tests/rtest_limit.mac

   1 /*
   2   A collection of tests to stress $limit and friends
   3 */
   4 (kill(all),0);
   5 0$
   6
   7 /*
   8   Tests to check how limit deals with weird combinations of
   9   infinitesimals and infinities. See bug 2563
  10 */
  11 limit(zeroa*inf);
  12 und$
  13 limit(zerob^zerob);
  14 und$
  15 limit(zerob^zeroa);
  16 und$
  17
  18 /* Tests from Bug 1036900 */
  19 /* These bugs were fixed in limit.lisp rev 1.7, 2004/10/04 */
  20 limit(7^n/8^n,n,inf);
  21 0$
  22 limit(7^(n^2)/8^n,n,inf);
  23 inf$
  24 limit((10^n+9^n+8^n)^(1/n),n,inf);
  25 10$
  26 limit(4^n/2^(2*n),n,inf);
  27 1$
  28
  29 /* Test from Bug 1052308 */
  30 /* Fixed in limit.lisp rev 1.11 */
  31 assume(equal(zz,0));
  32 [equal(zz,0)]$
  33 limit(erf(nn*zz), nn, inf);
  34 0$
  35 limit(tanh(nn*zz), nn, inf);
  36 0$
  37 limit(nn^zz, nn, 0);
  38 1$
  39
  40 /* Bug 1281737, fixed in limit.lisp rev 1.15 */
  41 limit(atan(x)/(1/exp(1)-exp(-(1+x)^2)),x,inf,plus);
  42 %e*%pi/2;
  43
  44 /* Bug 626697 */
  45 limit(atan2(y,x),y,minf);
  46 -%pi/2;
  47
  48 /* Bug 1548643 */
  49 limit(abs(sqrt(1-1/x)-1),x,0);
  50 inf;
  51
  52 /* Bug 671574 */
  53 limit(x*atan(x)/(x+1),x,inf);
  54 %pi/2;
  55 limit(x*atan(x)-log(x),x,inf);
  56 inf;
  57
  58 /* Bug 1152668 */
  59 numer:true;
  60 true;
  61 limit(sin(x)/x,x,0);
  62 1;
  63 limit(sin(x)/x,x,0,plus);
  64 1;
  65 limit(sin(x)/x,x,0,minus);
  66 1;
  67 numer:false;
  68 false;
  69
  70 /* #2504 wrong answer for simple limit, limit(sin(x)+1/x, x, inf)=0 */
  71 limit(1/x + sin(x), x, inf);
  72 ind;
  73
  74 /* Bug 593344 */
  75 limit(abs(infinity));
  76 inf;
  77
  78 /* Bug 1469411 */
  79 limit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf);
  80 0;
  81
  82 /*
  83  * From bug 535363, but this isn't really fixed.  The fix for 1469411
  84  * broke this test, so we're adding it to make sure we don't break it.
  85  *
  86 */
  87
  88 limit(exp(-1/x)/x^4,x,0,'plus);
  89 0;
  90
  91 /* Bug 1594330 */
  92 limit(x*(atan(x)-%pi/2),x,inf);
  93 -1;
  94
  95 limit((atan(x)-(%pi/2))/(sin(10/x)),x,inf);
  96 -1/10;
  97
  98 /* [ 1498047 ] limit(a/n,n,inf); */
  99 limit(a/n, n, inf);
 100 0;
 101
 102 /*
 103  * [ 1646761 ] limit atanh @ -1 / 1 all wrong...
