libstdc++-v3/include/tr1/ell_integral.tcc

   1 // Special functions -*- C++ -*-
   2
   3 // Copyright (C) 2006-2023 Free Software Foundation, Inc.
   4 //
   5 // This file is part of the GNU ISO C++ Library.  This library is free
   6 // software; you can redistribute it and/or modify it under the
   7 // terms of the GNU General Public License as published by the
   8 // Free Software Foundation; either version 3, or (at your option)
   9 // any later version.
  10 //
  11 // This library is distributed in the hope that it will be useful,
  12 // but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  13 // MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
  14 // GNU General Public License for more details.
  15 //
  16 // Under Section 7 of GPL version 3, you are granted additional
  17 // permissions described in the GCC Runtime Library Exception, version
  18 // 3.1, as published by the Free Software Foundation.
  19
  20 // You should have received a copy of the GNU General Public License and
  21 // a copy of the GCC Runtime Library Exception along with this program;
  22 // see the files COPYING3 and COPYING.RUNTIME respectively.  If not, see
  23 // <http://www.gnu.org/licenses/>.
  24
  25 /** @file tr1/ell_integral.tcc
  26  *  This is an internal header file, included by other library headers.
  27  *  Do not attempt to use it directly. @headername{tr1/cmath}
  28  */
  29
  30 //
  31 // ISO C++ 14882 TR1: 5.2  Special functions
  32 //
  33
  34 // Written by Edward Smith-Rowland based on:
  35 //   (1)  B. C. Carlson Numer. Math. 33, 1 (1979)
  36 //   (2)  B. C. Carlson, Special Functions of Applied Mathematics (1977)
  37 //   (3)  The Gnu Scientific Library, http://www.gnu.org/software/gsl
  38 //   (4)  Numerical Recipes in C, 2nd ed, by W. H. Press, S. A. Teukolsky,
  39 //        W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Cambridge University Press
  40 //        (1992), pp. 261-269
  41
  42 #ifndef _GLIBCXX_TR1_ELL_INTEGRAL_TCC
  43 #define _GLIBCXX_TR1_ELL_INTEGRAL_TCC 1
  44
  45 namespace std _GLIBCXX_VISIBILITY(default)
  46 {
  47 _GLIBCXX_BEGIN_NAMESPACE_VERSION
  48
  49 #if _GLIBCXX_USE_STD_SPEC_FUNCS
  50 #elif defined(_GLIBCXX_TR1_CMATH)
  51 namespace tr1
  52 {
  53 #else
  54 # error do not include this header directly, use <cmath> or <tr1/cmath>
  55 #endif
  56   // [5.2] Special functions
  57
  58   // Implementation-space details.
  59   namespace __detail
  60   {
  61     /**
  62      *   @brief Return the Carlson elliptic function @f$ R_F(x,y,z) @f$
  63      *          of the first kind.
  64      *
  65      *   The Carlson elliptic function of the first kind is defined by:
  66      *   @f[
  67      *       R_F(x,y,z) = \frac{1}{2} \int_0^\infty
  68      *                 \frac{dt}{(t + x)^{1/2}(t + y)^{1/2}(t + z)^{1/2}}
  69      *   @f]
  70      *
  71      *   @param  __x  The first of three symmetric arguments.
  72      *   @param  __y  The second of three symmetric arguments.
  73      *   @param  __z  The third of three symmetric arguments.
  74      *   @return  The Carlson elliptic function of the first kind.
