tests/rtest_limit.mac

   1 /*
   2   A collection of tests to stress $limit and friends
   3 */
   4 (kill(all),0);
   5 0$
   6
   7 /*
   8   Tests to check how limit deals with weird combinations of
   9   infinitesimals and infinities. See bug 2563
  10 */
  11 limit(zeroa*inf);
  12 und$
  13 limit(zerob^zerob);
  14 und$
  15 limit(zerob^zeroa);
  16 und$
  17
  18 /* Tests from Bug 1036900 */
  19 /* These bugs were fixed in limit.lisp rev 1.7, 2004/10/04 */
  20 limit(7^n/8^n,n,inf);
  21 0$
  22 limit(7^(n^2)/8^n,n,inf);
  23 inf$
  24 limit((10^n+9^n+8^n)^(1/n),n,inf);
  25 10$
  26 limit(4^n/2^(2*n),n,inf);
  27 1$
  28
  29 /* Test from Bug 1052308 */
  30 /* Fixed in limit.lisp rev 1.11 */
  31 assume(equal(zz,0));
  32 [equal(zz,0)]$
  33 limit(erf(nn*zz), nn, inf);
  34 0$
  35 limit(tanh(nn*zz), nn, inf);
  36 0$
  37 limit(nn^zz, nn, 0);
  38 1$
  39
  40 /* Bug 1281737, fixed in limit.lisp rev 1.15 */
  41 limit(atan(x)/(1/exp(1)-exp(-(1+x)^2)),x,inf,plus);
  42 %e*%pi/2;
  43
  44 /* Bug 626697 */
  45 limit(atan2(y,x),y,minf);
  46 -%pi/2;
  47
  48 /* Bug 1548643 */
  49 limit(abs(sqrt(1-1/x)-1),x,0);
  50 inf;
  51
  52 /* Bug 671574 */
  53 limit(x*atan(x)/(x+1),x,inf);
  54 %pi/2;
  55 limit(x*atan(x)-log(x),x,inf);
  56 inf;
  57
  58 /* Bug 1152668 */
  59 numer:true;
  60 true;
  61 limit(sin(x)/x,x,0);
  62 1;
  63 limit(sin(x)/x,x,0,plus);
  64 1;
  65 limit(sin(x)/x,x,0,minus);
  66 1;
  67 numer:false;
  68 false;
  69
  70 /* #2504 wrong answer for simple limit, limit(sin(x)+1/x, x, inf)=0 */
  71 limit(1/x + sin(x), x, inf);
  72 ind;
  73
  74 /* Bug 593344 */
  75 limit(abs(infinity));
  76 inf;
  77
  78 /* Bug 1469411 */
  79 limit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf);
  80 0;
  81
  82 /*
  83  * From bug 535363, but this isn't really fixed.  The fix for 1469411
  84  * broke this test, so we're adding it to make sure we don't break it.
  85  *
  86 */
  87
  88 limit(exp(-1/x)/x^4,x,0,'plus);
  89 0;
  90
  91 /* Bug 1594330 */
  92 limit(x*(atan(x)-%pi/2),x,inf);
  93 -1;
  94
  95 limit((atan(x)-(%pi/2))/(sin(10/x)),x,inf);
  96 -1/10;
  97
  98 /* [ 1498047 ] limit(a/n,n,inf); */
  99 limit(a/n, n, inf);
 100 0;
 101
 102 /*
 103  * [ 1646761 ] limit atanh @ -1 / 1 all wrong...