 104  */
 105 /* Limit at 1 is (complex) infinity).  But one-sided limit can be inf (real infinity). */
 106 limit(atanh(x),x,1);
 107 infinity;
 108 limit(atanh(x),x,1,'minus);
 109 inf;
 110 limit(atanh(x),x,-1);
 111 infinity;
 112 limit(atanh(x),x,-1,'plus);
 113 minf;
 114
 115 /* There shouldn't be an error message printed out here.  Need to look at output to see. */
 116 limit(2*atanh(x),x,1);
 117 infinity;
 118 limit(2*atanh(x),x,1,'minus);
 119 inf;
 120
 121 limit(atanh(a-1)-log(a)/2,a,0,'plus),logarc:true;
 122 -log(2)/2;
 123
 124 /* [ 1606731 ] limit of algebraic when algebraic : true */
 125 limit(x*(sqrt(1+x^2)-x),x,inf), algebraic : true, gcd : subres;
 126 1/2;
 127
 128 /* [ 1097982 ] limit(x/(x^(log(x)))); returns wrong answer */
 129 limit(x/(x^log(x)), x, inf);
 130 0;
 131
 132 /* [ 1039965 ] limit(4^n/2^(2*n),n,inf) is wrong */
 133 limit(4^n/2^(2*n),n,inf);
 134 1;
 135
 136 /* [ 1731127 ] limit((1 + 1/x)*(sqrt(x + 1) + 1), x, inf) => 0 (not inf) */
 137 limit((1 + 1/x)*(sqrt(x + 1) + 1), x, inf);
 138 inf;
 139
 140 /* [ 1593083 ] tlimit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf) gives error */
 141 tlimit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf);
 142 0;
 143
 144 /* [ 1786774 ] tlimit((5^x + 3^x)^(1/x), x, inf) => Error */
 145 tlimit((5^x + 3^x)^(1/x), x, inf);
 146 5;
 147
 148 /* [ 1603900 ] taylor/tlimit (4^n+1)/2^(2*n) internal error */
 149 tlimit((4^n+1)/2^(2*n),n,inf);
 150 1;
 151
 152 /* [ 1281736 ] limit((x/log(x))*(x^(1/x)-1),x,inf) - wrong result */
 153 limit((x/log(x))*(x^(1/x)-1),x,inf);
 154 1;
 155
 156 /* [ 1036901 ] tlimit(7^(n^2)/8^n,n,inf); wrong result */
 157 tlimit(7^(n^2)/8^n, n, inf);
 158 inf;
 159
 160 /* [ 1665657 ] limit fails to find easy limit */
 161 limit(x/(x-1)-1/log(x),x,1,plus);
 162 1/2;
 163
 164 /* [ 611411 ] limit asks sign of IND */
 165 limit(abs(sin(x)),x,inf);
 166 ind;
 167
 168 /* [ 1629723 ] bug in limit, asks sign of IND, encountered in integrator */
 169 limit(abs(sin(x))/x, x, inf);
 170 0;
 171
 172 /* [ 782099 ] limit returns expression in IND */
 173 limit(sinh(exp(%i*x)),x,inf);
 174 ind;
 175
 176 /* [ 1528607 ] limit(a^x,x,inf) can't solve for a : abs(a) < 1 */
 177 limit((-2/3)^x,x,inf);
 178 0;
 179
 180 limit(signum(x), x, 0, plus);
 181 1;
 182
 183 limit(signum(x), x, 0, minus);
 184 -1;
 185
 186 limit((-1/%pi)^x,x,inf);
 187 0;
 188
 189 tlimit(exp(%i*t), t, inf);
 190 ind;
 191
 192 tlimit(exp(-t+%i*t),t,inf);
 193 0;
 194
 195 /* [ 1811503 ] computing a wrong result */
 196 limit((((1+1/x)^(x^2))+1)^(1/x),x,inf);
 197 %e;
 198
 199 /* [ 1760232 ] limit(1/n * n!^(1/n), n, inf); */
 200 limit(1/n * n!^(1/n), n, inf);
 201 %e^-1;
 202
 203 /* Apparently wrong limit with factorial - ID: 3198530 */
 204 limit(1/(2+1/factorial(n)),n,inf);
