tests/rtest_taylor.mac

   1 (kill(all),0);
   2 0$
   3
   4 /*--- taylorinfo ---*/
   5
   6 /* SF bug 867310 */
   7
   8 taylorinfo(x);
   9 false$
  10
  11 taylorinfo(a = b);
  12 false$
  13
  14 taylorinfo(taylor(x,x,0,5));
  15 [[x,0,5]]$
  16
  17 taylorinfo(taylor(x,[x,y],0,5));
  18 [[x,y],[0,0],[5,5]]$
  19
  20 taylorinfo(taylor(x,[x,y],0,5,z,a,7));
  21 [[x,y],[0,0],[5,5],[z,a,7]]$
  22
  23 (tp : taylor(x, [x, a, 5, asympt]),0);
  24 0$
  25
  26 taylorinfo(tp);
  27 [[x,a,5, asympt]]$
  28
  29 taylorinfo(taylor(taylor(x,x,a,7),y,b,9));
  30 [[y,b,9],[x,a,7]]$
  31
  32 taylorinfo(taylor(x,x,0,inf));
  33 [[x,0,'inf]]$
  34
  35 /*--- constants ----*/
  36
  37 ratdisrep(taylor(0,x,1,2));
  38 0$
  39
  40 ratdisrep(taylor(-42,x,1,2));
  41 -42$
  42
  43 ratdisrep(taylor(6.023e23,x,1,2)), keepfloat ;
  44 6.023e23$
  45
  46 ratdisrep(taylor(sqrt(5),x,1,2));
  47 sqrt(5)$
  48
  49 ratdisrep(taylor(sqrt(5) - %i,x,1,2));
  50 sqrt(5) - %i$
  51
  52 taylor(x[2],x[1],0,2);
  53 x[2]$
  54
  55 /*---polynomials ---*/
  56
  57 ratdisrep(taylor(x,x,1,2));
  58 x$
  59
  60 ratdisrep(taylor(x + sqrt(y),x,1,2));
  61 x + sqrt(y)$
  62
  63 ratdisrep(taylor(x*(x+1) + sqrt(y),x,1,2));
  64 sqrt(y)+(x-1)^2+3*(x-1)+2$
  65
  66 ratdisrep(taylor(1 + sqrt(6) * x + %pi*x^2,x,-%phi,9));
  67 %pi*(x+%phi)^2+(sqrt(6)-2*%phi*%pi)*(x+%phi)+(%phi+1)*%pi-sqrt(6)*%phi+1$
  68
  69 radcan(taylor((1 + x*y) * (1 - x),[x,y],sqrt(2),3));
  70 (x-x^2)*y-x+1$
  71
  72 expand(taylor(x*y + x^2 * y,[x,y],5,3));
  73 x*y + x^2 * y$
  74
  75 taylor(rat(x*(x-1)),x,0,5);
  76 x^2 - x$
  77
  78
  79 /* algebraic functions ---*/
  80
  81 taylor(abs(x),x,-sqrt(2),2);
  82 -x$
  83
  84 (tp : taylor(sqrt(1 + x),x,0,5),0);
  85 0$
  86
  87 ratdisrep(tp^2);
  88 1+x$
  89
  90 (tp : taylor((1 + x)^(3/4),x,0,5),0);
  91 0$
  92
  93 ratdisrep(tp^(4/3));
  94 1+x$
  95
  96 (tp : taylor((1 + x)^mu,x,0,5),0);
  97 0$
  98
  99 ratdisrep(tp^(1/mu));
 100 1+x$
 101
 102 (tp : taylor((1 - a * x)^mu,x,0,5),0);
 103 0$
 104
 105 ratdisrep(tp^(1/mu));
 106 1-a * x$
 107
 108 (tp : taylor((1 - x / sqrt(3))^(1/5),x,0,5),0);
 109 0$
 110
 111 ratdisrep(tp^5 - (1-(sqrt(3)*x)/3));
 112 0$
 113
 114 (tp : taylor(sqrt(x*(x-1)),x,1,5),0);
 115 0$
 116
 117 ratdisrep(tp^2 - x * (x-1));
 118 0$
 119
