Documentation/hkl.lyx

   1 #LyX 1.4.2 created this file. For more info see http://www.lyx.org/
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  33
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  35
  36 \begin_layout Title
  37 Principes de base de diffractométrie et de cristallographie calculs de diffracti
  38 on
  39 \end_layout
  40
  41 \begin_layout Author
  42 Frédéric-Emmanuel PICCA
  43 \end_layout
  44
  45 \begin_layout Chapter
  46 La diffraction
  47 \end_layout
  48
  49 \begin_layout Section
  50 Le cristal
  51 \end_layout
  52
  53 \begin_layout Standard
  54 Un cristal périodique est l'association d'un réseau et d'un motif placé
  55  en chaque noeud du réseau.
  56  Un réseau est un ensemble de points, appelé noeuds du réseau, dont les
  57  positions sont données par:
  58 \end_layout
  59
  60 \begin_layout Standard
  61 \begin_inset Formula \begin{equation}
  62 R_{uvw}=u\cdot\vec{a}+v\cdot\vec{b}+w\cdot\vec{c}\end{equation}
  63
  64 \end_inset
  65
  66
  67 \end_layout
  68
  69 \begin_layout Standard
  70 \begin_inset Formula $\vec{a}$
  71 \end_inset
  72
  73 ,
  74 \begin_inset Formula $\vec{b}$
  75 \end_inset
  76
  77 ,
  78 \begin_inset Formula $\vec{c}$
  79 \end_inset
  80
  81  sont des vecteurs formant une base de l'espace et
  82 \begin_inset Formula $u$
  83 \end_inset
  84
  85 ,
  86 \begin_inset Formula $v$
  87 \end_inset
  88
  89 ,
  90 \begin_inset Formula $w$
  91 \end_inset
  92
  93  sont des entiers.
  94  Le motif est l'ensemble des atomes associés à chaque noeud du réseau.
  95  L'objet de la diffractométrie est d'étudier la diffraction de cet ensemble
  96  réseau + motif.
  97  On peut aisément définir un repère associé à la maille du cristal, il s'agit
  98  du repère cristallin ou repère directe (fig.\InsetSpace ~
  99
 100 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Le-repère-cristallin.}
 101
 102 \end_inset
 103
 104 ).
 105 \end_layout
 106
 107 \begin_layout Standard
 108 \begin_inset Float figure
 109 wide false
 110 sideways false
 111 status open
 112
 113 \begin_layout Standard
 114 \align center
 115 \begin_inset Graphics
 116         filename figures/cristal.png
 117         width 8cm
 118         keepAspectRatio
 119
 120 \end_inset
 121
 122
 123 \end_layout
 124
 125 \begin_layout Caption
 126 Le repère cristallin.
 127 \begin_inset LatexCommand \label{cap:Le-repère-cristallin.}
 128
 129 \end_inset
 130
 131
 132 \end_layout
 133
 134 \end_inset
 135
 136
 137 \end_layout
 138
 139 \begin_layout Standard
 140 Ce repère est défini par les vecteurs
 141 \begin_inset Formula $\vec{a}$
 142 \end_inset
 143
 144 ,
 145 \begin_inset Formula $\vec{b}$
 146 \end_inset
 147
 148 ,
 149 \begin_inset Formula $\vec{c}$
 150 \end_inset
 151
 152  ainsi que par les angles
 153 \begin_inset Formula $\alpha$
 154 \end_inset
 155
 156 ,
 157 \begin_inset Formula $\beta$
 158 \end_inset
 159
 160 ,
 161 \begin_inset Formula $\gamma$
 162 \end_inset
 163
 164  entre eux.
 165  Dans le cas général, il n'est pas orthonormé.
 166 \end_layout
 167
 168 \begin_layout Standard
 169 Cependant pour des raisons liées à la cristallographie il existe un repère
 170  aux propriétés plus intéressantes: le repère réciproque que l'on définit
 171  par la transformée de Fourier du repère direct.
 172  Ses vecteurs de base sont:
 173 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 174 \vec{a}^{*} & = & \tau\frac{\vec{b}\wedge\vec{c}}{\vec{a}\cdot(\vec{b}\wedge\vec{c})}\nonumber \\
 175 \vec{b}^{*} & = & \tau\frac{\vec{c}\wedge\vec{a}}{\vec{b}\cdot(\vec{c}\wedge\vec{a})}\label{eq:vecteurs reciproque}\\
 176 \vec{c}^{*} & = & \tau\frac{\vec{a}\wedge\vec{b}}{\vec{c}\cdot(\vec{a}\wedge\vec{b})}\nonumber \end{eqnarray}
 177
 178 \end_inset
 179
 180
 181 \end_layout
 182
 183 \begin_layout Standard
 184 \begin_inset Formula $\tau=2\pi$
 185 \end_inset
 186
 187  ou
 188 \begin_inset Formula $\tau=1$
 189 \end_inset
 190
 191  suivant les conventions.
 192 \end_layout
 193
 194 \begin_layout Standard
 195 On en déduit les relations d'orthogonalité suivantes:
 196 \end_layout
 197
 198 \begin_layout Standard
 199 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 200 \vec{a}^{*}\cdot\vec{a}=\tau & \vec{b}^{*}\cdot\vec{a}=0 & \vec{c}^{*}\cdot\vec{a}=0\nonumber \\
 201 \vec{a}^{*}\cdot\vec{b}=0 & \vec{b}^{*}\cdot\vec{b}=\tau & \vec{c}^{*}\cdot\vec{b}=0\\
 202 \vec{a}^{*}\cdot\vec{c}=0 & \vec{b}^{*}\cdot\vec{c}=0 & \vec{c}^{*}\cdot\vec{c}=\tau\nonumber \end{eqnarray}
 203
 204 \end_inset
 205
 206
 207 \end_layout
 208
 209 \begin_layout Standard
 210 Le repère réciproque permet d'exprimer simplement les relation entre faisceau
 211  incident et faisceau diffracté suite à une expérience de diffractométrie.
 212  Dans la pratique, pour décrire un cristal on possède souvent uniquement
 213  la norme des vecteurs
 214 \begin_inset Formula $\vec{a}$
 215 \end_inset
 216
 217 ,
 218 \begin_inset Formula $\vec{b}$
 219 \end_inset
 220
 221 ,
 222 \begin_inset Formula $\vec{c}$
 223 \end_inset
 224
 225  ainsi que les angles
 226 \begin_inset Formula $\alpha$
 227 \end_inset
 228
 229 ,
 230 \begin_inset Formula $\beta$
 231 \end_inset
 232
 233 ,
 234 \begin_inset Formula $\gamma$
 235 \end_inset
 236
 237 .
 238  En utilisant les équations\InsetSpace ~
 239
 240 \begin_inset LatexCommand \ref{eq:vecteurs reciproque}
 241
 242 \end_inset
 243
 244  on obtient les mêmes information dans l'espace réciproque.