 205 1/2;
 206
 207 limit(t*(erf((t))-1),t,inf);
 208 0;
 209
 210 /* #3153 Limits of erfc */
 211 limit(erfc(x*(1 + %i)), x, inf);
 212 0;
 213
 214 limit(erfc(x*(1 + %i)), x, minf);
 215 2;
 216
 217 limit(exp(x)*(sin(1/x+exp(-x))-sin(1/x+exp(-x^2))), x, inf);
 218 1;
 219
 220 /* it would be nice to handle this someday
 221   limit(n - exp(psi[0](n)), n, inf);
 222   1/2;
 223 */
 224
 225 limit(x*gamma(x), x, 0);
 226 1;
 227
 228 /* [ 744679 ] limit overflows memory? */
 229 (assume(a>1), limit((a^(1/n)+1)^n/2^n, n, inf));
 230 'sqrt(a);
 231
 232 /* [ 702512 ] limit(1/(1/a*2^(%i*a)+1),a,inf) =&gt; UND */
 233 limit(1/(1/a*2^(%i*a)+1),a,inf);
 234 1;
 235
 236 /* [ 923407 ] limit(atan(sqrt(x))/sqrt(x),x,0) wrong */
 237 limit(atan(sqrt(x))/sqrt(x),x,0);
 238 1;
 239
 240 /* [ 1102908 ] limit/atan/exp returns complex expr with wrong principal val */
 241 limit(atan(x)/(1/exp(1)-exp(-(1+x)^2)),x,inf,plus);
 242 %e*%pi/2;
 243
 244 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0, minus);
 245 3;
 246
 247 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0, plus);
 248 5;
 249
 250 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0);
 251 und;
 252
 253 /* [ 1852415 ] limit(sqrt(1-%e^(-x^2)), x, inf) = 0 */
 254 limit(sqrt(1-%e^(-x^2)), x, inf);
 255 1;
 256
 257 /* [ 1515712 ] tlimit (x*atan(x)/(x+1),x,inf) => 3 %pi/2, etc */
 258 tlimit(x*atan(x)/(x+1),x,inf);
 259 %pi/2;
 260
 261 tlimit(x*(atan(x)-%pi/2),x,inf);
 262 -1;
 263
 264 tlimit(atan(x^-1), x, 0, minus);
 265 -%pi/2;
 266
 267 /* [ 1973399 ] F(x) := 1/%pi*(atan(x) + %pi/2) */
 268 (assume(c>0), limit(((1/%pi)*(atan(n/%pi) + %pi/2))^n, n, inf));
 269 %e^(-1);
 270
 271 /* [ 1103515 ] limit(atan2(x,-1),x,0) wrong */
 272 limit(atan2(x,-1), x, 0, minus);
 273 -%pi;
 274
 275 limit(atan2(x,-1), x, 0, plus);
 276 %pi;
 277
 278 limit(atan2(x,-1), x, 0);
 279 und;
 280 /* ideally should be ind */
 281
 282 /* limit of atan2 - ID: 3539699 */
 283 limit(atan2(x^2-2,x^3-3*x), x, sqrt(2), minus);
 284 -%pi;
 285
 286 limit(atan2(x^2-2,x^3-3*x), x, sqrt(2), plus);
 287 %pi;
 288
 289 limit(atan2((x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), minus);
 290 atan(1/sqrt(2))-%pi;
 291
 292 limit(atan2((x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), plus);
 293 atan(1/sqrt(2));
 294
 295 limit(atan2(-(x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), minus);
 296 %pi-atan(1/sqrt(2));
 297
 298 limit(atan2(-(x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), plus);
 299 -atan(1/sqrt(2));
 300
 301 limit(floor(x), x, 5, minus);
 302 4;
 303
 304 limit(floor(x), x, 5, plus);
 305 5;
 306
 307 limit(ceiling(x), x, 5, minus);
 308 5;
 309
 310 limit(ceiling(x), x, 5, plus);
 311 6;
 312
 313 limit(round(x), x, 5/2, minus);
 314 2;
 315
 316 limit(round(x), x, 5/2, plus);
