doc/info/pt/Trigonometric.texi

   1 @c /Trigonometric.texi/1.14/Fri Jun 17 00:57:35 2005/-ko/
   2 @menu
   3 * Introdução ao Pacote Trigonométrico::
   4 * Definições para Trigonometria::
   5 @end menu
   6
   7 @node Introdução ao Pacote Trigonométrico, Definições para Trigonometria, Trigonometria, Trigonometria
   8 @section Introdução ao Pacote Trigonométrico
   9
  10 Maxima tem muitas funções trigonométricas definidas.  Não todas as identidades
  11 trigonometricas estão programadas, mas isso é possível para o utilizador adicionar muitas
  12 delas usando a compatibilidade de correspondência de modelos do sistema.  As
  13 funções trigonométricas definidas no Maxima são: @code{acos},
  14 @code{acosh}, @code{acot}, @code{acoth}, @code{acsc},
  15 @code{acsch}, @code{asec}, @code{asech}, @code{asin},
  16 @code{asinh}, @code{atan}, @code{atanh}, @code{cos},
  17 @code{cosh}, @code{cot}, @code{coth}, @code{csc}, @code{csch},
  18 @code{sec}, @code{sech}, @code{sin}, @code{sinh}, @code{tan},
  19 e @code{tanh}.  Existe uma colecção de comandos especialmente para
  20 manusear funções trigonométricas, veja @code{trigexpand},
  21 @code{trigreduce}, e o comutador @code{trigsign}.  Dois pacotes
  22 compartilhados extendem as regras de simplificação construídas no Maxima,
  23 @code{ntrig} e @code{atrig1}.  Faça @code{describe(@var{comando})}
  24 para detalhes.
  25
  26 @node Definições para Trigonometria,  , Introdução ao Pacote Trigonométrico, Trigonometria
  27 @section Definições para Trigonometria
  28
  29 @deffn {Função} acos (@var{x})
  30  - Arco Cosseno.
  31
  32 @end deffn
  33
  34 @deffn {Função} acosh (@var{x})
  35  - Arco Cosseno Hiperbólico.
  36
  37 @end deffn
  38
  39 @deffn {Função} acot (@var{x})
  40  - Arco Cotangente.
  41
  42 @end deffn
  43
  44 @deffn {Função} acoth (@var{x})
  45  - Arco Cotangente Hiperbólico.
  46
  47 @end deffn
  48
  49 @deffn {Função} acsc (@var{x})
  50  - Arco Cossecante.
  51
  52 @end deffn
  53
  54 @deffn {Função} acsch (@var{x})
  55  - Arco Cossecante Hiperbólico.
  56
  57 @end deffn
  58
  59 @deffn {Função} asec (@var{x})
  60  - Arco Secante.
  61
  62 @end deffn
  63
  64 @deffn {Função} asech (@var{x})
  65  - Arco Secante Hiperbólico.
  66
  67 @end deffn
  68
  69 @deffn {Função} asin (@var{x})
  70  - Arco Seno.
  71
  72 @end deffn
  73
  74 @deffn {Função} asinh (@var{x})
  75  - Arco Seno Hiperbólico.
  76
  77 @end deffn
  78
  79 @deffn {Função} atan (@var{x})
  80  - Arco Tangente.
  81
  82 @end deffn
  83
  84 @deffn {Função} atan2 (@var{y}, @var{x})
  85 - retorna o valor de @code{atan(@var{y}/@var{x})} no intervalo de @code{-%pi} a
  86 @code{%pi}.
  87
  88 @end deffn
  89
  90 @deffn {Função} atanh (@var{x})
  91  - Arco tangente Hiperbólico.
  92
  93 @end deffn
  94
  95 @c IS THIS DESCRIPTION ACCURATE ??
  96 @c LET'S BE EXPLICIT ABOUT EXACTLY WHAT ARE THE RULES IMPLEMENTED BY THIS PACKAGE
  97 @defvr {Pacote} atrig1
  98 O pacote @code{atrig1} contém muitas regras adicionais de simplificação
  99 para funções trigonométricas inversas.  Junto com regras
 100 já conhecidas para Maxima, os seguintes ângulos estão completamente implementados:
 101 @code{0}, @code{%pi/6}, @code{%pi/4}, @code{%pi/3}, e @code{%pi/2}.