 120 (tp : taylor(sqrt((1-x)/(1-y)),[x,y],0,5),0);
 121 0$
 122
 123 (1-y)*tp^2;
 124 1-x$
 125
 126 /*---log and trig like ----*/
 127
 128 taylor(cos(x),x,0,4);
 129 1 - x^2/2! + x^4 / 4!$
 130
 131 taylor(sin(x),x,0,4);
 132 x - x^3 / 3!$
 133
 134 taylor(tan(x),x,0,4);
 135 x + x^3/3$
 136
 137 taylor(cosh(x),x,0,5);
 138 1 + ((x^2)/2) + ((x^4)/24)$
 139
 140 taylor(sinh(x),x,0,5);
 141 x + ((x^3)/6) + ((x^5)/120)$
 142
 143 taylor(tanh(x),x,0,5);
 144 x - ((x^3)/3) + ((2 * x^5)/15)$
 145
 146 taylor(sin(x) / cos(x),x,0,10) - taylor(tan(x),x,0,10);
 147 0$
 148
 149 taylor(sin(x) / cos(x),x, %pi/6,10) - taylor(tan(x),x, %pi/6,10);
 150 0$
 151
 152 trigsimp(taylor(sin(x + x^2) / cos(x + x^2),x, %pi/6,10) - taylor(tan(x + x^2),x, %pi/6,10));
 153 0$
 154
 155 taylor(sec(x),x,0,5) * taylor(cos(x),x,0,5);
 156 1$
 157
 158 taylor(sec(x),x,%pi/3,5) * taylor(cos(x),x,%pi/3,5);
 159 1$
 160
 161 taylor(csc(x),x,0,5) * taylor(sin(x),x,0,5);
 162 1$
 163
 164 taylor(csc(x),x,%pi/4,5) * taylor(sin(x),x,%pi/4,5);
 165 1$
 166
 167 taylor(cot(x),x,0,5) * taylor(tan(x),x,0,5);
 168 1$
 169
 170 taylor(cot(x),x,12,5) * taylor(tan(x),x,12,5);
 171 1$
 172
 173 trigsimp(taylor(sinh(x) / cosh(x),x,0,10) - taylor(tanh(x),x,0,10));
 174 0$
 175
 176 trigsimp(taylor(sinh(x) / cosh(x),x, 1/6,10) - taylor(tanh(x),x, 1/6,10));
 177 0$
 178
 179 trigsimp(taylor(sinh(x + x^2) / cosh(x + x^2),x, %pi/6,10) - taylor(tanh(x + x^2),x, %pi/6,10));
 180 0$
 181
 182 taylor(sech(x),x,0,5) * taylor(cosh(x),x,0,5);
 183 1$
 184
 185 taylor(sech(x),x,%pi/3,5) * taylor(cosh(x),x,%pi/3,5);
 186 1$
 187
 188 taylor(csch(x),x,0,5) * taylor(sinh(x),x,0,5);
 189 1$
 190
 191 taylor(csch(x),x,%pi/4,5) * taylor(sinh(x),x,%pi/4,5);
 192 1$
 193
 194 taylor(coth(x),x,0,5) * taylor(tanh(x),x,0,5);
 195 1$
 196
 197 taylor(coth(x),x,12,5) * taylor(tanh(x),x,12,5);
 198 1$
 199
 200 taylor(log(x),x,1,3) - (x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3);
 201 0$
 202
 203 taylor(exp(x),x,0,7);
 204 ''(sum(x^k / k!,k,0,7))$
 205
 206 taylor(exp(-x),x,0,7);
 207 ''(sum((-x)^k / k!,k,0,7))$
 208
 209 log(taylor(exp(x),x,0,10));
 210 x$
 211
 212 exp(taylor(log(x),x,1,10));
 213 x$
 214
 215 (tp : taylor(x,x,0,5),0);
 216 0$
 217
 218 is(equal(taylor(cos(x),x,0,5), cos(tp)));
 219 true$
 220