 317 3;
 318
 319 limit(floor(sin(x)), x, 0, minus);
 320 -1;
 321
 322 /* [ 1587235 ] limit(floor(x),x,1) wrong */
 323 limit(floor(x),x,0);
 324 und;
 325
 326 /* [ 1885377 ] wrong limit evaluation in 5.14.0 */
 327 limit((3/4)^(5*n+1), n, inf);
 328 0;
 329
 330 limit(-%e^x/x, x, inf);
 331 minf;
 332
 333 /* [ 2083561 ] Limit of the Wallis product */
 334 limit((%pi*4^N*N!^2)/(2*2^(2*N)*gamma(N+1/2)*gamma(N+3/2)), N, inf);
 335 %pi/2;
 336
 337 /* wrong limit(log(gamma(x+1))/x,x,0) - ID: 2727078 */
 338 limit(log(gamma(x+1))/x, x, 0);
 339 -%gamma;
 340
 341 /* log has a branch cut on negative real axis */
 342 limit(log(-1+x*%i), x, 0, plus);
 343 %i*%pi;
 344
 345 limit(log(-1+x*%i), x, 0, minus);
 346 -%i*%pi;
 347
 348 limit((log(y+h)-log(y))/h,h,0,plus);
 349 1/y;
 350
 351 /* Bug 3587 */
 352 limit(log(3-sqrt(x)),x,9,minus);
 353 minf;
 354
 355 /* Bug 3589 */
 356 limit((sqrt(x)-2)*log(1-sqrt(x)/2),x,4,minus);
 357 0;
 358
 359
 360 /* limit of incomplete gamma */
 361 /* function simplim%gamma_incomplete in gamma.lisp */
 362
 363 /* sin(x^2)/(x^2) improper integral incorrect? - ID: 3397562 */
 364 limit( gamma_incomplete(-1/2, -%i*x^2), x, inf);
 365 0;
 366
 367 /* should be complex infinity */
 368 limit( gamma_incomplete(2, -%i*x), x, inf);
 369 'limit(gamma_incomplete(2,-%i*x),x,inf);
 370
 371 /* Error integrating exp(-x)*sinh(sqrt(x)) with domain: complex - ID: 3529144 */
 372 /* need taylor expansion of gamma_incomplete(1/2, x) at x=0 */
 373 limit(gamma_incomplete(1/2,(1-2*sqrt(x))^2/4)*(1-2*sqrt(x))
 374                  /(sqrt((1-2*sqrt(x))^2)), x, 1/4, minus),domain:complex;
 375 sqrt(%pi);
 376
 377 limit(gamma_incomplete(1/2,(1-2*sqrt(x))^2/4)*(1-2*sqrt(x))
 378                  /(sqrt((1-2*sqrt(x))^2)), x, 1/4, plus),domain:complex;
 379 -sqrt(%pi);
 380
 381 /* [ 635606 ] limit(abs(log(x))) internal error, UND */
 382 limit(abs(log(x)), x, 0);
 383 inf;
 384
 385 limit(exp(-x)*(x*sin(x)+cos(x)), x, inf);
 386 0;
 387
 388 /* tex(t[1]) shouldn't change t to true */
 389 tex (t[1], false);
 390 "$$t_{1}$$
 391 "; /* tex output contains embedded newline */
 392
 393 /* tex(x[1]^2) shouldn't get confused by debug info in expression CAR */
 394 (foo : x[1]^2, tex (foo, false));
 395 "$$x_{1}^2$$
 396 "; /* tex output contains embedded newline */
 397
 398 /* [ 2084910 ] limit bugs */
 399 limit((%pi*N^(2*N+1)*2^(2*N))/((2*N-1)^(2*N)*(2*%e*N+%e)), N, inf);
 400 %pi/2;
 401
 402 /* [ 1977992 ] no limit calculation */
 403 limit(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0);
 404 sqrt(2);
 405
 406 /* [ 1973399 ] F(x) := 1/%pi*(atan(x) + %pi/2) */
 407 /* only works with taylor_logexpand:true */
 408 limit( ((1/%pi)*(atan(n/%pi) + %pi/2))^n, n, inf);
 409 %e^-1;
 410
 411 /* limit(x*expintegral_ei(x),x,0) --> Error - ID: 2801821 */