 102 Os ângulos correspondentes nos outros três quadrantes estão também disponíveis.
 103 Faça @code{load("atrig1");} para usá-lo.
 104
 105 @end defvr
 106
 107 @deffn {Função} cos (@var{x})
 108  - Cosseno.
 109
 110 @end deffn
 111
 112 @deffn {Função} cosh (@var{x})
 113  - Cosseno hiperbólico.
 114
 115 @end deffn
 116
 117 @deffn {Função} cot (@var{x})
 118  - Cotangente.
 119
 120 @end deffn
 121
 122 @deffn {Função} coth (@var{x})
 123  - Cotangente Hyperbólica.
 124
 125 @end deffn
 126
 127 @deffn {Função} csc (@var{x})
 128  - Cossecante.
 129
 130 @end deffn
 131
 132 @deffn {Função} csch (@var{x})
 133  - Cossecante Hyperbólica.
 134
 135 @end deffn
 136
 137 @defvr {Variável de opção} halfangles
 138 Default value: @code{false}
 139
 140 Quando @code{halfangles} for @code{true},
 141 meios-ângulos são simplificados imediatamente.
 142 @c WHAT DOES THIS STATEMENT MEAN EXACTLY ??
 143 @c NEEDS EXAMPLES
 144
 145 @end defvr
 146
 147 @c IS THIS DESCRIPTION ACCURATE ??
 148 @c LET'S BE EXPLICIT ABOUT EXACTLY WHAT ARE THE RULES IMPLEMENTED BY THIS PACKAGE
 149 @defvr {Pacote} ntrig
 150 O pacote @code{ntrig} contém um conjunto de regras de simplificação que são
 151 usadas para simplificar função trigonométrica cujos argumentos estão na forma
 152 @code{@var{f}(@var{n} %pi/10)} onde @var{f} é qualquer das funções
 153 @code{sin}, @code{cos}, @code{tan}, @code{csc}, @code{sec} e @code{cot}.
 154 @c NEED TO LOAD THIS PACKAGE ??
 155
 156 @end defvr
 157
 158 @deffn {Função} sec (@var{x})
 159  - Secante.
 160
 161 @end deffn
 162
 163 @deffn {Função} sech (@var{x})
 164  - Secante Hyperbólica.
 165
 166 @end deffn
 167
 168 @deffn {Função} sin (@var{x})
 169  - Seno.
 170
 171 @end deffn
 172
 173 @deffn {Função} sinh (@var{x})
 174  - Seno Hyperbólico.
 175
 176 @end deffn
 177
 178 @deffn {Função} tan (@var{x})
 179  - Tangente.
 180
 181 @end deffn
 182
 183 @deffn {Função} tanh (@var{x})
 184  - Tangente Hyperbólica.
 185
 186 @end deffn
 187
 188 @c NEEDS CLARIFICATION AND EXAMPLES
 189 @deffn {Função} trigexpand (@var{expr})
 190 Expande funções trigonometricas e hyperbólicas de
 191 adições de ângulos e de ângulos multiplos que ocorram em @var{expr}.  Para melhores
 192 resultados, @var{expr} deve ser expandida.  Para intensificar o controle do utilizador
 193 na simplificação, essa função expande somente um nível de cada vez,
 194 expandindo adições de ângulos ou ângulos multiplos.  Para obter expansão completa
 195 dentro de senos e co-senos imediatamente, escolha o comutador @code{trigexpand: true}.
 196
 197 @code{trigexpand} é governada pelos seguintes sinalizadores globais:
 198
 199 @table @code
 200 @item trigexpand
 201 Se @code{true} causa expansão de todas as
 202 expressões contendo senos e co-senos ocorrendo subsequêntemente.
 203 @item halfangles
 204 Se @code{true} faz com que meios-ângulos sejam simplificados
 205 imediatamente.
 206 @item trigexpandplus
 207 Controla a regra "soma" para @code{trigexpand},
 208 expansão de adições (e.g. @code{sin(x + y)}) terão lugar somente se
 209 @code{trigexpandplus} for @code{true}.
 210 @item trigexpandtimes
 211 Controla a regra "produto" para @code{trigexpand},
 212 expansão de produtos (e.g. @code{sin(2 x)}) terão lugar somente se
 213 @code{trigexpandtimes} for @code{true}.