 104  */
 105 /* Limit at 1 is (complex) infinity).  But one-sided limit can be inf (real infinity). */
 106 limit(atanh(x),x,1);
 107 infinity;
 108 limit(atanh(x),x,1,'minus);
 109 inf;
 110 limit(atanh(x),x,-1);
 111 infinity;
 112 limit(atanh(x),x,-1,'plus);
 113 minf;
 114
 115 /* There shouldn't be an error message printed out here.  Need to look at output to see. */
 116 limit(2*atanh(x),x,1);
 117 infinity;
 118 limit(2*atanh(x),x,1,'minus);
 119 inf;
 120
 121 limit(atanh(a-1)-log(a)/2,a,0,'plus),logarc:true;
 122 -log(2)/2;
 123
 124 /* [ 1606731 ] limit of algebraic when algebraic : true */
 125 limit(x*(sqrt(1+x^2)-x),x,inf), algebraic : true, gcd : subres;
 126 1/2;
 127
 128 /* [ 1097982 ] limit(x/(x^(log(x)))); returns wrong answer */
 129 limit(x/(x^log(x)), x, inf);
 130 0;
 131
 132 /* [ 1039965 ] limit(4^n/2^(2*n),n,inf) is wrong */
 133 limit(4^n/2^(2*n),n,inf);
 134 1;
 135
 136 /* [ 1731127 ] limit((1 + 1/x)*(sqrt(x + 1) + 1), x, inf) => 0 (not inf) */
 137 limit((1 + 1/x)*(sqrt(x + 1) + 1), x, inf);
 138 inf;
 139
 140 /* [ 1593083 ] tlimit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf) gives error */
 141 tlimit(t^2*exp(-4*t/3-8*exp(-t)),t,inf);
 142 0;
 143
 144 /* [ 1786774 ] tlimit((5^x + 3^x)^(1/x), x, inf) => Error */
 145 tlimit((5^x + 3^x)^(1/x), x, inf);
 146 5;
 147
 148 /* [ 1603900 ] taylor/tlimit (4^n+1)/2^(2*n) internal error */
 149 tlimit((4^n+1)/2^(2*n),n,inf);
 150 1;
 151
 152 /* [ 1281736 ] limit((x/log(x))*(x^(1/x)-1),x,inf) - wrong result */
 153 limit((x/log(x))*(x^(1/x)-1),x,inf);
 154 1;
 155
 156 /* [ 1036901 ] tlimit(7^(n^2)/8^n,n,inf); wrong result */
 157 tlimit(7^(n^2)/8^n, n, inf);
 158 inf;
 159
 160 /* [ 1665657 ] limit fails to find easy limit */
 161 limit(x/(x-1)-1/log(x),x,1,plus);
 162 1/2;
 163
 164 /* [ 611411 ] limit asks sign of IND */
 165 limit(abs(sin(x)),x,inf);
 166 ind;
 167
 168 /* [ 1629723 ] bug in limit, asks sign of IND, encountered in integrator */
 169 limit(abs(sin(x))/x, x, inf);
 170 0;
 171
 172 /* [ 782099 ] limit returns expression in IND */
 173 limit(sinh(exp(%i*x)),x,inf);
 174 ind;
 175
 176 /* [ 1528607 ] limit(a^x,x,inf) can't solve for a : abs(a) < 1 */
 177 limit((-2/3)^x,x,inf);
 178 0;
 179
 180 limit(signum(x), x, 0, plus);
 181 1;
 182
 183 limit(signum(x), x, 0, minus);
 184 -1;
 185
 186 limit((-1/%pi)^x,x,inf);
 187 0;
 188
 189 tlimit(exp(%i*t), t, inf);
 190 ind;
 191
 192 tlimit(exp(-t+%i*t),t,inf);
 193 0;
 194
 195 /* [ 1811503 ] computing a wrong result */
 196 limit((((1+1/x)^(x^2))+1)^(1/x),x,inf);
 197 %e;
 198
 199 /* [ 1760232 ] limit(1/n * n!^(1/n), n, inf); */
 200 limit(1/n * n!^(1/n), n, inf);
 201 %e^-1;
 202
 203 /* Apparently wrong limit with factorial - ID: 3198530 */
 204 limit(1/(2+1/factorial(n)),n,inf);
 205 1/2;
 206
 207 limit(t*(erf((t))-1),t,inf);
 208 0;
 209
 210 limit(exp(x)*(sin(1/x+exp(-x))-sin(1/x+exp(-x^2))), x, inf);
 211 1;
 212
 213 /* it would be nice to handle this someday
 214   limit(n - exp(psi[0](n)), n, inf);
 215   1/2;
 216 */
 217
 218 limit(x*gamma(x), x, 0);
 219 1;
 220
 221 /* [ 744679 ] limit overflows memory? */
 222 (assume(a>1), limit((a^(1/n)+1)^n/2^n, n, inf));