  75      */
  76     template<typename _Tp>
  77     _Tp
  78     __ellint_rf(_Tp __x, _Tp __y, _Tp __z)
  79     {
  80       const _Tp __min = std::numeric_limits<_Tp>::min();
  81       const _Tp __lolim = _Tp(5) * __min;
  82
  83       if (__x < _Tp(0) || __y < _Tp(0) || __z < _Tp(0))
  84         std::__throw_domain_error(__N("Argument less than zero "
  85                                       "in __ellint_rf."));
  86       else if (__x + __y < __lolim || __x + __z < __lolim
  87             || __y + __z < __lolim)
  88         std::__throw_domain_error(__N("Argument too small in __ellint_rf"));
  89       else
  90         {
  91           const _Tp __c0 = _Tp(1) / _Tp(4);
  92           const _Tp __c1 = _Tp(1) / _Tp(24);
  93           const _Tp __c2 = _Tp(1) / _Tp(10);
  94           const _Tp __c3 = _Tp(3) / _Tp(44);
  95           const _Tp __c4 = _Tp(1) / _Tp(14);
  96
  97           _Tp __xn = __x;
  98           _Tp __yn = __y;
  99           _Tp __zn = __z;
 100
 101           const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 102           const _Tp __errtol = std::pow(__eps, _Tp(1) / _Tp(6));
 103           _Tp __mu;
 104           _Tp __xndev, __yndev, __zndev;
 105
 106           const unsigned int __max_iter = 100;
 107           for (unsigned int __iter = 0; __iter < __max_iter; ++__iter)
 108             {
 109               __mu = (__xn + __yn + __zn) / _Tp(3);
 110               __xndev = 2 - (__mu + __xn) / __mu;
 111               __yndev = 2 - (__mu + __yn) / __mu;
 112               __zndev = 2 - (__mu + __zn) / __mu;
 113               _Tp __epsilon = std::max(std::abs(__xndev), std::abs(__yndev));
 114               __epsilon = std::max(__epsilon, std::abs(__zndev));
 115               if (__epsilon < __errtol)
 116                 break;
 117               const _Tp __xnroot = std::sqrt(__xn);
 118               const _Tp __ynroot = std::sqrt(__yn);
 119               const _Tp __znroot = std::sqrt(__zn);
 120               const _Tp __lambda = __xnroot * (__ynroot + __znroot)
 121                                  + __ynroot * __znroot;
 122               __xn = __c0 * (__xn + __lambda);
 123               __yn = __c0 * (__yn + __lambda);
 124               __zn = __c0 * (__zn + __lambda);
 125             }
 126
 127           const _Tp __e2 = __xndev * __yndev - __zndev * __zndev;
 128           const _Tp __e3 = __xndev * __yndev * __zndev;
 129           const _Tp __s  = _Tp(1) + (__c1 * __e2 - __c2 - __c3 * __e3) * __e2
 130                    + __c4 * __e3;
 131
 132           return __s / std::sqrt(__mu);
 133         }
 134     }
 135
 136
 137     /**
 138      *   @brief Return the complete elliptic integral of the first kind
 139      *          @f$ K(k) @f$ by series expansion.
 140      *
 141      *   The complete elliptic integral of the first kind is defined as
 142      *   @f[
 143      *     K(k) = F(k,\pi/2) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}
 144      *                              {\sqrt{1 - k^2sin^2\theta}}
 145      *   @f]
 146      *
 147      *   This routine is not bad as long as |k| is somewhat smaller than 1
 148      *   but is not is good as the Carlson elliptic integral formulation.
 149      *
 150      *   @param  __k  The argument of the complete elliptic function.
 151      *   @return  The complete elliptic function of the first kind.
 152      */
 153     template<typename _Tp>
 154     _Tp
 155     __comp_ellint_1_series(_Tp __k)
 156     {
 157
 158       const _Tp __kk = __k * __k;
 159
 160       _Tp __term = __kk / _Tp(4);
 161       _Tp __sum = _Tp(1) + __term;
 162
 163       const unsigned int __max_iter = 1000;
 164       for (unsigned int __i = 2; __i < __max_iter; ++__i)
 165         {
 166           __term *= (2 * __i - 1) * __kk / (2 * __i);
 167           if (__term < std::numeric_limits<_Tp>::epsilon())
 168             break;
 169           __sum += __term;
 170         }
 171
 172       return __numeric_constants<_Tp>::__pi_2() * __sum;
 173     }
 174
 175
 176     /**
 177      *   @brief  Return the complete elliptic integral of the first kind
 178      *           @f$ K(k) @f$ using the Carlson formulation.
 179      *
 180      *   The complete elliptic integral of the first kind is defined as
 181      *   @f[
 182      *     K(k) = F(k,\pi/2) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}
 183      *                                           {\sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}}
 184      *   @f]
 185      *   where @f$ F(k,\phi) @f$ is the incomplete elliptic integral of the
 186      *   first kind.
