nu) / _Tp(2);
 424           __Bip = __absx * (__J_nu / __numeric_constants<_Tp>::__sqrt3()
 425                           - __N_nu) / _Tp(2);
 426         }
 427       else
 428         {
 429           //  Reference:
 430           //    Abramowitz & Stegun, page 446 section 10.4.4 on Airy functions.
 431           //  The number is Ai(0) = 3^{-2/3}/\Gamma(2/3).
 432           __Ai = _Tp(0.35502805388781723926L);
 433           __Bi = __Ai * __numeric_constants<_Tp>::__sqrt3();
 434
 435           //  Reference:
 436           //    Abramowitz & Stegun, page 446 section 10.4.5 on Airy functions.
 437           //  The number is Ai'(0) = -3^{-1/3}/\Gamma(1/3).
 438           __Aip = -_Tp(0.25881940379280679840L);
 439           __Bip = -__Aip * __numeric_constants<_Tp>::__sqrt3();
 440         }
 441
 442       return;
 443     }
 444   } // namespace __detail
 445 #if ! _GLIBCXX_USE_STD_SPEC_FUNCS && defined(_GLIBCXX_TR1_CMATH)
 446 } // namespace tr1
 447 #endif
 448
 449 _GLIBCXX_END_NAMESPACE_VERSION
 450 }
 451
 452 #endif // _GLIBCXX_TR1_MODIFIED_BESSEL_FUNC_TCC