 223 'sqrt(a);
 224
 225 /* [ 702512 ] limit(1/(1/a*2^(%i*a)+1),a,inf) =&gt; UND */
 226 limit(1/(1/a*2^(%i*a)+1),a,inf);
 227 1;
 228
 229 /* [ 923407 ] limit(atan(sqrt(x))/sqrt(x),x,0) wrong */
 230 limit(atan(sqrt(x))/sqrt(x),x,0);
 231 1;
 232
 233 /* [ 1102908 ] limit/atan/exp returns complex expr with wrong principal val */
 234 limit(atan(x)/(1/exp(1)-exp(-(1+x)^2)),x,inf,plus);
 235 %e*%pi/2;
 236
 237 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0, minus);
 238 3;
 239
 240 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0, plus);
 241 5;
 242
 243 limit( (3^(1/x) + 5^(1/x))^x, x, 0);
 244 und;
 245
 246 /* [ 1852415 ] limit(sqrt(1-%e^(-x^2)), x, inf) = 0 */
 247 limit(sqrt(1-%e^(-x^2)), x, inf);
 248 1;
 249
 250 /* [ 1515712 ] tlimit (x*atan(x)/(x+1),x,inf) => 3 %pi/2, etc */
 251 tlimit(x*atan(x)/(x+1),x,inf);
 252 %pi/2;
 253
 254 tlimit(x*(atan(x)-%pi/2),x,inf);
 255 -1;
 256
 257 tlimit(atan(x^-1), x, 0, minus);
 258 -%pi/2;
 259
 260 /* [ 1973399 ] F(x) := 1/%pi*(atan(x) + %pi/2) */
 261 (assume(c>0), limit(((1/%pi)*(atan(n/%pi) + %pi/2))^n, n, inf));
 262 %e^(-1);
 263
 264 /* [ 1103515 ] limit(atan2(x,-1),x,0) wrong */
 265 limit(atan2(x,-1), x, 0, minus);
 266 -%pi;
 267
 268 limit(atan2(x,-1), x, 0, plus);
 269 %pi;
 270
 271 limit(atan2(x,-1), x, 0);
 272 und;
 273 /* ideally should be ind */
 274
 275 /* limit of atan2 - ID: 3539699 */
 276 limit(atan2(x^2-2,x^3-3*x), x, sqrt(2), minus);
 277 -%pi;
 278
 279 limit(atan2(x^2-2,x^3-3*x), x, sqrt(2), plus);
 280 %pi;
 281
 282 limit(atan2((x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), minus);
 283 atan(1/sqrt(2))-%pi;
 284
 285 limit(atan2((x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), plus);
 286 atan(1/sqrt(2));
 287
 288 limit(atan2(-(x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), minus);
 289 %pi-atan(1/sqrt(2));
 290
 291 limit(atan2(-(x^2-2), x^3-2*x), x, sqrt(2), plus);
 292 -atan(1/sqrt(2));
 293
 294 limit(floor(x), x, 5, minus);
 295 4;
 296
 297 limit(floor(x), x, 5, plus);
 298 5;
 299
 300 /* [ 1587235 ] limit(floor(x),x,1) wrong */
 301 limit(floor(x),x,0);
 302 und;
 303
 304 /* [ 1885377 ] wrong limit evaluation in 5.14.0 */
 305 limit((3/4)^(5*n+1), n, inf);
 306 0;
 307
 308 limit(-%e^x/x, x, inf);
 309 minf;
 310
 311 /* [ 2083561 ] Limit of the Wallis product */
 312 limit((%pi*4^N*N!^2)/(2*2^(2*N)*gamma(N+1/2)*gamma(N+3/2)), N, inf);
 313 %pi/2;
 314
 315 /* wrong limit(log(gamma(x+1))/x,x,0) - ID: 2727078 */
 316 limit(log(gamma(x+1))/x, x, 0);
 317 -%gamma;
 318
 319 /* log has a branch cut on negative real axis */
 320 limit(log(-1+x*%i), x, 0, plus);
 321 %i*%pi;
 322
 323 limit(log(-1+x*%i), x, 0, minus);
 324 -%i*%pi;
 325
 326 limit((log(y+h)-log(y))/h,h,0,plus);
 327 1/y;
 328
 329 /* limit of incomplete gamma */
 330 /* function simplim%gamma_incomplete in gamma.lisp */
 331
 332 /* sin(x^2)/(x^2) improper integral incorrect? - ID: 3397562 */
 333 limit( gamma_incomplete(-1/2, -%i*x^2), x, inf);
 334 0;
 335
 336 /* should be complex infinity */
 337 limit( gamma_incomplete(2, -%i*x), x, inf);
 338 'limit(gamma_incomplete(2,-%i*x),x,inf);
 339