 187      *
 188      *   @param  __k  The argument of the complete elliptic function.
 189      *   @return  The complete elliptic function of the first kind.
 190      */
 191     template<typename _Tp>
 192     _Tp
 193     __comp_ellint_1(_Tp __k)
 194     {
 195
 196       if (__isnan(__k))
 197         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 198       else if (std::abs(__k) >= _Tp(1))
 199         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 200       else
 201         return __ellint_rf(_Tp(0), _Tp(1) - __k * __k, _Tp(1));
 202     }
 203
 204
 205     /**
 206      *   @brief  Return the incomplete elliptic integral of the first kind
 207      *           @f$ F(k,\phi) @f$ using the Carlson formulation.
 208      *
 209      *   The incomplete elliptic integral of the first kind is defined as
 210      *   @f[
 211      *     F(k,\phi) = \int_0^{\phi}\frac{d\theta}
 212      *                                   {\sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}}
 213      *   @f]
 214      *
 215      *   @param  __k  The argument of the elliptic function.
 216      *   @param  __phi  The integral limit argument of the elliptic function.
 217      *   @return  The elliptic function of the first kind.
 218      */
 219     template<typename _Tp>
 220     _Tp
 221     __ellint_1(_Tp __k, _Tp __phi)
 222     {
 223
 224       if (__isnan(__k) || __isnan(__phi))
 225         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 226       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 227         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __ellint_1."));
 228       else
 229         {
 230           //  Reduce phi to -pi/2 < phi < +pi/2.
 231           const int __n = std::floor(__phi / __numeric_constants<_Tp>::__pi()
 232                                    + _Tp(0.5L));
 233           const _Tp __phi_red = __phi
 234                               - __n * __numeric_constants<_Tp>::__pi();
 235
 236           const _Tp __s = std::sin(__phi_red);
 237           const _Tp __c = std::cos(__phi_red);
 238
 239           const _Tp __F = __s
 240                         * __ellint_rf(__c * __c,
 241                                 _Tp(1) - __k * __k * __s * __s, _Tp(1));
 242
 243           if (__n == 0)
 244             return __F;
 245           else
 246             return __F + _Tp(2) * __n * __comp_ellint_1(__k);
 247         }
 248     }
 249
 250
 251     /**
 252      *   @brief Return the complete elliptic integral of the second kind
 253      *          @f$ E(k) @f$ by series expansion.
 254      *
 255      *   The complete elliptic integral of the second kind is defined as
 256      *   @f[
 257      *     E(k,\pi/2) = \int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}
 258      *   @f]
 259      *
 260      *   This routine is not bad as long as |k| is somewhat smaller than 1
 261      *   but is not is good as the Carlson elliptic integral formulation.
 262      *
 263      *   @param  __k  The argument of the complete elliptic function.
 264      *   @return  The complete elliptic function of the second kind.
 265      */
 266     template<typename _Tp>
 267     _Tp
 268     __comp_ellint_2_series(_Tp __k)
 269     {
 270
 271       const _Tp __kk = __k * __k;
 272
 273       _Tp __term = __kk;
 274       _Tp __sum = __term;
 275
 276       const unsigned int __max_iter = 1000;
 277       for (unsigned int __i = 2; __i < __max_iter; ++__i)
 278         {
 279           const _Tp __i2m = 2 * __i - 1;
 280           const _Tp __i2 = 2 * __i;
 281           __term *= __i2m * __i2m * __kk / (__i2 * __i2);
 282           if (__term < std::numeric_limits<_Tp>::epsilon())
 283             break;
 284           __sum += __term / __i2m;
 285         }
 286
 287       return __numeric_constants<_Tp>::__pi_2() * (_Tp(1) - __sum);
 288     }
 289
 290
 291     /**
 292      *   @brief  Return the Carlson elliptic function of the second kind
 293      *           @f$ R_D(x,y,z) = R_J(x,y,z,z) @f$ where
 294      *           @f$ R_J(x,y,z,p) @f$ is the Carlson elliptic function
 295      *           of the third kind.