 214 @end table
 215
 216 Exemplos:
 217
 218 @c ===beg===
 219 @c x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
 220 @c trigexpand(sin(10*x+y));
 221 @c ===end===
 222 @example
 223 (%i1) x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
 224                          2           2
 225 (%o1)               - sin (x) + 3 cos (x) + x
 226 (%i2) trigexpand(sin(10*x+y));
 227 (%o2)          cos(10 x) sin(y) + sin(10 x) cos(y)
 228
 229 @end example
 230
 231 @end deffn
 232
 233 @defvr {Variável de opção} trigexpandplus
 234 Valor por omissão: @code{true}
 235
 236 @code{trigexpandplus} controla a regra da "soma" para
 237 @code{trigexpand}.  Dessa forma, quando o comando @code{trigexpand} for usado ou o
 238 comutador @code{trigexpand} escolhido para @code{true}, expansão de adições
 239 (e.g. @code{sin(x+y))} terão lugar somente se @code{trigexpandplus} for
 240 @code{true}.
 241
 242 @end defvr
 243
 244 @defvr {Variável de opção} trigexpandtimes
 245 Valor por omissão: @code{true}
 246
 247 @code{trigexpandtimes} controla a regra "produto" para
 248 @code{trigexpand}.  Dessa forma, quando o comando @code{trigexpand} for usado ou o
 249 comutador @code{trigexpand} escolhido para @code{true}, expansão de produtos (e.g. @code{sin(2*x)})
 250 terão lugar somente se @code{trigexpandtimes} for @code{true}.
 251
 252 @end defvr
 253
 254 @defvr {Variável de opção} triginverses
 255 Valor por omissão: @code{all}
 256
 257 @code{triginverses} controla a simplificação de
 258 composições de funções trigonométricas e hiperbólicas com suas funções
 259 inversas.
 260
 261 Se @code{all}, ambas e.g. @code{atan(tan(@var{x}))}
 262 e @code{tan(atan(@var{x}))} simplificarão para @var{x}.
 263
 264 Se @code{true}, a simplificação  de @code{@var{arcfun}(@var{fun}(@var{x}))}
 265 é desabilitada.
 266
 267 Se @code{false}, ambas as simplificações
 268 @code{@var{arcfun}(@var{fun}(@var{x}))} e
 269 @code{@var{fun}(@var{arcfun}(@var{x}))}
 270 são desabilitadas.
 271
 272 @end defvr
 273
 274 @deffn {Função} trigreduce (@var{expr}, @var{x})
 275 @deffnx {Função} trigreduce (@var{expr})
 276 Combina produtos e expoentes de senos e cossenso
 277 trigonométricos e hiperbólicos de @var{x} dentro daqueles de múltiplos de @var{x}.
 278 Também tenta eliminar essas funções quando elas ocorrerem em
 279 denominadores.  Se @var{x} for omitido então todas as variáveis em @var{expr} são usadas.
 280
 281 Veja também @code{poissimp}.
 282
 283 @c ===beg===
 284 @c trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
 285 @c ===end===
 286 @example
 287 (%i1) trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
 288                cos(2 x)      cos(2 x)   1        1
 289 (%o1)          -------- + 3 (-------- + -) + x - -
 290                   2             2       2        2
 291
 292 @end example
 293
 294 As rotinas de simplificação trigonométrica irão usar informações
 295 declaradas em alguns casos simples.  Declarações sobre variáveis são
 296 usadas como segue, e.g.
 297
 298 @c ===beg===
 299 @c declare(j, integer, e, even, o, odd)$
 300 @c sin(x + (e + 1/2)*%pi);
 301 @c sin(x + (o + 1/2)*%pi);
 302 @c ===end===
 303 @example
 304 (%i1) declare(j, integer, e, even, o, odd)$
 305 (%i2) sin(x + (e + 1/2)*%pi);
 306 (%o2)                        cos(x)
 307 (%i3) sin(x + (o + 1/2)*%pi);
 308 (%o3)                       - cos(x)
 309
 310 @end example
 311
 312 @end deffn
 313
 314 @defvr {Variável de opção} trigsign
 315 Valor por omissão: @code{true}
 316
 317 Quando @code{trigsign} for @code{true}, permite simplificação de argumentos
 318 negativos para funções trigonométricas. E.g., @code{sin(-x)} transformar-se-á em
 319 @code{-sin(x)} somente se @code{trigsign} for @code{true}.