 245  Ainsi:
 246 \end_layout
 247
 248 \begin_layout Standard
 249 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 250 a^{*} & = & \frac{\sin\alpha}{aD}\nonumber \\
 251 b^{*} & = & \frac{\sin\beta}{bD}\\
 252 c* & = & \frac{\sin\gamma}{cD}\nonumber \end{eqnarray}
 253
 254 \end_inset
 255
 256
 257 \end_layout
 258
 259 \begin_layout Standard
 260 où
 261 \begin_inset Formula \[
 262 D=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha-\cos^{2}\beta-\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}\]
 263
 264 \end_inset
 265
 266
 267 \end_layout
 268
 269 \begin_layout Standard
 270 pour calculer les angles entre les vecteurs de l'espace réciproque, on utilise
 271  encore une fois les équation\InsetSpace ~
 272
 273 \begin_inset LatexCommand \ref{eq:vecteurs reciproque}
 274
 275 \end_inset
 276
 277  mais cette fois-ci pour calculer les sinus et cosinus des angles
 278 \begin_inset Formula $\alpha^{*}$
 279 \end_inset
 280
 281 ,
 282 \begin_inset Formula $\beta^{*}$
 283 \end_inset
 284
 285  et
 286 \begin_inset Formula $\gamma^{*}$
 287 \end_inset
 288
 289 :
 290 \begin_inset Formula \begin{eqnarray}
 291 \cos\alpha^{*}=\frac{\cos\beta\cos\gamma-\cos\alpha}{\sin\beta\sin\gamma} & \, & \sin\alpha^{*}=\frac{D}{\sin\beta\sin\gamma}\nonumber \\
 292 \cos\beta^{*}=\frac{\cos\gamma\cos\alpha-\cos\beta}{\sin\gamma\sin\alpha} & \, & \sin\beta^{*}=\frac{D}{\sin\gamma\sin\alpha}\\
 293 \cos\gamma^{*}=\frac{\cos\alpha\cos\beta-\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta} & \, & \sin\gamma^{*}=\frac{D}{\sin\alpha\sin\beta}\nonumber \end{eqnarray}
 294
 295 \end_inset
 296
 297
 298 \end_layout
 299
 300 \begin_layout Section
 301 La Diffraction
 302 \end_layout
 303
 304 \begin_layout Standard
 305 soit un faisceau de rayon X dont le vecteur d'onde est
 306 \begin_inset Formula $\vec{k_{i}}$
 307 \end_inset
 308
 309 ,
 310 \begin_inset Formula $|k_{i}|=\tau/\lambda$
 311 \end_inset
 312
 313  où
 314 \begin_inset Formula $\lambda$
 315 \end_inset
 316
 317  est la longueur d'onde du signal.
 318  Soit
 319 \begin_inset Formula $\vec{k_{d}}$
 320 \end_inset
 321
 322  le vecteur d'onde du faisceau diffracté.
 323  On a diffraction si le vecteur diffusion
 324 \begin_inset Formula $\vec{q}$
 325 \end_inset
 326
 327  peut s'exprimer comme suit:
 328 \end_layout
 329
 330 \begin_layout Standard
 331 \begin_inset Formula \begin{equation}
 332 \vec{q}=\vec{k_{d}}-\vec{k_{i}}=h.\vec{a}^{*}+k.\vec{b}^{*}+l.\vec{c}^{*}\end{equation}
 333
 334 \end_inset
 335
 336
 337 \end_layout
 338
 339 \begin_layout Standard
 340 où
 341 \begin_inset Formula $(h,k,l)\in\mathbb{N}^{3}$
 342 \end_inset
 343
 344  et
 345 \begin_inset Formula $(h,k,l)\neq(0,0,0)$
 346 \end_inset
 347
 348 .
 349  Ces indices
 350 \begin_inset Formula $(h,k,l)$
 351 \end_inset
 352
 353  sont appelé indices de Miller.
 354 \end_layout
 355
 356 \begin_layout Standard
 357 Une autre façon de voir les choses à été donné par Bragg et ça fameuse relation:
 358 \end_layout
 359
 360 \begin_layout Standard
 361 \begin_inset Formula \begin{equation}
 362 n\lambda=2d\sin\theta\end{equation}
 363
 364 \end_inset
 365
 366
 367 \end_layout
 368
 369 \begin_layout Standard
 370 où
 371 \begin_inset Formula $d$
 372 \end_inset
 373
 374  est la distance inter-réticulaire et
 375 \begin_inset Formula $n\in\mathbb{N}$
 376 \end_inset
 377
 378 .
 379  La diffraction à lieu pour un angle
 380 \begin_inset Formula $\theta$
 381 \end_inset
 382
 383  unique.
 384  On a alors
 385 \begin_inset Formula $\vec{q}$
 386 \end_inset
 387
 388  perpendiculaire au plan de diffraction.
 389 \end_layout
 390
 391 \begin_layout Standard
 392 La construction d'Ewald permet de se représenter facilement la condition
 393  de diffraction à l'aide du réseau réciproque.
 394 \end_layout
 395
 396 \begin_layout Section
 397 Les quaternions
 398 \end_layout
 399
 400 \begin_layout Subsection
 401 Propriétés
 402 \end_layout
 403
 404 \begin_layout Standard
 405 Nous allons utiliser le formalisme des quaternions pour décrire les diffractomèt
 406 res.
 407  Ces êtres mathématiques permettent de représenter des rotations dans l'espace
 408  à trois dimensions.
 409  Il y a plusieurs façons de les représenter tout comme les nombres complexes.
 410
 411 \begin_inset Formula \[
 412 q=a+bi+cj+dk\]
 413
 414 \end_inset
 415
 416  ou bien
 417 \begin_inset Formula \[
 418 q=[a,\vec{v}]\]
 419
 420 \end_inset
 421
 422 La norme d'un quaternion est calculé de la même façon que pour les nombres
 423  complexes
 424 \begin_inset Formula \begin{equation}
 425 |q|=\sqrt{a²+b²+c²+d²}\end{equation}
 426
 427 \end_inset
 428
 429 Son conjugé est :
 430 \begin_inset Formula \[
 431 q^{*}=[a,-\vec{u}]=a-bi-cj-dk\]
 432
 433 \end_inset
 434
 435
 436 \end_layout
 437
 438 \begin_layout Subsection
 439 Opérations
 440 \end_layout
 441
 442 \begin_layout Standard
 443 La grand différence avec l'algèbre des nombres complexes est sa non commutativit
 444 é (cf\InsetSpace ~
 445 tab\InsetSpace ~
 446
 447 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Règles-de-multiplication}
 448
 449 \end_inset
 450
 451 ).