 340 /* Error integrating exp(-x)*sinh(sqrt(x)) with domain: complex - ID: 3529144 */
 341 /* need taylor expansion of gamma_incomplete(1/2, x) at x=0 */
 342 limit(gamma_incomplete(1/2,(1-2*sqrt(x))^2/4)*(1-2*sqrt(x))
 343                  /(sqrt((1-2*sqrt(x))^2)), x, 1/4, minus),domain:complex;
 344 sqrt(%pi);
 345
 346 limit(gamma_incomplete(1/2,(1-2*sqrt(x))^2/4)*(1-2*sqrt(x))
 347                  /(sqrt((1-2*sqrt(x))^2)), x, 1/4, plus),domain:complex;
 348 -sqrt(%pi);
 349
 350 /* [ 635606 ] limit(abs(log(x))) internal error, UND */
 351 limit(abs(log(x)), x, 0);
 352 inf;
 353
 354 limit(exp(-x)*(x*sin(x)+cos(x)), x, inf);
 355 0;
 356
 357 /* tex(t[1]) shouldn't change t to true */
 358 tex (t[1], false);
 359 "$$t_{1}$$
 360 "; /* tex output contains embedded newline */
 361
 362 /* tex(x[1]^2) shouldn't get confused by debug info in expression CAR */
 363 (foo : x[1]^2, tex (foo, false));
 364 "$$x_{1}^2$$
 365 "; /* tex output contains embedded newline */
 366
 367 /* [ 2084910 ] limit bugs */
 368 limit((%pi*N^(2*N+1)*2^(2*N))/((2*N-1)^(2*N)*(2*%e*N+%e)), N, inf);
 369 %pi/2;
 370
 371 /* [ 1977992 ] no limit calculation */
 372 limit(abs(sin(x))/sqrt(1-cos(x)), x, 0);
 373 sqrt(2);
 374
 375 /* [ 1973399 ] F(x) := 1/%pi*(atan(x) + %pi/2) */
 376 /* only works with taylor_logexpand:true */
 377 limit( ((1/%pi)*(atan(n/%pi) + %pi/2))^n, n, inf);
 378 %e^-1;
 379
 380 /* limit(x*expintegral_ei(x),x,0) --> Error - ID: 2801821 */
 381 limit(x*expintegral_ei(x), x, 0);
 382 0;
 383
 384 /* Limit of the factorial function - 4 problems - ID: 2841504 */
 385 limit(factorial(x),x,-2,plus);
 386 minf;
 387
 388 /* Calculus mistake: wrong answer: limit - ID: 3534858 */
 389 limit((sin(x)-tan(x))/(x*(cos(x)-1)),x,0);
 390 1;
 391
 392 /* #2639 limit asks about internal variable */
 393 limit(tan(x)/sqrt(tan(x)^2+1),x,%pi/2,plus);
 394 -1;
 395
 396 limit(1/psi[1](x), x, inf);
 397 inf;
 398
 399 /* limit of psi[i] - ID: 2843705 */
 400 limit(psi[i](x),x,inf);
 401 'limit(psi[i](x),x,inf);
 402
 403 /* tests for gruntz limit algorithm */
 404 gruntz(exp(x), x, inf);
 405 inf;
 406
 407 gruntz(exp(-x), x, inf);
 408 0;
 409
 410 gruntz( (x + 2^x) / 3^x, x, inf);
 411 0;
 412
 413 gruntz( x^2/(x + 2*x^2), x, inf);
 414 1/2;
 415
 416 gruntz( x/x^log(x), x, inf);
 417 0;
 418
 419 gruntz( (2^x)/(x + exp(x)) , x, 0, plus);
 420 1;
 421
 422 gruntz( (erf(x))/sqrt(1-cos(x)) , x, 0, minus);
 423 -2*sqrt(2)/sqrt(%pi);
 424
 425 gruntz( (erf(x))/sqrt(1-cos(x)) , x, 0, plus);
 426 2*sqrt(2)/sqrt(%pi);
 427
 428 gruntz( x*(x^(1/x)-1)/log(x), x, inf);
 429 1;
 430
 431 gruntz( (x*x^(1/x)-x)/log(x), x, inf);
 432 1;
 433
 434 gruntz(exp(-1/x)/x^6,x,0,plus);
 435 0;
 436
 437 /* limit gives the wrong answer - ID: 3410704 */
 438 limit(sqrt(t^2+4)*(((t+2/t^2)^2+4)^(3/2)-(t+2/t^2)^3-4*(t+2/t^2))
 439          /(sqrt((t+2/t^2)^2+4)*((t^2+4)^(3/2)-t^3-4*t)), t, inf);
 440 1;
 441
 442 /* Inaccurate Limit Evaluation - ID: 3276461 */
 443 radcan(limit((-4*x^2-10*x+24)/((4*x+8)^(1/3)+2), x, -4));
 444 66;
 445
 446 limit(-(3*n^2 + 1)*(-1)^n/sqrt(n^5 + 8*n^3 + 8),n,inf);
 447 0;
 448
 449 /*
 450  * Bug ID: 1315837 limit(?foo)
 451  * Bug ID: 1119228 limit(1/zeraoa)