 320
 321 @end defvr
 322
 323 @deffn {Função} trigsimp (@var{expr})
 324 Utiliza as identidades @math{sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1} and
 325 @math{cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1} para simplificar expressões contendo @code{tan}, @code{sec},
 326 etc., para @code{sin}, @code{cos}, @code{sinh}, @code{cosh}.
 327
 328 @code{trigreduce}, @code{ratsimp}, e @code{radcan} podem estar
 329 habilitadas a adicionar simplificações ao resultado.
 330
 331 @code{demo ("trgsmp.dem")} mostra alguns exemplos de @code{trigsimp}.
 332 @c MERGE EXAMPLES INTO THIS ITEM
 333
 334 @end deffn
 335
 336 @c NEEDS CLARIFICATION
 337 @deffn {Função} trigrat (@var{expr})
 338 Fornece uma forma quase-linear simplificada canónica de uma
 339 expressão trigonométrica; @var{expr} é uma fração racional de muitos @code{sin},
 340 @code{cos} ou @code{tan}, os argumentos delas são formas lineares em algumas variáveis (ou
 341 kernels-núcleos) e @code{%pi/@var{n}} (@var{n} inteiro) com coeficientes inteiros. O resultado é uma
 342 fração simplificada com numerador e denominador ambos lineares em @code{sin} e @code{cos}.
 343 Dessa forma @code{trigrat} lineariza sempre quando isso for passível.
 344
 345 @c ===beg===
 346 @c trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
 347 @c ===end===
 348 @example
 349 (%i1) trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3));
 350 (%o1)            sqrt(3) sin(2 a) + cos(2 a) - 1
 351
 352 @end example
 353
 354 O seguinte exemplo encontra-se em
 355 Davenport, Siret, and Tournier, @i{Calcul Formel}, Masson (ou em inglês,
 356 Addison-Wesley), secção 1.5.5, teorema de Morley.
 357
 358 @c ===beg===
 359 @c c: %pi/3 - a - b;
 360 @c bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
 361 @c ba: bc, c=a, a=c$
 362 @c ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
 363 @c trigrat (ac2);
 364 @c ===end===
 365 @example
 366 (%i1) c: %pi/3 - a - b;
 367                                     %pi
 368 (%o1)                     - b - a + ---
 369                                      3
 370 (%i2) bc: sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
 371                       sin(a) sin(3 b + 3 a)
 372 (%o2)                 ---------------------
 373                            sin(b + a)
 374 (%i3) ba: bc, c=a, a=c$
 375 (%i4) ac2: ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
 376          2       2
 377       sin (a) sin (3 b + 3 a)
 378 (%o4) -----------------------
 379                2
 380             sin (b + a)
 381
 382                                         %pi
 383    2 sin(a) sin(3 a) cos(b) sin(b + a - ---) sin(3 b + 3 a)
 384                                          3
 385  - --------------------------------------------------------
 386                            %pi
 387                    sin(a - ---) sin(b + a)
 388                             3
 389
 390       2         2         %pi
 391    sin (3 a) sin (b + a - ---)
 392                            3
 393  + ---------------------------
 394              2     %pi
 395           sin (a - ---)
 396                     3
 397 (%i5) trigrat (ac2);
 398 (%o5) - (sqrt(3) sin(4 b + 4 a) - cos(4 b + 4 a)
 399
 400  - 2 sqrt(3) sin(4 b + 2 a) + 2 cos(4 b + 2 a)
 401
 402  - 2 sqrt(3) sin(2 b + 4 a) + 2 cos(2 b + 4 a)
 403
 404  + 4 sqrt(3) sin(2 b + 2 a) - 8 cos(2 b + 2 a) - 4 cos(2 b - 2 a)
 405
 406  + sqrt(3) sin(4 b) - cos(4 b) - 2 sqrt(3) sin(2 b) + 10 cos(2 b)
 407
 408  + sqrt(3) sin(4 a) - cos(4 a) - 2 sqrt(3) sin(2 a) + 10 cos(2 a)
 409
 410  - 9)/4
 411
 412 @end example
 413
 414 @end deffn
 415
 416