 412 limit(x*expintegral_ei(x), x, 0);
 413 0;
 414
 415 /* Limit of the factorial function - 4 problems - ID: 2841504 */
 416 limit(factorial(x),x,-2,plus);
 417 minf;
 418
 419 /* Calculus mistake: wrong answer: limit - ID: 3534858 */
 420 limit((sin(x)-tan(x))/(x*(cos(x)-1)),x,0);
 421 1;
 422
 423 /* #2639 limit asks about internal variable */
 424 limit(tan(x)/sqrt(tan(x)^2+1),x,%pi/2,plus);
 425 -1;
 426
 427 limit(1/psi[1](x), x, inf);
 428 inf;
 429
 430 /* limit of psi[i] - ID: 2843705 */
 431 limit(psi[i](x),x,inf);
 432 'limit(psi[i](x),x,inf);
 433
 434 /* tests for gruntz limit algorithm */
 435 gruntz(exp(x), x, inf);
 436 inf;
 437
 438 gruntz(exp(-x), x, inf);
 439 0;
 440
 441 gruntz( (x + 2^x) / 3^x, x, inf);
 442 0;
 443
 444 gruntz( x^2/(x + 2*x^2), x, inf);
 445 1/2;
 446
 447 gruntz( x/x^log(x), x, inf);
 448 0;
 449
 450 gruntz( (2^x)/(x + exp(x)) , x, 0, plus);
 451 1;
 452
 453 gruntz( (erf(x))/sqrt(1-cos(x)) , x, 0, minus);
 454 -2*sqrt(2)/sqrt(%pi);
 455
 456 gruntz( (erf(x))/sqrt(1-cos(x)) , x, 0, plus);
 457 2*sqrt(2)/sqrt(%pi);
 458
 459 gruntz( x*(x^(1/x)-1)/log(x), x, inf);
 460 1;
 461
 462 gruntz( (x*x^(1/x)-x)/log(x), x, inf);
 463 1;
 464
 465 gruntz(exp(-1/x)/x^6,x,0,plus);
 466 0;
 467
 468 /* limit gives the wrong answer - ID: 3410704 */
 469 limit(sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2))
 470          /(sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)), t, inf);
 471 1;
 472
 473 /* Inaccurate Limit Evaluation - ID: 3276461 */
 474 radcan(limit((-4*x^2-10*x+24)/((4*x+8)^(1/3)+2), x, -4));
 475 66;
 476
 477 limit(-(3*n^2 + 1)*(-1)^n/sqrt(n^5 + 8*n^3 + 8),n,inf);
 478 0;
 479
 480 /*
 481  * Bug ID: 1315837 limit(?foo)
 482  * Bug ID: 1119228 limit(1/zeraoa)
 483  */
 484
 485 limit(?foo);
 486 ?foo;
 487 limit(true);
 488 true;
 489 limit(false);
 490 false;
 491 limit(1/zeroa);
 492 inf;
 493 limit(1/zerob);
 494 minf;
 495
 496 /*
 497  * Bug ID: 1797296 - Crazy results when doing limit of 'diff
 498  */
 499 limit('diff(x+1,x),x,2);
 500 'limit('diff(x+1,x),x,2);
 501
 502 limit('integrate(x+1,x),x,2);
 503 'limit('integrate(x+1,x),x,2);
 504
 505 limit(integrate(f(t),t,0,x),x,0,plus);
 506 'limit(integrate(f(t),t,0,x),x,0,plus);
 507
 508 limit(integrate(t,t,0,x)/x,x,inf);
 509 inf;
 510
 511 (assume(a>2), limit(integrate(t/log(t),t,2,a)/a,a,inf));
 512 inf;
 513
 514 /* limit(1/inf-1/minf) => 0+0 - ID: 903074 */
 515 limit(1/inf-1/minf);
 516 0;
 517
 518 /*
 519  1-arg limit: limit(a*inf-inf) => minf - ID: 1385306
 520
 521  The original fix for this bug sent it to inf, assuming that the two
 522  different "inf" occurrences were the same. I disagree: inf - inf
 523  probably shouldn't ever be simplified to zero, but we can avoid it
 524  here so we do.