 452  */
 453
 454 limit(?foo);
 455 ?foo;
 456 limit(true);
 457 true;
 458 limit(false);
 459 false;
 460 limit(1/zeroa);
 461 inf;
 462 limit(1/zerob);
 463 minf;
 464
 465 /*
 466  * Bug ID: 1797296 - Crazy results when doing limit of 'diff
 467  */
 468 limit('diff(x+1,x),x,2);
 469 'limit('diff(x+1,x),x,2);
 470
 471 limit('integrate(x+1,x),x,2);
 472 'limit('integrate(x+1,x),x,2);
 473
 474 limit(integrate(f(t),t,0,x),x,0,plus);
 475 'limit(integrate(f(t),t,0,x),x,0,plus);
 476
 477 limit(integrate(t,t,0,x)/x,x,inf);
 478 inf;
 479
 480 (assume(a>2), limit(integrate(t/log(t),t,2,a)/a,a,inf));
 481 inf;
 482
 483 /* limit(1/inf-1/minf) => 0+0 - ID: 903074 */
 484 limit(1/inf-1/minf);
 485 0;
 486
 487 /*
 488  1-arg limit: limit(a*inf-inf) => minf - ID: 1385306
 489
 490  The original fix for this bug sent it to inf, assuming that the two
 491  different "inf" occurrences were the same. I disagree: inf - inf
 492  probably shouldn't ever be simplified to zero, but we can avoid it
 493  here so we do.
 494 */
 495 limit(a*inf-inf);
 496 und$
 497
 498 /* limit(1 - (-1/2)^inf) --> inf - ID: 2853506 */
 499 limit(1 - (-1/2)^inf);
 500 1-(-1)^inf/2^inf;
 501 /* ideally should be 1 */
 502
 503 /* definition of derivative in terms of limit */
 504 limit((sin(3*(x+h)) - sin(3*(x)))/h, h, 0, plus);
 505 3*cos(3*x);
 506
 507 /* limit incorrect for -x/sqrt(1-x^2) - ID: 2869955 */
 508 limit(-x/sqrt(1-x^2), x, 1, minus);
 509 minf;
 510
 511 /* limit(%i*log(a),a,0) nounform (%i*und problem) - ID: 816797 */
 512 limit(%i*log(x),x,0);
 513 infinity;
 514
 515 /* limit(sqrt(x),x,minf) not fully evaluated - ID: 2901855 */
 516 limit(sqrt(x), x, minf);
 517 infinity;
 518
 519 /* #2847 limits of powers of constants */
 520 limit((5+%i)^n,n,inf);
 521 infinity;
 522
 523 /* limit bug - ID: 3101075 */
 524 limit((2+cos(x))/(x^3*sin(x))-3/x^4,x,0,plus);
 525 1/60;
 526
 527 /* #2527 exponent too big in limit */
 528 limit ((cosh(sqrt(x+1))-cosh(sqrt(x)))^(1/sqrt(x)),x,inf );
 529 %e;
 530
 531 /* #2561 limit(log(x^2),x,-20) gives 2*log(-20) */
 532 limit(log(x^2),x,-20),logexpand:false;
 533 log(400);
 534
 535 /* #2412 Problems with integral (x/(exp(x)+1),x,0,inf) */
 536 limit(-x*log(%e^x+1)-li[2](-%e^x)+x^2/2, x, inf);
 537 %pi^2/6;
 538
 539 /* The initial problem which triggers this bug */
 540 declare(n,integer);
 541 done;
 542 limit ((sin(n*x) - n*x*cos(n*x))/n^2, x, %pi);
 543 -%pi*(-1)^n/n;
 544
 545 /* #2503 Declaring x as an integer changes result of limit from 3 to inf */
 546 limit((2^n+3^n)^(1/n), n,inf);
 547 3;
 548
 549 /* #2624 Erroneous limit result */
 550 (assume(n>2), limit(x-x*(1-1/x)^n, x, inf));
 551 n;
 552
 553 (forget(n>2),0);
 554 0;
 555
 556 /* Bug ID: 593351 - limit/sin(inf)etc. should give 0, not IND
 557  */
 558 limit(cos(1/x)*sin(x)-sin(x),x,inf);
 559 0;
 560 limit(cos(1/x)*sin(x)-sin(x)+a,x,inf);
 561 a;
 562
 563 /* Bug ID: 1376392 - limit(x/(2+sin(1/x)), x, 0); wrong result
 564  */
 565 limit(x/(2+sin(1/x)),x,0);
 566 0;
 567
 568 /* Bug ID: 1106912 - limit(x/sin(x)^2,x,inf)
 569    I think the limit is not defined because the func is not defined
 570    for all x > any constant.