 452 \begin_inset Formula \begin{equation}
 453 qp\neq pq\end{equation}
 454
 455 \end_inset
 456
 457
 458 \begin_inset Float table
 459 wide false
 460 sideways false
 461 status open
 462
 463 \begin_layout Standard
 464 \align center
 465 \begin_inset Tabular
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 475 \begin_inset Text
 476
 477 \begin_layout Standard
 478
 479 \end_layout
 480
 481 \end_inset
 482 </cell>
 483 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 484 \begin_inset Text
 485
 486 \begin_layout Standard
 487 1
 488 \end_layout
 489
 490 \end_inset
 491 </cell>
 492 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 493 \begin_inset Text
 494
 495 \begin_layout Standard
 496 i
 497 \end_layout
 498
 499 \end_inset
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 502 \begin_inset Text
 503
 504 \begin_layout Standard
 505 j
 506 \end_layout
 507
 508 \end_inset
 509 </cell>
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 511 \begin_inset Text
 512
 513 \begin_layout Standard
 514 k
 515 \end_layout
 516
 517 \end_inset
 518 </cell>
 519 </row>
 520 <row>
 521 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 522 \begin_inset Text
 523
 524 \begin_layout Standard
 525 1
 526 \end_layout
 527
 528 \end_inset
 529 </cell>
 530 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 531 \begin_inset Text
 532
 533 \begin_layout Standard
 534 1
 535 \end_layout
 536
 537 \end_inset
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 540 \begin_inset Text
 541
 542 \begin_layout Standard
 543 i
 544 \end_layout
 545
 546 \end_inset
 547 </cell>
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 549 \begin_inset Text
 550
 551 \begin_layout Standard
 552 j
 553 \end_layout
 554
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 559
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 563
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 587 \begin_inset Text
 588
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 590 -1
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 596 \begin_inset Text
 597
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 599 k
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 606
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 608 -j
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 616 \begin_inset Text
 617
 618 \begin_layout Standard
 619 j
 620 \end_layout
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 622 \end_inset
 623 </cell>
 624 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 625 \begin_inset Text
 626
 627 \begin_layout Standard
 628 j
 629 \end_layout
 630
 631 \end_inset
 632 </cell>
 633 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 634 \begin_inset Text
 635
 636 \begin_layout Standard
 637 -k
 638 \end_layout
 639
 640 \end_inset
 641 </cell>
 642 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 643 \begin_inset Text
 644
 645 \begin_layout Standard
 646 -1
 647 \end_layout
 648
 649 \end_inset
 650 </cell>
 651 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
 652 \begin_inset Text
 653
 654 \begin_layout Standard
 655 i
 656 \end_layout
 657
 658 \end_inset
 659 </cell>
 660 </row>
 661 <row>
 662 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 663 \begin_inset Text
 664
 665 \begin_layout Standard
 666 k
 667 \end_layout
 668
 669 \end_inset
 670 </cell>
 671 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 672 \begin_inset Text
 673
 674 \begin_layout Standard
 675 k
 676 \end_layout
 677
 678 \end_inset
 679 </cell>
 680 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 681 \begin_inset Text
 682
 683 \begin_layout Standard
 684 j
 685 \end_layout
 686
 687 \end_inset
 688 </cell>
 689 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
 690 \begin_inset Text
 691
 692 \begin_layout Standard
 693 -i
 694 \end_layout
 695
 696 \end_inset
 697 </cell>
 698 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
 699 \begin_inset Text
 700
 701 \begin_layout Standard
 702 -1
 703 \end_layout
 704
 705 \end_inset
 706 </cell>
 707 </row>
 708 </lyxtabular>
 709
 710 \end_inset
 711
 712
 713 \end_layout
 714
 715 \begin_layout Caption
 716 Règles de multiplication pour les quaternions
 717 \begin_inset LatexCommand \label{cap:Règles-de-multiplication}
 718
 719 \end_inset
 720
 721
 722 \end_layout
 723
 724 \end_inset
 725
 726
 727 \end_layout
 728
 729 \begin_layout Standard
 730 Le calcule du produit de deux quaternions s'exprime sous la forme du produite
 731  de Grassman (eq.\InsetSpace ~
 732
 733 \begin_inset LatexCommand \ref{eq:produit de Grassman}
 734
 735 \end_inset
 736
 737 ).
 738  Ainsi pour les deux quaternions
 739 \begin_inset Formula $p$
 740 \end_inset
 741
 742  et
 743 \begin_inset Formula $q$
 744 \end_inset
 745
 746 :
 747 \begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
 748 q & =a+\vec{u}= & a+bi+cj+dk\\
 749 p & =t+\vec{v}= & t+xi+yj+zk\end{eqnarray*}
 750
 751 \end_inset
 752
 753
 754 \end_layout
 755
 756 \begin_layout Standard
 757 on obtient
 758 \begin_inset Formula \begin{equation}
 759 pq=at-\vec{u}\cdot\vec{v}+a\vec{v}+t\vec{u}+\vec{v}\times\vec{u}\label{eq:produit de Grassman}\end{equation}
 760
 761 \end_inset
 762
 763
 764 \end_layout
 765
 766 \begin_layout Standard
 767 ou encore
 768 \begin_inset Formula \[
 769 pq==(at-bx-cy-dz)+(bt+ax+cz-dy)i+(ct+ay+dx-bz)j+(dt+az+by-cx)k\]
 770
 771 \end_inset
 772
 773
 774 \end_layout
 775
 776 \begin_layout Subsection
 777 Les rotation de l'espace 3D
 778 \end_layout
 779
 780 \begin_layout Standard
 781 L'ensemble des quaternions unitaires (leur norme est égale à 1) est le groupe
 782  qui représente les rotations dans l'espace 3D.
 783  Si on a un vecteur unitaire
 784 \begin_inset Formula $\vec{u}$
 785 \end_inset
 786
 787  et un angle de rotation
 788 \begin_inset Formula $\theta$
 789 \end_inset
 790
 791  alors le quaternion
 792 \begin_inset Formula $[\cos\frac{\theta}{2},\sin\frac{\theta}{2}\vec{u]}$
 793 \end_inset
 794
 795  représente la rotation de
 796 \begin_inset Formula $\theta$
 797 \end_inset
 798
 799  autour de l'axe
 800 \begin_inset Formula $\vec{u}$
 801 \end_inset
 802
 803  dans le sens trigonométrique.
 804  Nous allons donc utiliser ces quaternions unitaires pour représenter les
 805  mouvements du diffractomètre.
 806 \end_layout
 807
 808 \begin_layout Standard
 809 Alors que dans le plan 2D une simple multiplication entre un nombre complex
 810  et le nombre
 811 \begin_inset Formula $e^{i\theta}$
 812 \end_inset
 813
 814  permet de calculer simplement la rotation d'angle
 815 \begin_inset Formula $\theta$
 816 \end_inset
 817
 818  autour de l'origine, dans l'espace 3D l'expression équivalente est:
 819 \end_layout
 820
 821 \begin_layout Standard
 822 \begin_inset Formula \begin{equation}
 823 z'=qzq^{-1}\end{equation}
 824
 825 \end_inset
 826
 827
 828 \end_layout
 829
 830 \begin_layout Standard
 831 où
 832 \begin_inset Formula $q$
 833 \end_inset
 834
 835  est le quaternion de norme 1 représentant la rotation dans l'espace et
 836
 837 \begin_inset Formula $z$
 838 \end_inset
 839
 840  le quaternion représentant le vecteur qui subit la rotation (sa partie
 841  réelle est nulle).
 842
 843 \end_layout
 844
 845 \begin_layout Standard
 846 Dans le cas des quaternions de norme 1, il est très facile de calculer
 847 \begin_inset Formula $q^{-1}$
 848 \end_inset
 849
 850 .
 851  En effet l'inverse d'une rotation d'angle
 852 \begin_inset Formula $\theta$
 853 \end_inset
 854
 855  est la rotation d'angle
 856 \begin_inset Formula $-\theta$
 857 \end_inset
 858
 859 .
 860  On a donc directement:
 861 \end_layout
 862
 863 \begin_layout Standard
 864 \begin_inset Formula \[
 865 q^{-1}=[\cos\frac{-\theta}{2},\sin\frac{-\theta}{2}\vec{u}]=[\cos\frac{\theta}{2},-\sin\frac{\theta}{2}\vec{u}]=q^{*}\]
 866
 867 \end_inset
 868
 869
 870 \end_layout
 871
 872 \begin_layout Standard
 873 Le passage aux matrices de rotation se fait par la formule suivante
 874 \begin_inset Formula $q\rightarrow M$
 875 \end_inset
 876
 877 .