 525 */
 526 limit(a*inf-inf);
 527 und$
 528
 529 /* limit(1 - (-1/2)^inf) --> inf - ID: 2853506 */
 530 limit(1 - (-1/2)^inf);
 531 1-(-1)^inf/2^inf;
 532 /* ideally should be 1 */
 533
 534 /* definition of derivative in terms of limit */
 535 limit((sin(3*(x+h)) - sin(3*(x)))/h, h, 0, plus);
 536 3*cos(3*x);
 537
 538 /* limit incorrect for -x/sqrt(1-x^2) - ID: 2869955 */
 539 limit(-x/sqrt(1-x^2), x, 1, minus);
 540 minf;
 541
 542 /* limit(%i*log(a),a,0) nounform (%i*und problem) - ID: 816797 */
 543 limit(%i*log(x),x,0);
 544 infinity;
 545
 546 /* limit(sqrt(x),x,minf) not fully evaluated - ID: 2901855 */
 547 limit(sqrt(x), x, minf);
 548 infinity;
 549
 550 /* #2847 limits of powers of constants */
 551 limit((5+%i)^n,n,inf);
 552 infinity;
 553
 554 /* limit bug - ID: 3101075 */
 555 limit((2+cos(x))/(x^3*sin(x))-3/x^4,x,0,plus);
 556 1/60;
 557
 558 /* #2527 exponent too big in limit */
 559 limit ((cosh(sqrt(x+1))-cosh(sqrt(x)))^(1/sqrt(x)),x,inf );
 560 %e;
 561
 562 /* #2561 limit(log(x^2),x,-20) gives 2*log(-20) */
 563 limit(log(x^2),x,-20),logexpand:false;
 564 log(400);
 565
 566 /* #2412 Problems with integral (x/(exp(x)+1),x,0,inf) */
 567 limit(-x*log(%e^x+1)-li[2](-%e^x)+x^2/2, x, inf);
 568 %pi^2/6;
 569
 570 /* The initial problem which triggers this bug */
 571 declare(n,integer);
 572 done;
 573 limit ((sin(n*x) - n*x*cos(n*x))/n^2, x, %pi);
 574 -%pi*(-1)^n/n;
 575
 576 /* #2503 Declaring x as an integer changes result of limit from 3 to inf */
 577 limit((2^n+3^n)^(1/n), n,inf);
 578 3;
 579
 580 /* #2624 Erroneous limit result */
 581 (assume(n>2), limit(x-x*(1-1/x)^n, x, inf));
 582 n;
 583
 584 (forget(n>2),0);
 585 0;
 586
 587 /* Bug ID: 593351 - limit/sin(inf)etc. should give 0, not IND
 588  */
 589 limit(cos(1/x)*sin(x)-sin(x),x,inf);
 590 0;
 591 limit(cos(1/x)*sin(x)-sin(x)+a,x,inf);
 592 a;
 593
 594 /* Bug ID: 1376392 - limit(x/(2+sin(1/x)), x, 0); wrong result
 595  */
 596 limit(x/(2+sin(1/x)),x,0);
 597 0;
 598
 599 /* Bug ID: 1106912 - limit(x/sin(x)^2,x,inf)
 600    I think the limit is not defined because the func is not defined
 601    for all x > any constant.
 602  */
 603 limit(x/sin(x)^2,x,inf);
 604 und;
 605
 606 /* Bug ID: #3459 Wrong limit calculation */
 607 limit(x / (x+2^x+cos(x)),x,-inf);
 608 1;
 609
 610 /* Bug ID: 811522 - redundant question in limit
 611  * b is assumed to be zero. Maxima now can deduce from the database
 612  * that b-2 is an even number.
 613  */
 614 assume(equal(b,0));
 615 [equal(b,0)];
 616 limit(r^(b-2)*(x-r)^2,r,0);
 617 'limit(r^(b-2)*(x-r)^2,r,0);
 618 forget(equal(b,0));
 619 [equal(b,0)];
 620
 621 /* Bug ID: 221642 limit needs %piargs to be true
 622  * The implementation of simp-%atan and simpatan2 has been revised.
 623  * We get more limits independent of the value of %piargs.