 221 is(equal(taylor(sin(x),x,0,5), sin(tp)));
 222 true$
 223
 224 is(equal(taylor(tan(x),x,0,5), tan(tp)));
 225 true$
 226
 227 is(equal(taylor(exp(x),x,0,5), exp(tp)));
 228 true$
 229
 230 /*--- asymptotic ---*/
 231
 232 taylor(x + 1/x + 2/x^2,[x,inf, 2, asympt]);
 233 x+1/x + 2/x^2$
 234
 235 taylor(x + 1/x + 2/x^2,[x, inf, 1, asympt]);
 236 x + 1/x$
 237
 238 /*--- jacobian elliptic ---*/
 239
 240 /*  G&R 8.125 1 through 3  */
 241
 242 taylor(jacobi_sn(x,k),x,0,5);
 243 x - (1 + k) * x^3 / 6 + (1 + 14*k + k^2) * x^5 / 120;
 244
 245 taylor(jacobi_cn(x,k),x,0,4);
 246 1 - x^2 / 2 + (1 + 4 * k) * x^4 / 24$
 247
 248 taylor(jacobi_dn(x,k),x,0,4);
 249 1 - (k * x^2 / 2) + (k^2 + 4 * k) * x^4 / 24$
 250
 251
 252 /*  G&R  8.154 1,2, 4, and 5 */
 253
 254 taylor(jacobi_sn(x,k)^2,x,0,19) - taylor((1 - jacobi_cn(2*x,k))/(1 + jacobi_dn(2*x,k)),x,0,19);
 255 0$
 256
 257 taylor(jacobi_cn(x,k)^2,x,0,19)-taylor((jacobi_cn(2*x,k) + jacobi_dn(2*x,k))/(1 + jacobi_dn(2*x,k)),x,0,19);
 258 0$
 259
 260 taylor(jacobi_sn(x,k)^2,x,0,15) + taylor(jacobi_cn(x,k)^2,x,0,15);
 261 1$
 262
 263 taylor(jacobi_dn(x,k)^2,x,0,15) + k * taylor(jacobi_sn(x,k)^2,x,0,15);
 264 1$
 265
 266 taylor(inverse_jacobi_sn(jacobi_sn(x,k),k),x,0,4);
 267 x$
 268
 269 taylor(jacobi_sn(inverse_jacobi_sn(x,k),k),x,0,4);
 270 x$
 271
 272 /* The Jacobian elliptic function cd(u,m) = cn(u,m)/dn(u,m). */
 273
 274 taylor(jacobi_cd(x,k),x,0,8) - taylor(jacobi_cn(x,k) / jacobi_dn(x,k),x,0,8);
 275 0$
 276
 277
 278 /*--- Bessel ---*/
 279
 280 taylor(bessel_j(0,x),x,0,5);
 281 1 - x^2/4 + x^4/64$
 282
 283 taylor(bessel_j(1,x),x,0,5);
 284 x/2 - x^3/16 + x^5/384$
 285
 286 (assume(m > 0),0);
 287 0$
 288
 289 taylor(bessel_j(m,x),x,0,1);
 290 x^m /(2^m * gamma(m + 1))$
 291
 292 taylor(bessel_i(0,x),x,0,5);
 293 1 + x^2/4 + x^4/64$
 294
 295 taylor(bessel_i(1,x),x,0,5);
 296 x/2 + x^3/16 + x^5/384$
 297
 298 taylor(bessel_i(m,x) / x^m,x,0,0);
 299 1/(2^m * gamma(m + 1))$
 300
 301 /*--- gamma, polylog,  and zeta --- */
 302
 303 taylor(gamma(x),x,1,1);
 304 1 - %gamma * (x - 1)$
 305
 306 taylor(log(gamma(x)),x,0,5);
 307 (-log(x))+ -%gamma*x+(%pi^2*x^2)/12-(zeta(3)*x^3)/3+(%pi^4*x^4)/360-(zeta(5)*x^5)/5$
 308
 309 /*
 310  * The expansions for gamma_incomplete and gamma_incomplete_lower only works if
 311  * gamma_expand is false.