 878 \begin_inset Formula \begin{equation}
 879 \left(\begin{array}{ccc}
 880 a²+b²-c²-d² & 2bc-2ad & 2ac+2bd\\
 881 2ad+2bc & a²-b²+c²-d² & 2cd-2ab\\
 882 2bd-2ac & 2ab+2cd & a²-b²-c²+d²\end{array}\right)\end{equation}
 883
 884 \end_inset
 885
 886
 887 \end_layout
 888
 889 \begin_layout Standard
 890 La composition de rotation se fait simplement en multipliant les quaternions
 891  entre eux.
 892  Si l'on à
 893 \begin_inset Formula $q$
 894 \end_inset
 895
 896
 897 \end_layout
 898
 899 \begin_layout Section
 900 Les Diffractomètres
 901 \end_layout
 902
 903 \begin_layout Subsection
 904 Eulérien 3S+1D
 905 \end_layout
 906
 907 \begin_layout Standard
 908 Nous allons nous inspirer du modèle de Busin et Levy pour décrire notre
 909  diffractomètre.
 910  Les sens de rotation sont respectés mais le repère directe est choisi de
 911  façon à correspondre au repère de laboratoire de la ligne CRYSTAL du synchrotro
 912 n Soleil.
 913  Les photons-X se propagent suivant le vecteur
 914 \begin_inset Formula $\vec{x}$
 915 \end_inset
 916
 917  et la direction verticale est suivant le vecteur
 918 \begin_inset Formula $\vec{z}$
 919 \end_inset
 920
 921 .
 922  Ce diffractomètre est de type verticale (le vecteur de diffusion
 923 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
 924 \end_inset
 925
 926  est dans le plan xOz).
 927  Les angles permettant de décrire la configuration du diffractomètre sont
 928  présentés sur la figure\InsetSpace ~
 929
 930 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:3S+1D}
 931
 932 \end_inset
 933
 934 .
 935 \end_layout
 936
 937 \begin_layout Standard
 938 \begin_inset Float figure
 939 wide false
 940 sideways false
 941 status open
 942
 943 \begin_layout Standard
 944 \align center
 945 \begin_inset Graphics
 946         filename figures/3S+1D.png
 947         width 8cm
 948
 949 \end_inset
 950
 951
 952 \end_layout
 953
 954 \begin_layout Caption
 955 Dénomination des angles du diffractomètre 3S+1D Eulérien.
 956 \begin_inset LatexCommand \label{cap:3S+1D}
 957
 958 \end_inset
 959
 960
 961 \end_layout
 962
 963 \end_inset
 964
 965
 966 \end_layout
 967
 968 \begin_layout Subsection
 969 Eulérien 4S+2D
 970 \end_layout
 971
 972 \begin_layout Standard
 973 Nous allons nous inspirer du modèle de You pour notre diffractomètre (fig.\InsetSpace ~
 974
 975 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:4S+2D}
 976
 977 \end_inset
 978
 979 ) ici présenté tous les angles mis à zéro.
 980  Les rayons-X arrivent suivant le vecteur
 981 \begin_inset Formula $\vec{x}$
 982 \end_inset
 983
 984  (le repère est différent de celui de You).
 985 \end_layout
 986
 987 \begin_layout Standard
 988 \begin_inset Float figure
 989 wide false
 990 sideways false
 991 status open
 992
 993 \begin_layout Standard
 994 \align center
 995 \begin_inset Graphics
 996         filename figures/4S+2D.png
 997         width 8cm
 998         keepAspectRatio
 999
1000 \end_inset
1001
1002
1003 \end_layout
1004
1005 \begin_layout Caption
1006 Dénomination des angles du diffractomètre 4S+2D Eulérien.
1007 \begin_inset LatexCommand \label{cap:4S+2D}
1008
1009 \end_inset
1010
1011
1012 \end_layout
1013
1014 \end_inset
1015
1016 Le principe des calcules de You est d'exprimer dans le repère du laboratoire
1017  le vecteur diffusion
1018 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1019 \end_inset
1020
1021  de deux façons différentes.
1022  Une première en utilisant les angles du goniomètre 4S puis une à partir
1023  des angles du détecteur 2D et de la connaissance des coordonnées du vecteur
1024  incident.
1025  En égalant les deux expressions, il obtient un système d'équation à 6 inconnus
1026  mais seulement 3 équations.
1027  Pour être à même de résoudre le système il faut fixer des contraintes supplémen
1028 taire.
1029  C'est ce que l'on appel les modes de fonctionnement du diffractomètre.
1030  Il est commode de définir d'autres angles que ceux du diffractomètre relativeme
1031 nt à des vecteurs caractéristiques tel que le vecteur de diffusion
1032 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1033 \end_inset
1034
1035  ou un vecteur pointant dans une direction particulière du cristal
1036 \begin_inset Formula $\vec{n}$
1037 \end_inset
1038
1039 .
1040  Cette direction peut-être soit lié à la cristallographie du cristal soit
1041  à sa forme (une normale à une face).
1042  La figure\InsetSpace ~
1043
1044 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Pseudo-Angles-liés}
1045
1046 \end_inset
1047
1048  représente les angles liés au vecteur de diffusion et à ce vecteur de référence.
1049  Tout d'abord
1050 \begin_inset Formula $\theta$
1051 \end_inset
1052
1053  (angle entre
1054 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1055 \end_inset
1056
1057  et le plan
1058 \begin_inset Formula $yz$
1059 \end_inset
1060
1061 ) et qui correspond à l'angle de Bragg.
1062
1063 \begin_inset Formula $\vartheta$
1064 \end_inset
1065
1066  qui est l'angle azimutal que fait la projection de
1067 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1068 \end_inset
1069
1070  sur le plan
1071 \begin_inset Formula $yz$
1072 \end_inset
1073
1074  et la direction
1075 \begin_inset Formula $+y$
1076 \end_inset
1077
1078  (fig\InsetSpace ~
1079
1080 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Pseudo-Angles-liés}
1081
1082 \end_inset
1083
1084 a).
1085  Il y a ensuite les angles
1086 \begin_inset Formula $\alpha$
1087 \end_inset
1088
1089  et
1090 \begin_inset Formula $\varphi$
1091 \end_inset
1092
1093  définits comme précédemment mais pour le vecteur de référence
1094 \begin_inset Formula $\vec{n}$
1095 \end_inset
1096
1097  (fig\InsetSpace ~
1098
1099 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Pseudo-Angles-liés}
1100
1101 \end_inset
1102
1103 b).
1104  Et finalement les angles
1105 \begin_inset Formula $\tau$
1106 \end_inset
1107
1108  (angle entre
1109 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1110 \end_inset
1111
1112  et
1113 \begin_inset Formula $\vec{n}$
1114 \end_inset
1115
1116 ) et
1117 \begin_inset Formula $\psi$
1118 \end_inset
1119
1120  qui correspond à la rotation de
1121 \begin_inset Formula $\vec{n}$
1122 \end_inset
1123
1124  autour du vecteur de diffusion
1125 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1126 \end_inset
1127
1128  (fig\InsetSpace ~
1129
1130 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Pseudo-Angles-liés}
1131
1132 \end_inset
1133
1134 c).