 624  */
 625 %piargs:false;
 626 false;
 627 limit(atan2(0,y),y,0,plus);
 628 atan(0);
 629 limit(atan2(0,y),y,0,minus);
 630 %pi;
 631 limit(atan2(x,0),x,0,plus);
 632 %pi/2;
 633 limit(atan2(x,0),x,0,minus);
 634 -%pi/2;
 635 reset(%piargs);
 636 [%piargs];
 637
 638 /* Bug ID: 3002971 - limit fails where rat+subst works
 639  */
 640 limit(min(x,x+2,sin(x)/x),x,0);
 641 0;
 642 limit(max(x,x+2,sin(x)/x),x,0);
 643 2;
 644
 645 /* Bug ID: 1969790 - limits and subscripts
 646  */
 647 limit(mu[inf],x,inf);
 648 mu[inf];
 649
 650 /*
 651  * Bug 3509430: limit of tanh(x) at 0 makes no sense
 652  */
 653 limit(tanh(x), x, 0);
 654 0;
 655
 656 /* bug 2535: stack exhausted when computing limit(log(..)) */
 657
 658 limit(log(-1/3125*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^n - (1/2*sqrt(5) +
 659 1/2)^n)^9*sqrt(5))/log(-1/5*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^(8*n) - (1/2*sqrt(5) +
 660 1/2)^(8*n))*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^n - (1/2*sqrt(5) + 1/2)^n) -
 661 1/5*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^(9*n) - (1/2*sqrt(5) +
 662 1/2)^(9*n))*sqrt(5)),n,inf);
 663 1;
 664
 665 /* #2675 maxima will not do the simplest of definite integrals
 666    and will not factor otherwise */
 667 limit(x^2*exp(-%i*x - x), x, inf);
 668 0;
 669
 670 /* bug #2621 gamma limit error */
 671
 672 limit(gamma(x+1/2)/(sqrt(x)*gamma(x)), x, inf);
 673 1;
 674
 675 /* Triggered by #2849. This result isn't great, but it's better than
 676    an error. A more useful result would be und. */
 677 limit (ind * inf);
 678 ind * inf $
 679
 680 limit((a*exp(a*x)*sin(b*x))/(b^2+a^2)-(b*exp(a*x)*cos(b*x))/(b^2+a^2), x, 0, plus);
 681 -(b/(a^2 + b^2));
 682
 683 /* Bug #2898: limit of continuous --> und */
 684
 685 limit(log(x)^2+2*log(x)+q/2+1,x,1);
 686 (q+2)/2$
 687
 688 limit(log(x)^2+2*%gamma*log(x)-%pi^2/6+%gamma^2,x,1);
 689 -((%pi^2-6*%gamma^2)/6)$
 690
 691 /* #2972 Wrong limits involving logs */
 692 limit( 27^(log(n)/log(3))/n^3, n, inf);
 693 1;
 694
 695 limit( 27^(log(n)/log(3)+1)/n^3, n, inf);
 696 27;
 697
 698 limit( ((27^(log(n)/log(3)+1)-1)/26+n-log(n)/log(3)-1)/n^3,n,inf);
 699 27/26;
 700
 701 /* examples from mailing list 2014-10-10: "Re: bug in limit code" */
 702
 703 (newcontext (),
 704  kill (beta, hbar, omega, delta, n),
 705  assume (beta > 0, hbar > 0, omega > 0, delta > 0, 2*n - 1 > 0),
 706  0);
 707 0;
 708
 709 limit (%e^(beta*hbar*omega-beta*(hbar*(2*n+1)*omega+delta))
 710  /(1/(1-%e^-(beta*hbar*omega))^2
 711  +(%e^-(beta*delta)-1)/(1-%e^-(2*beta*hbar*omega))), beta, inf);
 712 0;
 713
 714 (kill (h, d, z),
 715  assume (h > 0, d > 0, z > 0, 2*h*z > d),
 716  0);
 717 0;
 718
 719 limit ((%e^-(b*d)-1)/(1-%e^-(2*b*h*z)), b, inf);
 720 -1;
 721
 722 (kill (a), assume (a < 0), 0);
 723 0;
 724
 725 limit (exp (b*a), b, inf);
 726 0;
 727
 728 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 729 -1;
 730
 731 (forget (a < 0), assume (a > 0), 0);
 732 0;
 733
 734 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 735 1;
 736
 737 (forget (a > 0), assume (equal (a, 0)), 0);
 738 0;
 739
 740 limit((exp(a*x)-1)/(exp(a*x)+1),x,inf) ;
 741 0;
 742
 743 (forget (equal (a, 0)), assume (a > 0), 0);
 744 0;
 745
 746 integrate(%e^(-a*r)*sin(k*r),r,0,inf);
 747 k/(k^2+a^2);
 748
 749 limit (a*x, x, inf);
 750 inf;
 751
 752 (forget (a > 0), assume (a < 0), limit (a*x, x, inf));
 753 minf;
 754
 755 (forget (a < 0), assume (equal (a, 0)), limit (a*x, x, inf));
 756 0;
 757
 758 killcontext (context);
 759 done;
 760
 761 /* SF bug #3104: "limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus), numer => stack overflow" */
 762
 763 limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus);
 764 infinity;
 765
 766 limit(log(1 - exp(x)), x, 0, plus), numer;
 767 infinity;
 768
 769 limit(log(1 + exp(x)), x, 0, plus);
 770 log(2);
 771
 772 limit(log(1 + exp(x)), x, 0, plus), numer;
 773 0.6931471805599453;
 774
 775 /* inspired by this example from #3103; for the present purpose,
 776  * it's not too important to get these specific results,
 777  * only that numer doesn't cause an error here.