 296      *
 297      *   The Carlson elliptic function of the second kind is defined by:
 298      *   @f[
 299      *       R_D(x,y,z) = \frac{3}{2} \int_0^\infty
 300      *                 \frac{dt}{(t + x)^{1/2}(t + y)^{1/2}(t + z)^{3/2}}
 301      *   @f]
 302      *
 303      *   Based on Carlson's algorithms:
 304      *   -  B. C. Carlson Numer. Math. 33, 1 (1979)
 305      *   -  B. C. Carlson, Special Functions of Applied Mathematics (1977)
 306      *   -  Numerical Recipes in C, 2nd ed, pp. 261-269,
 307      *      by Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery (1992)
 308      *
 309      *   @param  __x  The first of two symmetric arguments.
 310      *   @param  __y  The second of two symmetric arguments.
 311      *   @param  __z  The third argument.
 312      *   @return  The Carlson elliptic function of the second kind.
 313      */
 314     template<typename _Tp>
 315     _Tp
 316     __ellint_rd(_Tp __x, _Tp __y, _Tp __z)
 317     {
 318       const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 319       const _Tp __errtol = std::pow(__eps / _Tp(8), _Tp(1) / _Tp(6));
 320       const _Tp __max = std::numeric_limits<_Tp>::max();
 321       const _Tp __lolim = _Tp(2) / std::pow(__max, _Tp(2) / _Tp(3));
 322
 323       if (__x < _Tp(0) || __y < _Tp(0))
 324         std::__throw_domain_error(__N("Argument less than zero "
 325                                       "in __ellint_rd."));
 326       else if (__x + __y < __lolim || __z < __lolim)
 327         std::__throw_domain_error(__N("Argument too small "
 328                                       "in __ellint_rd."));
 329       else
 330         {
 331           const _Tp __c0 = _Tp(1) / _Tp(4);
 332           const _Tp __c1 = _Tp(3) / _Tp(14);
 333           const _Tp __c2 = _Tp(1) / _Tp(6);
 334           const _Tp __c3 = _Tp(9) / _Tp(22);
 335           const _Tp __c4 = _Tp(3) / _Tp(26);
 336
 337           _Tp __xn = __x;
 338           _Tp __yn = __y;
 339           _Tp __zn = __z;
 340           _Tp __sigma = _Tp(0);
 341           _Tp __power4 = _Tp(1);
 342
 343           _Tp __mu;
 344           _Tp __xndev, __yndev, __zndev;
 345
 346           const unsigned int __max_iter = 100;
 347           for (unsigned int __iter = 0; __iter < __max_iter; ++__iter)
 348             {
 349               __mu = (__xn + __yn + _Tp(3) * __zn) / _Tp(5);
 350               __xndev = (__mu - __xn) / __mu;
 351               __yndev = (__mu - __yn) / __mu;
 352               __zndev = (__mu - __zn) / __mu;
 353               _Tp __epsilon = std::max(std::abs(__xndev), std::abs(__yndev));
 354               __epsilon = std::max(__epsilon, std::abs(__zndev));
 355               if (__epsilon < __errtol)
 356                 break;
 357               _Tp __xnroot = std::sqrt(__xn);
 358               _Tp __ynroot = std::sqrt(__yn);
 359               _Tp __znroot = std::sqrt(__zn);
 360               _Tp __lambda = __xnroot * (__ynroot + __znroot)
 361                            + __ynroot * __znroot;
 362               __sigma += __power4 / (__znroot * (__zn + __lambda));
 363               __power4 *= __c0;
 364               __xn = __c0 * (__xn + __lambda);
 365               __yn = __c0 * (__yn + __lambda);
 366               __zn = __c0 * (__zn + __lambda);
 367             }
 368
 369           _Tp __ea = __xndev * __yndev;
 370           _Tp __eb = __zndev * __zndev;
 371           _Tp __ec = __ea - __eb;
 372           _Tp __ed = __ea - _Tp(6) * __eb;
 373           _Tp __ef = __ed + __ec + __ec;
 374           _Tp __s1 = __ed * (-__c1 + __c3 * __ed
 375                                    / _Tp(3) - _Tp(3) * __c4 * __zndev * __ef
 376                                    / _Tp(2));
 377           _Tp __s2 = __zndev
 378                    * (__c2 * __ef
 379                     + __zndev * (-__c3 * __ec - __zndev * __c4 - __ea));
 380
 381           return _Tp(3) * __sigma + __power4 * (_Tp(1) + __s1 + __s2)
 382                                         / (__mu * std::sqrt(__mu));
 383         }
 384     }
 385
 386
 387     /**
 388      *   @brief  Return the complete elliptic integral of the second kind
 389      *           @f$ E(k) @f$ using the Carlson formulation.