1135  L'origine de cet angle
1136 \begin_inset Formula $\psi$
1137 \end_inset
1138
1139  est prise à zéro lorsque le vecteur
1140 \begin_inset Formula $\vec{n}$
1141 \end_inset
1142
1143  est dans le plan de diffraction (plan contenant
1144 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1145 \end_inset
1146
1147  et
1148 \begin_inset Formula $\vec{k_{i}}$
1149 \end_inset
1150
1151 ) (fig\InsetSpace ~
1152
1153 \begin_inset LatexCommand \ref{cap:Pseudo-Angles-liés}
1154
1155 \end_inset
1156
1157 d).
1158 \end_layout
1159
1160 \begin_layout Standard
1161 \begin_inset Float figure
1162 wide false
1163 sideways false
1164 status open
1165
1166 \begin_layout Standard
1167 \align center
1168
1169 \hfill
1170
1171 \begin_inset Graphics
1172         filename figures/4S+2D_reciproque.png
1173         lyxscale 50
1174         width 7cm
1175         subcaption
1176         subcaptionText "Pseudo angles $\theta$ et $\vartheta$ liés à $\vec{Q}$"
1177
1178 \end_inset
1179
1180
1181 \hfill
1182
1183 \begin_inset Graphics
1184         filename figures/4S+2D_reciproque2.png
1185         lyxscale 50
1186         width 7cm
1187         subcaptionText "Pseudo angles $\alpha$ et $\phi$ liés à $\vec{n}$"
1188
1189 \end_inset
1190
1191
1192 \hfill
1193
1194 \end_layout
1195
1196 \begin_layout Standard
1197 \align center
1198
1199 \hfill
1200
1201 \begin_inset Graphics
1202         filename figures/4S+2D_reciproque3.png
1203         lyxscale 50
1204         width 7cm
1205         subcaption
1206         subcaptionText "Pseudo angles $\tau$ et $\psi$ liés à $\vec{n}$ relativement à $\vec{Q}$ et le plan de diffraction."
1207
1208 \end_inset
1209
1210
1211 \hfill
1212
1213 \begin_inset Graphics
1214         filename figures/4S+2D_reciproque4.png
1215         lyxscale 50
1216         width 7cm
1217         subcaption
1218         subcaptionText "Origine des $\psi$"
1219
1220 \end_inset
1221
1222
1223 \hfill
1224
1225 \end_layout
1226
1227 \begin_layout Caption
1228 Pseudo Angles liés au vecteur de diffusion
1229 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1230 \end_inset
1231
1232  et à
1233 \begin_inset Formula $\vec{n}$
1234 \end_inset
1235
1236 .
1237 \begin_inset LatexCommand \label{cap:Pseudo-Angles-liés}
1238
1239 \end_inset
1240
1241
1242 \end_layout
1243
1244 \end_inset
1245
1246
1247 \end_layout
1248
1249 \begin_layout Standard
1250 Il est alors possible d'exprimer ces pseudos angles en fonction des angles
1251  physique du diffractomètre.
1252 \end_layout
1253
1254 \begin_layout Section
1255 Modes de fonctionnement.
1256 \end_layout
1257
1258 \begin_layout Subsection
1259 Equations fondamentales
1260 \end_layout
1261
1262 \begin_layout Standard
1263 Le problème que nous devons résoudre est de calculer pour une famille de
1264  plan
1265 \begin_inset Formula $(h,k,l)$
1266 \end_inset
1267
1268  donné, les angles de rotation du diffractomètre qui permettent de le mettre
1269  en condition de diffraction.
1270  Il faut donc exprimer les relations mathématiques qui lient les différents
1271  angles entre eux lorsque la condition de Bragg est vérifiée.
1272  L'équation fondamentale est la suivante:
1273 \family typewriter
1274
1275 \begin_inset Formula \begin{align*}
1276 \left(\prod_{i}S_{i}\right)\cdot U\cdot B\cdot\vec{h} & =\left(\prod_{j}D_{j}-I\right)\cdot\vec{k_{i}}\\
1277 R\cdot U\cdot B\cdot\vec{h} & =\vec{Q}\end{align*}
1278
1279 \end_inset
1280
1281
1282 \family default
1283 ou
1284 \begin_inset Formula $\vec{h}$
1285 \end_inset
1286
1287  est le vecteur
1288 \begin_inset Formula $(h,k,l)$
1289 \end_inset
1290
1291 ,
1292 \begin_inset Formula $\vec{k_{i}}$
1293 \end_inset
1294
1295  est le vecteur incident,
1296 \begin_inset Formula $S_{i}$
1297 \end_inset
1298
1299  les matrices de rotations des mouvements liés à l'échantillon,
1300 \begin_inset Formula $D_{j}$
1301 \end_inset
1302
1303  les matrices de rotation des mouvements liés au détecteur,
1304 \begin_inset Formula $I$
1305 \end_inset
1306
1307  la matrice identité,
1308 \begin_inset Formula $U$
1309 \end_inset
1310
1311  la matrice d'orientation du cristal par rapport au repère de l'axe sur
1312  lequel ce dernier est monté et
1313 \begin_inset Formula $B$
1314 \end_inset
1315
1316  la matrice de passage d'un repère non orthonormé ( celui du crystal réciproque)
1317  à un repère orthonormé.
1318 \end_layout
1319
1320 \begin_layout Subsection
1321 Calcule de
1322 \begin_inset Formula $B$
1323 \end_inset
1324
1325 .
1326 \end_layout
1327
1328 \begin_layout Standard
1329 Si l'on connaît les paramètres cristallins du cristal étudié, il est très
1330  simple de calculer
1331 \begin_inset Formula $B$
1332 \end_inset
1333
1334 :
1335 \end_layout
1336
1337 \begin_layout Standard
1338 \begin_inset Formula \[
1339 B=\left(\begin{matrix}a^{*} & b^{*}\cos\gamma^{*} & c^{*}\cos\beta^{*}\\
1340 0 & b^{*}\sin\gamma^{*} & -c^{*}\sin\beta^{*}\cos\alpha\\
1341 0 & 0 & 1/c\end{matrix}\right)\]
1342
1343 \end_inset
1344
1345
1346 \end_layout
1347
1348 \begin_layout Subsection
1349 Calcule de
1350 \begin_inset Formula $U$
1351 \end_inset
1352
1353 .
1354 \end_layout
1355
1356 \begin_layout Standard
1357 Il existe plusieurs façons de calculer
1358 \begin_inset Formula $U$
1359 \end_inset
1360
1361 .
1362  Busing et Levy en a proposé plusieurs.
1363  Nous allons présenter celle qui nécessite la mesure de seulement deux réflectio
1364 ns ainsi que la connaissance des paramètres cristallins.
1365  Cette façon de calculer la matrice d'orientation
1366 \begin_inset Formula $U$
1367 \end_inset
1368
1369 , peut être généralisée à n'importe quel diffractomètre pour peu que la
1370  description des axes de rotation permette d'obtenir la matrice de rotation
1371  de la machine
1372 \begin_inset Formula $R$
1373 \end_inset
1374
1375  et le vecteur de diffusion
1376 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1377 \end_inset
1378
1379 .
1380 \end_layout
1381
1382 \begin_layout Standard
1383 Il est également possible de calculer
1384 \begin_inset Formula $U$
1385 \end_inset
1386
1387  sans la connaîssance des paramètres cristallins.