 778  */
 779
 780 integrate(x^3/(exp(x)-1),x,0,inf);
 781 'limit(6*li[4](%e^x)-6*x*li[3](%e^x)+3*x^2*li[2](%e^x)+x^3*log(1-%e^x)-x^4/4,
 782        x,inf,minus) -%pi^4/15$
 783
 784 integrate(x^3/(exp(x)-1),x,0,inf), numer;
 785 'limit(6.0*li[4](%e^x)-6.0*x*li[3](%e^x)+3.0*x^2*li[2](%e^x)
 786                       +1.0*x^3*log(1-%e^x)-0.25*x^4,x,inf,minus)
 787  -6.49393940226683$
 788
 789 /* #3142 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf) => inf */
 790 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, inf);
 791 0;
 792
 793 /* #3143 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus) => inf */
 794 /* should really be '$infinity */
 795 limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus);
 796 'limit((x^(1/x) - 1)*sqrt(x), x, 0, minus);
 797
 798 /* SF bug #3185: "Error in sum with non-false modulus" */
 799
 800 block([modulus:7], sum(i^-2,i,1,inf));
 801 'sum(i^-2,i,1,inf);
 802
 803 block([modulus:7], limit(inf));
 804 inf;
 805
 806 /* SF bug #3235: "ECL lisp arithmetic error in definite integration with large limits"
 807  * the bug is actually in ECL (https://gitlab.com/embeddable-common-lisp/ecl/issues/299);
 808  * here we'll test a work around.
 809  */
 810
 811 block ([actual, expected],
 812   actual : limit(x*exp(x)*log(exp(x)+1),x,-1000,plus),
 813   expected : -1000*%e^-1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)),
 814   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 815 true;
 816
 817 /* accommodate different equivalent forms via 'equal' */
 818 block ([actual, expected],
 819   actual : integrate((x^2)*exp(x) / (1 + exp(x))^2,x,-1000,1000),
 820   expected : (-(2000*%e^1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)))/(%e^1000+1))
 821   -(2000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)))/(%e^1000+1)
 822    -((2000*%e^1000+2000)*log(%e^1000+1)
 823     +(2*%e^1000+2)*li[2](-%e^1000)-1000000*%e^1000)
 824      /(%e^1000+1)+(2*%e^1000*li[2](-%e^-1000))/(%e^1000+1)
 825      +(2*li[2](-%e^-1000))/(%e^1000+1)-1000000/(%e^1000+1),
 826   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 827 true;
 828
 829 /* SF bug #3244: "error trying to promote float infinity to bigfloat in sign comparison"
 830  * same as test under #3235 but ensure that bigfloat assume is present to trigger bug
 831  */
 832
 833 block ([actual, expected, ctxt:newcontext()],
 834   assume (xfoo > 200b0),
 835   actual : limit(xfoo*exp(xfoo)*log(exp(xfoo)+1),xfoo,-1000,plus),
 836   expected : -1000*%e^-1000*log(%e^-1000*(%e^1000+1)),
 837   killcontext (ctxt),
 838   if ev (equal (actual, expected), logexpand='super) then true else [actual, expected]);
 839 true;