 312  */
 313 taylor(gamma_incomplete(1/2,z), z, 0, 9);
 314 sqrt(%pi)-2*sqrt(z)+(2*z^(3/2))/3-z^(5/2)/5+z^(7/2)/21-z^(9/2)/108
 315                 +z^(11/2)/660-z^(13/2)/4680+z^(15/2)/37800-z^(17/2)/342720$
 316
 317 taylor(gamma_incomplete_lower(1/2,z), z, 0, 9);
 318 2*sqrt(z)-(2*z^(3/2))/3+z^(5/2)/5-z^(7/2)/21+z^(9/2)/108-z^(11/2)/660
 319                 +z^(13/2)/4680-z^(15/2)/37800+z^(17/2)/342720;
 320
 321 taylor(gamma_incomplete_lower(1/3,z), z, 0, 9);
 322 3*z^(1/3)-(3*z^(4/3))/4+(3*z^(7/3))/14-z^(10/3)/20+z^(13/3)/104
 323                 -z^(16/3)/640+z^(19/3)/4560-z^(22/3)/36960+z^(25/3)/336000;
 324
 325 taylor(zeta(x),x,0,1);
 326  -1/2 - (log(%pi) + log(2)) * x / 2$
 327
 328 taylor(li[1](x),x,0,3);
 329 x + ((x^2)/2) + ((x^3)/3)$
 330
 331 taylor(li[s](x),x,0,3);
 332 x + ((x^2)/(2^s)) + ((x^3)/(3^s))$
 333
 334 errcatch(taylor(li[2](x), x, 1, 9));
 335 []$
 336
 337 /*--- expintegral ---*/
 338 taylor(expintegral_si(z), z, 0, 9);
 339 z-z^3/18+z^5/600-z^7/35280+z^9/3265920;
 340
 341 /*--- deftaylor ---*/
 342 (deftaylor(unk(x), sum(x^k / k,k,1,inf)),0);
 343 0$
 344
 345 taylor(unk(s),s,0,3);
 346 s + s^2/2 + s^3/3$
 347
 348 /*--- SF bug 1641487 ---*/
 349
 350 taylor(unk(x),x,1,2);
 351 unk(1)+(at('diff(unk(x),x,1),x=1))*(x-1)$
 352
 353 (deftaylor(nam[n](x), sum(x^k/(k + n),k,0,inf)),0);
 354 0$
 355
 356 taylor(nam[5](x),x,0,4);
 357 1/5+x/6+x^2/7+x^3/8+x^4/9$
 358
 359 taylor(nam[q](x),x,0,4);
 360 1/q+x/(q+1)+x^2/(q+2)+x^3/(q+3)+x^4/(q+4)$
 361
 362 /*---other ---*/
 363
 364 (assume(t > 0),0);
 365 0$
 366
 367 taylor('integrate(exp(-x^4),x,0,t),t,0,9) - integrate(taylor(exp(-x^4),x,0,8),x,0,t);
 368 0$
 369
 370 (forget(t > 0),0);
 371 0$
 372
 373 is(equal(taylor(taylor(sqrt(1+x+y),[x,0,5]),[y,0,7]), taylor(sqrt(1+x+y),[y,0,7], [x,0,5])));
 374 true$
 375
 376 taylor(sum(x^k/gamma(k + 1/2),k,0,inf),x,0,3);
 377 sqrt(%pi)/%pi+(2*sqrt(%pi)*x)/%pi+(4*sqrt(%pi)*x^2)/(3*%pi)+(8*sqrt(%pi)*x^3)/(15*%pi)$
 378
 379 taylor(sum(x^k * a[k],k,0,inf),x,0,1);
 380 a[0] + a[1] * x$
 381
 382 taylor(a^x+b^x,[a,b],0,1);
 383 b^x + a^x$
 384
 385 /* SF bug 902757  */
 386
 387 taylor(x,[x],inf,2);
 388 x$
 389
 390 /* SF bug 836780 */
 391
 392 taylor(acosh(x),x,1,1) - taylor(logarc(acosh(x)),x,1,1);
 393 0$
 394
 395 /*  SF bug 774065 */
 396
 397 taylor(x/log(x),x,inf,1);
 398 x/log(x)$
 399
 400 /* SF bug 788933 */
 401
 402 /*
 403 taylor(x^y,x,0,1,y,0,1);
 404 1 + log(x) * y$
 405
 406 taylor(taylor(x^y,y,0,1),x,0,1);
 407 1 + log(x) * y$ */
 408
 409
 410 /* SF bug  701628*/
 411
 412 taylor(x^2,x,minf,2);
 413 x^2$
 414
 415 /* SF bug 593449 -- fixed by gcd : spmod */
 416
 417 taylor(log(sqrt(y^e*y+1)+y),e,0,2);