1388  il faut alors faire un affinement des paramètres.
1389  Cela revient à minimiser une fonction.
1390  Nous allons utiliser la méthode du simplex pour trouver ce minimum et donc
1391  ajuster l'ensemble des paramètres cristallins ainsi que la matrice d'orientatio
1392 n.
1393 \end_layout
1394
1395 \begin_layout Subsubsection
1396 Algorithme de Busing Levy
1397 \end_layout
1398
1399 \begin_layout Standard
1400 L'idée est de se placer dans le repère de l'axe sur lequel est monté l'échantill
1401 on.
1402  On mesure deux réflections
1403 \begin_inset Formula $(\vec{h}_{1},\vec{h}_{2})$
1404 \end_inset
1405
1406  ainsi que leurs angles associés.
1407  Cela nous permet de calculer
1408 \begin_inset Formula $R$
1409 \end_inset
1410
1411  et
1412 \begin_inset Formula $\vec{Q}$
1413 \end_inset
1414
1415  pour chacune de ces reflections.
1416  nous avons alors ce système:
1417 \begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
1418 U\cdot B\cdot\vec{h}_{1} & = & \tilde{R}_{1}\cdot\vec{Q}_{1}\\
1419 U\cdot B\cdot\vec{h}_{2} & = & \tilde{R}_{2}\cdot\vec{Q}_{2}\end{eqnarray*}
1420
1421 \end_inset
1422
1423 De façon à calculer facilement
1424 \begin_inset Formula $U$
1425 \end_inset
1426
1427 , il est intéressant de définir deux trièdres orthonormé
1428 \begin_inset Formula $T_{\vec{h}}$
1429 \end_inset
1430
1431  et
1432 \begin_inset Formula $T_{\vec{Q}}$
1433 \end_inset
1434
1435 à partir des vecteurs
1436 \begin_inset Formula $(B\vec{h}_{1},B\vec{h}_{2})$
1437 \end_inset
1438
1439  et
1440 \begin_inset Formula $(\tilde{R}_{1}\vec{Q}_{1},\tilde{R}_{2}\vec{Q}_{2})$
1441 \end_inset
1442
1443 .
1444  On a alors très simplement:
1445 \begin_inset Formula \[
1446 U\cdot T_{\vec{h}}=T_{\vec{Q}}\]
1447
1448 \end_inset
1449
1450 Et donc
1451 \begin_inset Formula \[
1452 U=T_{\vec{Q}}\cdot\tilde{T}_{\vec{h}}\]
1453
1454 \end_inset
1455
1456
1457 \end_layout
1458
1459 \begin_layout Subsubsection
1460 Affinement par la méthode du simplex
1461 \end_layout
1462
1463 \begin_layout Standard
1464 Dans ce cas nous ne connaissons pas la matrice
1465 \begin_inset Formula $B$
1466 \end_inset
1467
1468 , il faut donc mesurer plus que deux réflections pour ajuster les 9 paramètres.
1469  Six paramètres pour le crystal et trois pour la matrice d'orientation
1470 \begin_inset Formula $U$
1471 \end_inset
1472
1473 .
1474  Les trois paramètres qui permennt de representer
1475 \begin_inset Formula $U$
1476 \end_inset
1477
1478  sont en fait les angles d'euler.
1479  il faut donc être en mesure de passer d'une représentation eulérien à cette
1480  matrice
1481 \begin_inset Formula $U$
1482 \end_inset
1483
1484  et réciproquement.
1485 \begin_inset Formula \[
1486 U=X\cdot Y\cdot Z\]
1487
1488 \end_inset
1489
1490 où
1491 \begin_inset Formula $X$
1492 \end_inset
1493
1494  est la matrice rotation suivant l'axe Ox et le premier angle d'Euler,
1495 \begin_inset Formula $Y$
1496 \end_inset
1497
1498  la matrice de rotation suivant l'axe Oy et le deuxième angle d'Euler et
1499
1500 \begin_inset Formula $Z$
1501 \end_inset
1502
1503  la matrice du troisième angle d'Euler pour l'axe Oz.
1504 \end_layout
1505
1506 \begin_layout Standard
1507 \align center
1508 \begin_inset Tabular
1509 <lyxtabular version="3" rows="2" columns="3">
1510 <features>
1511 <column alignment="center" valignment="top" rightline="true" width="0">
1512 <column alignment="center" valignment="top" rightline="true" width="0">
1513 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
1514 <row bottomline="true">
1515 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1516 \begin_inset Text
1517
1518 \begin_layout Standard
1519 \begin_inset Formula $X$
1520 \end_inset
1521
1522
1523 \end_layout
1524
1525 \end_inset
1526 </cell>
1527 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1528 \begin_inset Text
1529
1530 \begin_layout Standard
1531 \begin_inset Formula $Y$
1532 \end_inset
1533
1534
1535 \end_layout
1536
1537 \end_inset
1538 </cell>
1539 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
1540 \begin_inset Text
1541
1542 \begin_layout Standard
1543 \begin_inset Formula $Z$
1544 \end_inset
1545
1546
1547 \end_layout
1548
1549 \end_inset
1550 </cell>
1551 </row>
1552 <row>
1553 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1554 \begin_inset Text
1555
1556 \begin_layout Standard
1557 \begin_inset Formula $\begin{array}{ccc}
1558 1 & 0 & 0\\
1559 0 & A & -B\\
1560 0 & B & A\end{array}$
1561 \end_inset
1562
1563
1564 \end_layout
1565
1566 \end_inset
1567 </cell>
1568 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1569 \begin_inset Text
1570
1571 \begin_layout Standard
1572 \begin_inset Formula $\begin{array}{ccc}
1573 C & 0 & D\\
1574 0 & 1 & 0\\
1575 -D & 0 & C\end{array}$
1576 \end_inset
1577
1578
1579 \end_layout
1580
1581 \end_inset
1582 </cell>
1583 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
1584 \begin_inset Text
1585
1586 \begin_layout Standard
1587 \begin_inset Formula $\begin{array}{ccc}
1588 E & -F & 0\\
1589 F & E & 0\\
1590 0 & 0 & 1\end{array}$
1591 \end_inset
1592
1593
1594 \end_layout
1595
1596 \end_inset
1597 </cell>
1598 </row>
1599 </lyxtabular>
1600
1601 \end_inset
1602
1603
1604 \end_layout
1605
1606 \begin_layout Standard
1607 et donc:
1608 \end_layout
1609
1610 \begin_layout Standard
1611 \begin_inset Formula \[
1612 U=\begin{array}{ccc}
1613 CE & -CF & D\\
1614 BDE+AF & -BDF+AE & -BC\\
1615 -ADE+BF & ADF+BE & AC\end{array}\]
1616
1617 \end_inset
1618
1619 Il est donc facile de passer des angles d'Euler à la matrice d'orientation.
1620 \end_layout
1621
1622 \begin_layout Standard
1623 Il faut maintenant faire la transformation inverse de la matrice
1624 \begin_inset Formula $U$
1625 \end_inset
1626
1627  vers les angles d'euler.