 390      *
 391      *   The complete elliptic integral of the second kind is defined as
 392      *   @f[
 393      *     E(k,\pi/2) = \int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}
 394      *   @f]
 395      *
 396      *   @param  __k  The argument of the complete elliptic function.
 397      *   @return  The complete elliptic function of the second kind.
 398      */
 399     template<typename _Tp>
 400     _Tp
 401     __comp_ellint_2(_Tp __k)
 402     {
 403
 404       if (__isnan(__k))
 405         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 406       else if (std::abs(__k) == 1)
 407         return _Tp(1);
 408       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 409         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __comp_ellint_2."));
 410       else
 411         {
 412           const _Tp __kk = __k * __k;
 413
 414           return __ellint_rf(_Tp(0), _Tp(1) - __kk, _Tp(1))
 415                - __kk * __ellint_rd(_Tp(0), _Tp(1) - __kk, _Tp(1)) / _Tp(3);
 416         }
 417     }
 418
 419
 420     /**
 421      *   @brief  Return the incomplete elliptic integral of the second kind
 422      *           @f$ E(k,\phi) @f$ using the Carlson formulation.
 423      *
 424      *   The incomplete elliptic integral of the second kind is defined as
 425      *   @f[
 426      *     E(k,\phi) = \int_0^{\phi} \sqrt{1 - k^2 sin^2\theta}
 427      *   @f]
 428      *
 429      *   @param  __k  The argument of the elliptic function.
 430      *   @param  __phi  The integral limit argument of the elliptic function.
 431      *   @return  The elliptic function of the second kind.
 432      */
 433     template<typename _Tp>
 434     _Tp
 435     __ellint_2(_Tp __k, _Tp __phi)
 436     {
 437
 438       if (__isnan(__k) || __isnan(__phi))
 439         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 440       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 441         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __ellint_2."));
 442       else
 443         {
 444           //  Reduce phi to -pi/2 < phi < +pi/2.
 445           const int __n = std::floor(__phi / __numeric_constants<_Tp>::__pi()
 446                                    + _Tp(0.5L));
 447           const _Tp __phi_red = __phi
 448                               - __n * __numeric_constants<_Tp>::__pi();
 449
 450           const _Tp __kk = __k * __k;
 451           const _Tp __s = std::sin(__phi_red);
 452           const _Tp __ss = __s * __s;
 453           const _Tp __sss = __ss * __s;
 454           const _Tp __c = std::cos(__phi_red);
 455           const _Tp __cc = __c * __c;
 456
 457           const _Tp __E = __s
 458                         * __ellint_rf(__cc, _Tp(1) - __kk * __ss, _Tp(1))
 459                         - __kk * __sss
 460                         * __ellint_rd(__cc, _Tp(1) - __kk * __ss, _Tp(1))
 461                         / _Tp(3);
 462
 463           if (__n == 0)
 464             return __E;
 465           else
 466             return __E + _Tp(2) * __n * __comp_ellint_2(__k);
 467         }
 468     }
 469
 470
 471     /**
 472      *   @brief  Return the Carlson elliptic function
 473      *           @f$ R_C(x,y) = R_F(x,y,y) @f$ where @f$ R_F(x,y,z) @f$
 474      *           is the Carlson elliptic function of the first kind.
 475      *
 476      *   The Carlson elliptic function is defined by:
 477      *   @f[
 478      *       R_C(x,y) = \frac{1}{2} \int_0^\infty
 479      *                 \frac{dt}{(t + x)^{1/2}(t + y)}
 480      *   @f]
 481      *
 482      *   Based on Carlson's algorithms:
 483      *   -  B. C. Carlson Numer. Math. 33, 1 (1979)
 484      *   -  B. C. Carlson, Special Functions of Applied Mathematics (1977)
 485      *   -  Numerical Recipes in C, 2nd ed, pp. 261-269,
 486      *      by Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery (1992)
 487      *
 488      *   @param  __x  The first argument.