 418 log(sqrt(y+1)+y)+(sqrt(y+1)*log(y)*y*e)/(2*y^2+(2*sqrt(y+1)+2)*y+2*sqrt(y+1))+(((sqrt(y+1)+1)*log(y)^2*y^4+(2*sqrt(y+1)+5)*log(y)^2*y^3+(2*sqrt(y+1)+4)*log(y)^2*y^2+2*sqrt(y+1)*log(y)^2*y)*e^2)/(8*y^5+(24*sqrt(y+1)+40)*y^4+(56*sqrt(y+1)+80)*y^3+(48*sqrt(y+1)+72)*y^2+(24*sqrt(y+1)+24)*y+8*sqrt(y+1))$
 419
 420 /* SF #817516 */
 421
 422 taylor((log(n)-n)/(log(n)-1),n,inf,1);
 423 ((-1/log(n)))*n+(1+1/log(n))$
 424
 425 /* SF #939022 */
 426
 427 (m: matrix([taylor(1+a*x,x,0,1),0], [0,taylor(1+d*x,x,0,1)]),0);
 428 0$
 429
 430 (mi : m^^-1,0);
 431 0$
 432
 433 is(mi[1,1] = taylor(1/(1+a*x),x,0,1));
 434 true$
 435
 436 is(mi[2,2] = taylor(1/(1+d*x),x,0,1));
 437 true$
 438
 439 taylorp(mi[1,1]);
 440 true$
 441
 442 taylorp(mi[2,2]);
 443 true$
 444
 445 /* SF #1203443 */
 446
 447 taylor(1/x^2,x,minf,2);
 448 1/x^2$
 449
 450 taylor(1/x^2,x,-inf,2);
 451 1/x^2$
 452
 453 /* SF #910008 */
 454
 455 taylor(exp(x),x,0,2) - taylor(exp(x),x,0,0);
 456 0$
 457
 458 /* SF #709138 */
 459
 460 errcatch(taylor(x^3,x,0,2)/taylor(x^3,x,0,2));
 461 []$
 462
 463 (remvalue(tp),0);
 464 0$
 465
 466 /* [ 696818 ] Taylor internal error (rat problem?) */
 467 taylor(log(sqrt(e*%e^x+1)+e),x,0,2),gcd:subres;
 468 log(sqrt(e+1)+e)+sqrt(e+1)*e*x/(2*e^2+(2*sqrt(e+1)+2)*e+2*sqrt(e+1))
 469                       +((sqrt(e+1)+1)*e^5+(3*sqrt(e+1)+6)*e^4
 470                                          +(4*sqrt(e+1)+9)*e^3
 471                                          +(4*sqrt(e+1)+4)*e^2+2*sqrt(e+1)*e)
 472                        *x^2
 473                        /(8*e^6+(24*sqrt(e+1)+48)*e^5+(80*sqrt(e+1)+120)*e^4
 474                               +(104*sqrt(e+1)+152)*e^3+(72*sqrt(e+1)+96)*e^2
 475                               +(32*sqrt(e+1)+24)*e+8*sqrt(e+1))$
 476
 477 taylor(exp(x), x, minf, 1);
 478 exp(x)$
 479
 480 /* [ 1682435 ] taylor of rat(factor(1+x)) gives internal error */
 481 taylor(rat(factor(1+x)),x,0,1);
 482 1+x$
 483
 484 /* [ 807275 ] Taylor Illegal log kernel: log(cos(th)) @ %pi/2 */
 485 taylor(log(cos(th)),th,%pi/2,2);
 486 log((2*th-%pi)/2)+log(-1)-(th-%pi/2)^2/6$
 487
 488 /* SF bug  752332 */
 489 (assume(a < 1),0);
 490 0;
 491 taylor(atan(1/sqrt(1-a))/sqrt(1-a),a,1,2);
 492 ((%i * %pi)/(2 * sqrt(a - 1))) - 1 - ((a - 1)/3) - (((a - 1)^2)/5)$
 493
 494 /* [ 1358239 ] taylor(exp(sqrt(log(x)*log(log(x))))@inf > stack overflow */
 495 taylor(exp(sqrt(log(x)*log(log(x)))), x, inf, 2);
 496 exp(sqrt(log(x))*sqrt(log(log(x))));
 497
 498 /* [ 2010843 ] diff of Taylor poly */
 499 diff(taylor(sqrt((f - z^2/4/f)^2 + (d-z)^2) + sqrt((f - z^2/4/f)^2 + (zp-z)^2),
 500             [z, zp, d], 0, 4),
 501      z);
 502 (z-zp-d)/f+((3*zp+3*d)*z^2+(-5*zp^2-5*d^2)*z+2*zp^3+2*d^3)/(4*f^3);
 503
 504 /* [ 734851 ] pade interfered with by taylor */