1628 \end_layout
1629
1630 \begin_layout Subsection
1631 Diffractomètre 4 Cercle (3S+1D) Eulerien
1632 \end_layout
1633
1634 \begin_layout Standard
1635 Pour ce diffractomètres, les matrices de rotations des différents axes sont
1636  les suivantes:
1637 \end_layout
1638
1639 \begin_layout Standard
1640 \align center
1641 \begin_inset Tabular
1642 <lyxtabular version="3" rows="2" columns="4">
1643 <features>
1644 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
1645 <column alignment="center" valignment="top" leftline="true" width="0">
1646 <column alignment="center" valignment="top" leftline="true" width="0">
1647 <column alignment="center" valignment="top" leftline="true" width="0">
1648 <row bottomline="true">
1649 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1650 \begin_inset Text
1651
1652 \begin_layout Standard
1653 \begin_inset Formula $\Omega$
1654 \end_inset
1655
1656
1657 \end_layout
1658
1659 \end_inset
1660 </cell>
1661 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1662 \begin_inset Text
1663
1664 \begin_layout Standard
1665 \begin_inset Formula $\chi$
1666 \end_inset
1667
1668
1669 \end_layout
1670
1671 \end_inset
1672 </cell>
1673 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1674 \begin_inset Text
1675
1676 \begin_layout Standard
1677 \begin_inset Formula $\Phi$
1678 \end_inset
1679
1680
1681 \end_layout
1682
1683 \end_inset
1684 </cell>
1685 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
1686 \begin_inset Text
1687
1688 \begin_layout Standard
1689 \begin_inset Formula $2\Theta$
1690 \end_inset
1691
1692
1693 \end_layout
1694
1695 \end_inset
1696 </cell>
1697 </row>
1698 <row>
1699 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1700 \begin_inset Text
1701
1702 \begin_layout Standard
1703 \begin_inset Formula $\begin{array}{ccc}
1704 \cos\omega & 0 & -\sin\omega\\
1705 0 & 1 & 0\\
1706 \sin\omega & 0 & \cos\omega\end{array}$
1707 \end_inset
1708
1709
1710 \end_layout
1711
1712 \end_inset
1713 </cell>
1714 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1715 \begin_inset Text
1716
1717 \begin_layout Standard
1718 \begin_inset Formula $\begin{array}{ccc}
1719 1 & 0 & 0\\
1720 0 & \cos\chi & -\sin\chi\\
1721 0 & \sin\chi & \cos\chi\end{array}$
1722 \end_inset
1723
1724
1725 \end_layout
1726
1727 \end_inset
1728 </cell>
1729 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1730 \begin_inset Text
1731
1732 \begin_layout Standard
1733 \begin_inset Formula $\begin{array}{ccc}
1734 \cos\phi & 0 & -\sin\phi\\
1735 0 & 1 & 0\\
1736 \sin\phi & 0 & \cos\phi\end{array}$
1737 \end_inset
1738
1739
1740 \end_layout
1741
1742 \end_inset
1743 </cell>
1744 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
1745 \begin_inset Text
1746
1747 \begin_layout Standard
1748 \begin_inset Formula $\begin{array}{ccc}
1749 \cos2\theta & 0 & -\sin2\theta\\
1750 0 & 1 & 0\\
1751 \sin2\theta & 0 & \cos2\theta\end{array}$
1752 \end_inset
1753
1754
1755 \end_layout
1756
1757 \end_inset
1758 </cell>
1759 </row>
1760 </lyxtabular>
1761
1762 \end_inset
1763
1764
1765 \end_layout
1766
1767 \begin_layout Standard
1768 On obtient alors la matrice de rotation de la machine
1769 \begin_inset Formula \[
1770 R=\Omega\chi\Phi\]
1771
1772 \end_inset
1773
1774 soit
1775 \begin_inset Formula \[
1776 R=\left(\begin{array}{ccc}
1777 \cos\omega\cos\phi-\cos\chi\sin\omega\sin\phi & -\sin\chi\sin\omega & -\cos\omega\sin\phi-\cos\chi\sin\omega\cos\phi\\
1778 -\sin\chi\sin\phi & \cos\chi & -\sin\chi\cos\phi\\
1779 \sin\omega\cos\phi-\cos\chi\cos\omega\sin\phi & -\sin\chi\cos\omega & -\sin\omega\sin\phi-\cos\chi\cos\omega\cos\phi\end{array}\right)\]
1780
1781 \end_inset
1782
1783 De la même façon on peut calculer le vecteur diffusion en fonction des angles
1784  du détecteur:
1785 \begin_inset Formula \[
1786 \vec{Q}=\left(2\Theta-I\right)\cdot\vec{k}_{i}\]
1787
1788 \end_inset
1789
1790 où
1791 \begin_inset Formula $I$
1792 \end_inset
1793
1794  est la matrice identité.
1795  Finalement:
1796 \begin_inset Formula \[
1797 \vec{Q}=k_{i}\left(\begin{array}{c}
1798 \cos2\theta-1\\
1799 0\\
1800 \sin2\theta\end{array}\right)\]
1801
1802 \end_inset
1803
1804 L'équation fondamentale nous permet d'écrire:
1805 \begin_inset Formula \[
1806 U\cdot B\cdot\vec{h}=\tilde{R}\cdot\vec{Q}\]
1807
1808 \end_inset
1809
1810
1811 \end_layout
1812
1813 \begin_layout Standard
1814 Cette équation est de 4 inconnus pour seulement 3 équations.
1815  Il faut donc imposer des contraintes pour résoudre ce système et ainsi
1816  d'orienter le diffractomètre.
1817  Ces différentes contraintes définissent les modes de fonctionnement des
1818  diffractomètres.
1819  Dans la suite nous allons nous efforcer de trouver l'ensemble des solutions
1820  possibles pour les différents modes et non pas une seule solution.
1821  Ceci afin de laisser le choix suivant certaines stratégies à l'utilisateur
1822  d'utiliser telle ou telle solution plutôt qu'une autre.
1823 \end_layout
1824
1825 \begin_layout Subsubsection
1826 Mode Bisecteur
1827 \end_layout
1828
1829 \begin_layout Standard
1830 Dans ce mode on choisit d'avoir:
1831 \begin_inset Formula \[
1832 \omega=\theta\]
1833
1834 \end_inset
1835
1836 Le système s'écrit alors simplement:
1837 \begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
1838 h_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\cos\chi\sin\phi\\
1839 k_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\sin\chi\\
1840 l_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\cos\chi\cos\phi\end{eqnarray*}
1841
1842 \end_inset
1843
1844 On a:
1845 \begin_inset Formula \[
1846 h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}=4k_{i}\sin^{2}\theta\]
1847
1848 \end_inset
1849
1850 où
1851 \begin_inset Formula $k_{i}=\frac{\tau}{\lambda}$
1852 \end_inset
1853
1854 .
1855  donc on peut écrire:
1856 \begin_inset Formula \[
1857 \left|\sin\theta\right|=\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\]
1858
1859 \end_inset
1860
1861 il faut donc enviseager les deux possibilité selon que
1862 \begin_inset Formula $\theta$
1863 \end_inset
1864
1865  est positif ou bien négatif.