 489      *   @param  __y  The second argument.
 490      *   @return  The Carlson elliptic function.
 491      */
 492     template<typename _Tp>
 493     _Tp
 494     __ellint_rc(_Tp __x, _Tp __y)
 495     {
 496       const _Tp __min = std::numeric_limits<_Tp>::min();
 497       const _Tp __lolim = _Tp(5) * __min;
 498
 499       if (__x < _Tp(0) || __y < _Tp(0) || __x + __y < __lolim)
 500         std::__throw_domain_error(__N("Argument less than zero "
 501                                       "in __ellint_rc."));
 502       else
 503         {
 504           const _Tp __c0 = _Tp(1) / _Tp(4);
 505           const _Tp __c1 = _Tp(1) / _Tp(7);
 506           const _Tp __c2 = _Tp(9) / _Tp(22);
 507           const _Tp __c3 = _Tp(3) / _Tp(10);
 508           const _Tp __c4 = _Tp(3) / _Tp(8);
 509
 510           _Tp __xn = __x;
 511           _Tp __yn = __y;
 512
 513           const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 514           const _Tp __errtol = std::pow(__eps / _Tp(30), _Tp(1) / _Tp(6));
 515           _Tp __mu;
 516           _Tp __sn;
 517
 518           const unsigned int __max_iter = 100;
 519           for (unsigned int __iter = 0; __iter < __max_iter; ++__iter)
 520             {
 521               __mu = (__xn + _Tp(2) * __yn) / _Tp(3);
 522               __sn = (__yn + __mu) / __mu - _Tp(2);
 523               if (std::abs(__sn) < __errtol)
 524                 break;
 525               const _Tp __lambda = _Tp(2) * std::sqrt(__xn) * std::sqrt(__yn)
 526                              + __yn;
 527               __xn = __c0 * (__xn + __lambda);
 528               __yn = __c0 * (__yn + __lambda);
 529             }
 530
 531           _Tp __s = __sn * __sn
 532                   * (__c3 + __sn*(__c1 + __sn * (__c4 + __sn * __c2)));
 533
 534           return (_Tp(1) + __s) / std::sqrt(__mu);
 535         }
 536     }
 537
 538
 539     /**
 540      *   @brief  Return the Carlson elliptic function @f$ R_J(x,y,z,p) @f$
 541      *           of the third kind.
 542      *
 543      *   The Carlson elliptic function of the third kind is defined by:
 544      *   @f[
 545      *       R_J(x,y,z,p) = \frac{3}{2} \int_0^\infty
 546      *       \frac{dt}{(t + x)^{1/2}(t + y)^{1/2}(t + z)^{1/2}(t + p)}
 547      *   @f]
 548      *
 549      *   Based on Carlson's algorithms:
 550      *   -  B. C. Carlson Numer. Math. 33, 1 (1979)
 551      *   -  B. C. Carlson, Special Functions of Applied Mathematics (1977)
 552      *   -  Numerical Recipes in C, 2nd ed, pp. 261-269,
 553      *      by Press, Teukolsky, Vetterling, Flannery (1992)
 554      *
 555      *   @param  __x  The first of three symmetric arguments.
 556      *   @param  __y  The second of three symmetric arguments.
 557      *   @param  __z  The third of three symmetric arguments.
 558      *   @param  __p  The fourth argument.
 559      *   @return  The Carlson elliptic function of the fourth kind.