 505 ts:taylor(sin(x),x,0,3);
 506 x-x^3/6;
 507
 508 taylor(x,x,0,3);
 509 +x;
 510
 511 pade(ts,2,2);
 512 [6*x/(x^2+6)];
 513
 514 /* [ 1729430 ] numberp of taylor poly */
 515 numberp(taylor(x^2, x, 0, 1));
 516 false;
 517
 518 /* Bug ID: 2907952 - diff of a taylor series
 519  */
 520 diff(taylor(1/(1-x^2),x,0,10),x);
 521 2*x+4*x^3+6*x^5+8*x^7+10*x^9;
 522
 523 /* Bug ID: 660876 - taylor and keepfloat ERR
 524  */
 525 (old:keepfloat, keepfloat:true);
 526 true;
 527 (qq: taylor((x+1.0)^2,x,1,3),done);
 528 done;
 529 keepfloat:false;
 530 false;
 531 qq^2;
 532 16+32*(x-1)+24*(x-1)^2+8*(x-1)^3;
 533 (keepfloat:old,done);
 534 done;
 535
 536 /* Bug ID: 2985866 - derivatives of functions of taylor polys
 537  */
 538 diff('(f(taylor(x,x,0,6))),x);
 539 'diff(f(taylor(x,x,0,6)),x,1);
 540 ev(%,nouns);
 541 'diff(f(+x),x,1);
 542
 543 /* pade examples nicked from reference manual */
 544
 545 (taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3),
 546  pade (%%, 1, 1));
 547 [-1/(x - 1)];
 548
 549 (kill (t),
 550  t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
 551                    + 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
 552                    + 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
 553                    + 67108864*x - 134217728)
 554        /134217728, x, 0, 10),
 555  pade (t, 4, 4));
 556 [];
 557
 558 (foo : [- (520256329*x^5  - 96719020632*x^4  - 489651410240*x^3
 559  - 1619100813312*x^2  - 2176885157888*x - 2386516803584)
 560 /(47041365435*x^5  + 381702613848*x^4  + 1360678489152*x^3
 561  + 2856700692480*x^2  + 3370143559680*x + 2386516803584)],
 562  pade (t, 5, 5), is (equal (%%, foo)));
 563 true;
 564
 565 /* Bug #2116: lambda form for taylor_simplifier */
 566
 567 (kill (f), f : lambda ([s], s), 0);
 568 0;
 569
 570 /* This worked... */
 571 block ([taylor_simplifier : 'f],
 572   taylor (sin (x), x, 0, 4));
 573 x - x^3 / 3!$
 574
 575 /* ...but this failed since the value of taylor_simplifier
 576  * was previously required to be a symbol.
 577  */
 578 block ([taylor_simplifier : f],
 579   taylor (sin (x), x, 0, 4));
 580 x - x^3 / 3!$
 581
 582 (kill (f), 0);
 583 0;
 584
 585 /* mailing list 2020-04-30: "Bug in taylor?" */
 586
 587 kill (f, t, u);
 588 done;
 589
 590 taylor( 'diff(f(t,u),t), t, 0, 1);
 591 'at('diff(f(t,u),t,1),t = 0)+('at('diff(f(t,u),t,2),t = 0))*t;
 592
 593 taylor( 'diff(f(t,u),t), u, 0, 1);
 594 'diff(f(t,0),t,1)+('at('diff(f(t,u),t,1,u,1),u = 0))*u;
 595
 596 taylor( 'diff(f(t,u),u), t, 0, 1);
 597 'diff(f(0,u),u,1)+('at('diff(f(t,u),t,1,u,1),t = 0))*t;
 598
 599 taylor( 'diff(f(t,u),u), u, 0, 1);
 600 'at('diff(f(t,u),u,1),u = 0)+('at('diff(f(t,u),u,2),u = 0))*u;