 571  */
 572 limit(x/sin(x)^2,x,inf);
 573 und;
 574
 575 /* Bug ID: 811522 - redundant question in limit
 576  * b is assumed to be zero. Maxima now can deduce from the database
 577  * that b-2 is an even number.
 578  */
 579 assume(equal(b,0));
 580 [equal(b,0)];
 581 limit(r^(b-2)*(x-r)^2,r,0);
 582 'limit(r^(b-2)*(x-r)^2,r,0);
 583 forget(equal(b,0));
 584 [equal(b,0)];
 585
 586 /* Bug ID: 221642 limit needs %piargs to be true
 587  * The implementation of simp-%atan and simpatan2 has been revised.
 588  * We get more limits independent of the value of %piargs.
 589  */
 590 %piargs:false;
 591 false;
 592 limit(atan2(0,y),y,0,plus);
 593 atan(0);
 594 limit(atan2(0,y),y,0,minus);
 595 %pi;
 596 limit(atan2(x,0),x,0,plus);
 597 %pi/2;
 598 limit(atan2(x,0),x,0,minus);
 599 -%pi/2;
 600 reset(%piargs);
 601 [%piargs];
 602
 603 /* Bug ID: 3002971 - limit fails where rat+subst works
 604  */
 605 limit(min(x,x+2,sin(x)/x),x,0);
 606 0;
 607 limit(max(x,x+2,sin(x)/x),x,0);
 608 2;
 609
 610 /* Bug ID: 1969790 - limits and subscripts
 611  */
 612 limit(mu[inf],x,inf);
 613 mu[inf];
 614
 615 /*
 616  * Bug 3509430: limit of tanh(x) at 0 makes no sense
 617  */
 618 limit(tanh(x), x, 0);
 619 0;
 620
 621 /* bug 2535: stack exhausted when computing limit(log(..)) */
 622
 623 limit(log(-1/3125*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^n - (1/2*sqrt(5) +
 624 1/2)^n)^9*sqrt(5))/log(-1/5*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^(8*n) - (1/2*sqrt(5) +
 625 1/2)^(8*n))*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^n - (1/2*sqrt(5) + 1/2)^n) -
 626 1/5*((-1/2*sqrt(5) + 1/2)^(9*n) - (1/2*sqrt(5) +
 627 1/2)^(9*n))*sqrt(5)),n,inf);
 628 1;
 629
 630 /* #2675 maxima will not do the simplest of definite integrals
 631    and will not factor otherwise */
 632 limit(x^2*exp(-%i*x - x), x, inf);
 633 0;
 634
 635 /* bug #2621 gamma limit error */
 636
 637 limit(gamma(x+1/2)/(sqrt(x)*gamma(x)), x, inf);
 638 1;
 639
 640 /* Triggered by #2849. This result isn't great, but it's better than
 641    an error. A more useful result would be und. */
 642 limit (ind * inf);
 643 ind * inf $
 644
 645 limit((a*exp(a*x)*sin(b*x))/(b^2+a^2)-(b*exp(a*x)*cos(b*x))/(b^2+a^2), x, 0, plus);
 646 -(b/(a^2 + b^2));