 560      */
 561     template<typename _Tp>
 562     _Tp
 563     __ellint_rj(_Tp __x, _Tp __y, _Tp __z, _Tp __p)
 564     {
 565       const _Tp __min = std::numeric_limits<_Tp>::min();
 566       const _Tp __lolim = std::pow(_Tp(5) * __min, _Tp(1)/_Tp(3));
 567
 568       if (__x < _Tp(0) || __y < _Tp(0) || __z < _Tp(0))
 569         std::__throw_domain_error(__N("Argument less than zero "
 570                                       "in __ellint_rj."));
 571       else if (__x + __y < __lolim || __x + __z < __lolim
 572             || __y + __z < __lolim || __p < __lolim)
 573         std::__throw_domain_error(__N("Argument too small "
 574                                       "in __ellint_rj"));
 575       else
 576         {
 577           const _Tp __c0 = _Tp(1) / _Tp(4);
 578           const _Tp __c1 = _Tp(3) / _Tp(14);
 579           const _Tp __c2 = _Tp(1) / _Tp(3);
 580           const _Tp __c3 = _Tp(3) / _Tp(22);
 581           const _Tp __c4 = _Tp(3) / _Tp(26);
 582
 583           _Tp __xn = __x;
 584           _Tp __yn = __y;
 585           _Tp __zn = __z;
 586           _Tp __pn = __p;
 587           _Tp __sigma = _Tp(0);
 588           _Tp __power4 = _Tp(1);
 589
 590           const _Tp __eps = std::numeric_limits<_Tp>::epsilon();
 591           const _Tp __errtol = std::pow(__eps / _Tp(8), _Tp(1) / _Tp(6));
 592
 593           _Tp __mu;
 594           _Tp __xndev, __yndev, __zndev, __pndev;
 595
 596           const unsigned int __max_iter = 100;
 597           for (unsigned int __iter = 0; __iter < __max_iter; ++__iter)
 598             {
 599               __mu = (__xn + __yn + __zn + _Tp(2) * __pn) / _Tp(5);
 600               __xndev = (__mu - __xn) / __mu;
 601               __yndev = (__mu - __yn) / __mu;
 602               __zndev = (__mu - __zn) / __mu;
 603               __pndev = (__mu - __pn) / __mu;
 604               _Tp __epsilon = std::max(std::abs(__xndev), std::abs(__yndev));
 605               __epsilon = std::max(__epsilon, std::abs(__zndev));
 606               __epsilon = std::max(__epsilon, std::abs(__pndev));
 607               if (__epsilon < __errtol)
 608                 break;
 609               const _Tp __xnroot = std::sqrt(__xn);
 610               const _Tp __ynroot = std::sqrt(__yn);
 611               const _Tp __znroot = std::sqrt(__zn);
 612               const _Tp __lambda = __xnroot * (__ynroot + __znroot)
 613                                  + __ynroot * __znroot;
 614               const _Tp __alpha1 = __pn * (__xnroot + __ynroot + __znroot)
 615                                 + __xnroot * __ynroot * __znroot;
 616               const _Tp __alpha2 = __alpha1 * __alpha1;
 617               const _Tp __beta = __pn * (__pn + __lambda)
 618                                       * (__pn + __lambda);
 619               __sigma += __power4 * __ellint_rc(__alpha2, __beta);
 620               __power4 *= __c0;
 621               __xn = __c0 * (__xn + __lambda);
 622               __yn = __c0 * (__yn + __lambda);
 623               __zn = __c0 * (__zn + __lambda);
 624               __pn = __c0 * (__pn + __lambda);
 625             }
 626
 627           _Tp __ea = __xndev * (__yndev + __zndev) + __yndev * __zndev;
 628           _Tp __eb = __xndev * __yndev * __zndev;
 629           _Tp __ec = __pndev * __pndev;
 630           _Tp __e2 = __ea - _Tp(3) * __ec;
 631           _Tp __e3 = __eb + _Tp(2) * __pndev * (__ea - __ec);
 632           _Tp __s1 = _Tp(1) + __e2 * (-__c1 + _Tp(3) * __c3 * __e2 / _Tp(4)
 633                             - _Tp(3) * __c4 * __e3 / _Tp(2));
 634           _Tp __s2 = __eb * (__c2 / _Tp(2)
 635                    + __pndev * (-__c3 - __c3 + __pndev * __c4));
 636           _Tp __s3 = __pndev * __ea * (__c2 - __pndev * __c3)
 637                    - __c2 * __pndev * __ec;
 638
 639           return _Tp(3) * __sigma + __power4 * (__s1 + __s2 + __s3)
 640                                              / (__mu * std::sqrt(__mu));
 641         }
 642     }
 643
 644
 645     /**
 646      *   @brief Return the complete elliptic integral of the third kind
 647      *          @f$ \Pi(k,\nu) = \Pi(k,\nu,\pi/2) @f$ using the
 648      *          Carlson formulation.
 649      *
 650      *   The complete elliptic integral of the third kind is defined as
 651      *   @f[
 652      *     \Pi(k,\nu) = \int_0^{\pi/2}
 653      *                   \frac{d\theta}
 654      *                 {(1 - \nu \sin^2\theta)\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}
 655      *   @f]
 656      *
 657      *   @param  __k  The argument of the elliptic function.
 658      *   @param  __nu  The second argument of the elliptic function.
 659      *   @return  The complete elliptic function of the third kind.
 660      */
 661     template<typename _Tp>
 662     _Tp
 663     __comp_ellint_3(_Tp __k, _Tp __nu)
 664     {
 665
 666       if (__isnan(__k) || __isnan(__nu))
 667         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 668       else if (__nu == _Tp(1))
 669         return std::numeric_limits<_Tp>::infinity();
 670       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 671         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __comp_ellint_3."));
 672       else
 673         {
 674           const _Tp __kk = __k * __k;
 675
 676           return __ellint_rf(_Tp(0), _Tp(1) - __kk, _Tp(1))
 677                + __nu
 678                * __ellint_rj(_Tp(0), _Tp(1) - __kk, _Tp(1), _Tp(1) - __nu)
 679                / _Tp(3);
 680         }
 681     }
 682
 683
 684     /**
 685      *   @brief Return the incomplete elliptic integral of the third kind
 686      *          @f$ \Pi(k,\nu,\phi) @f$ using the Carlson formulation.
 687      *
 688      *   The incomplete elliptic integral of the third kind is defined as
 689      *   @f[
 690      *     \Pi(k,\nu,\phi) = \int_0^{\phi}
 691      *                       \frac{d\theta}
 692      *                            {(1 - \nu \sin^2\theta)
 693      *                             \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}
 694      *   @f]
 695      *
 696      *   @param  __k  The argument of the elliptic function.
 697      *   @param  __nu  The second argument of the elliptic function.
 698      *   @param  __phi  The integral limit argument of the elliptic function.
 699      *   @return  The elliptic function of the third kind.
 700      */
 701     template<typename _Tp>
 702     _Tp
 703     __ellint_3(_Tp __k, _Tp __nu, _Tp __phi)
 704     {
 705
 706       if (__isnan(__k) || __isnan(__nu) || __isnan(__phi))
 707         return std::numeric_limits<_Tp>::quiet_NaN();
 708       else if (std::abs(__k) > _Tp(1))
 709         std::__throw_domain_error(__N("Bad argument in __ellint_3."));
 710       else
 711         {
 712           //  Reduce phi to -pi/2 < phi < +pi/2.
 713           const int __n = std::floor(__phi / __numeric_constants<_Tp>::__pi()
 714                                    + _Tp(0.5L));
 715           const _Tp __phi_red = __phi
 716                               - __n * __numeric_constants<_Tp>::__pi();
 717
 718           const _Tp __kk = __k * __k;
 719           const _Tp __s = std::sin(__phi_red);
 720           const _Tp __ss = __s * __s;
 721           const _Tp __sss = __ss * __s;
 722           const _Tp __c = std::cos(__phi_red);
 723           const _Tp __cc = __c * __c;
 724
 725           const _Tp __Pi = __s
 726                          * __ellint_rf(__cc, _Tp(1) - __kk * __ss, _Tp(1))
 727                          + __nu * __sss
 728                          * __ellint_rj(__cc, _Tp(1) - __kk * __ss, _Tp(1),
 729                                        _Tp(1) - __nu * __ss) / _Tp(3);
 730
 731           if (__n == 0)
 732             return __Pi;
 733           else
 734             return __Pi + _Tp(2) * __n * __comp_ellint_3(__k, __nu);
 735         }
 736     }
 737   } // namespace __detail
 738 #if ! _GLIBCXX_USE_STD_SPEC_FUNCS && defined(_GLIBCXX_TR1_CMATH)
 739 } // namespace tr1
 740 #endif
 741
 742 _GLIBCXX_END_NAMESPACE_VERSION
 743 }
 744
 745 #endif // _GLIBCXX_TR1_ELL_INTEGRAL_TCC
 746