1866 \end_layout
1867
1868 \begin_layout Standard
1869 \align center
1870 \begin_inset Tabular
1871 <lyxtabular version="3" rows="3" columns="4">
1872 <features>
1873 <column alignment="center" valignment="top" rightline="true" width="25line%">
1874 <column alignment="center" valignment="top" width="25line%">
1875 <column alignment="center" valignment="top" leftline="true" rightline="true" width="25line%">
1876 <column alignment="center" valignment="top" width="25line%">
1877 <row>
1878 <cell multicolumn="1" alignment="center" valignment="top" usebox="none" width="50line%">
1879 \begin_inset Text
1880
1881 \begin_layout Standard
1882 \begin_inset Box Frameless
1883 position "c"
1884 hor_pos "c"
1885 has_inner_box 1
1886 inner_pos "t"
1887 use_parbox 0
1888 width "50col%"
1889 special "none"
1890 height "1pt"
1891 height_special "totalheight"
1892 status open
1893
1894 \begin_layout Standard
1895 \align center
1896 \begin_inset Formula $\sin\theta<0$
1897 \end_inset
1898
1899
1900 \end_layout
1901
1902 \begin_layout Standard
1903 On peut alors écrire:
1904 \end_layout
1905
1906 \begin_layout Standard
1907 \begin_inset Formula \[
1908 \sin\chi=-\frac{k_{\phi}}{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}\]
1909
1910 \end_inset
1911
1912  puis en utilisant le relation bien connue
1913 \begin_inset Formula $\cos^{2}+\sin^{2}=1$
1914 \end_inset
1915
1916  on a:
1917 \begin_inset Formula \[
1918 \cos^{2}\chi=\frac{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}\]
1919
1920 \end_inset
1921
1922 Il faut une fois de plus faire un choix selon que
1923 \begin_inset Formula $\cos\chi$
1924 \end_inset
1925
1926  est positif ou négatif.
1927 \end_layout
1928
1929 \end_inset
1930
1931
1932 \end_layout
1933
1934 \end_inset
1935 </cell>
1936 <cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
1937 \begin_inset Text
1938
1939 \begin_layout Standard
1940
1941 \end_layout
1942
1943 \end_inset
1944 </cell>
1945 <cell multicolumn="1" alignment="block" valignment="top" leftline="true" usebox="none" width="50line%">
1946 \begin_inset Text
1947
1948 \begin_layout Standard
1949 \begin_inset Box Frameless
1950 position "c"
1951 hor_pos "c"
1952 has_inner_box 1
1953 inner_pos "t"
1954 use_parbox 0
1955 width "50col%"
1956 special "none"
1957 height "1pt"
1958 height_special "totalheight"
1959 status open
1960
1961 \begin_layout Standard
1962 \align center
1963 \begin_inset Formula $\sin\theta>0$
1964 \end_inset
1965
1966
1967 \end_layout
1968
1969 \begin_layout Standard
1970 On peut alors écrire:
1971 \end_layout
1972
1973 \begin_layout Standard
1974 \begin_inset Formula \[
1975 \sin\chi=\frac{k_{\phi}}{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}\]
1976
1977 \end_inset
1978
1979  puis en utilisant le relation bien connue
1980 \begin_inset Formula $\cos^{2}+\sin^{2}=1$
1981 \end_inset
1982
1983  on a:
1984 \begin_inset Formula \[
1985 \cos^{2}\chi=\frac{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}\]
1986
1987 \end_inset
1988
1989 Il faut une fois de plus faire un choix selon que
1990 \begin_inset Formula $\cos\chi$
1991 \end_inset
1992
1993  est positif ou négatif.
1994 \end_layout
1995
1996 \end_inset
1997
1998
1999 \end_layout
2000
2001 \end_inset
2002 </cell>
2003 <cell multicolumn="2" alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2004 \begin_inset Text
2005
2006 \begin_layout Standard
2007
2008 \end_layout
2009
2010 \end_inset
2011 </cell>
2012 </row>
2013 <row>
2014 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2015 \begin_inset Text
2016
2017 \begin_layout Standard
2018 \begin_inset Formula $\cos\chi<0$
2019 \end_inset
2020
2021
2022 \end_layout
2023
2024 \end_inset
2025 </cell>
2026 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2027 \begin_inset Text
2028
2029 \begin_layout Standard
2030 \begin_inset Formula $\cos\chi>0$
2031 \end_inset
2032
2033
2034 \end_layout
2035
2036 \end_inset
2037 </cell>
2038 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2039 \begin_inset Text
2040
2041 \begin_layout Standard
2042 \begin_inset Formula $\cos\chi<0$
2043 \end_inset
2044
2045
2046 \end_layout
2047
2048 \end_inset
2049 </cell>
2050 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2051 \begin_inset Text
2052
2053 \begin_layout Standard
2054 \begin_inset Formula $\cos\chi>0$
2055 \end_inset
2056
2057
2058 \end_layout
2059
2060 \end_inset
2061 </cell>
2062 </row>
2063 <row>
2064 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2065 \begin_inset Text
2066
2067 \begin_layout Standard
2068 \begin_inset Formula $\cos\chi=-\sqrt{\frac{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}{h_{\phi}^{2}+k_{\phi+}^{2}l_{\phi}^{2}}}$
2069 \end_inset
2070
2071
2072 \end_layout
2073
2074 \end_inset
2075 </cell>
2076 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2077 \begin_inset Text
2078
2079 \begin_layout Standard
2080 \begin_inset Formula $\cos\chi=\sqrt{\frac{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}{h_{\phi}^{2}+k_{\phi+}^{2}l_{\phi}^{2}}}$
2081 \end_inset
2082
2083
2084 \end_layout
2085
2086 \end_inset
2087 </cell>
2088 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2089 \begin_inset Text
2090
2091 \begin_layout Standard
2092 \begin_inset Formula $\cos\chi=-\sqrt{\frac{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}{h_{\phi}^{2}+k_{\phi+}^{2}l_{\phi}^{2}}}$
2093 \end_inset
2094
2095
2096 \end_layout
2097
2098 \end_inset
2099 </cell>
2100 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2101 \begin_inset Text
2102
2103 \begin_layout Standard
2104 \begin_inset Formula $\cos\chi=\sqrt{\frac{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}{h_{\phi}^{2}+k_{\phi+}^{2}l_{\phi}^{2}}}$
2105 \end_inset
2106
2107
2108 \end_layout
2109
2110 \end_inset
2111 </cell>
2112 </row>
2113 </lyxtabular>
2114
2115 \end_inset
2116
2117
2118 \end_layout
2119
2120 \begin_layout Standard
2121 \align center
2122 La résolution du système donne alors 4 quadruplets de solutions:
2123 \end_layout
2124
2125 \begin_layout Standard
2126 \align center
2127 \begin_inset Tabular
2128 <lyxtabular version="3" rows="5" columns="5">
2129 <features>
2130 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
2131 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
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2134 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
2135 <row bottomline="true">
2136 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2137 \begin_inset Text
2138
2139 \begin_layout Standard
2140 \begin_inset Formula $\omega$
2141 \end_inset
2142
2143
2144 \end_layout
2145
2146 \end_inset
2147 </cell>
2148 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2149 \begin_inset Text
2150
2151 \begin_layout Standard
2152 \begin_inset Formula $\chi$
2153 \end_inset
2154
2155
2156 \end_layout
2157
2158 \end_inset
2159 </cell>
2160 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2161 \begin_inset Text
2162
2163 \begin_layout Standard
2164 \begin_inset Formula $\phi$
2165 \end_inset
2166
2167
2168 \end_layout
2169
2170 \end_inset
2171 </cell>
2172 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2173 \begin_inset Text
2174
2175 \begin_layout Standard
2176
2177 \end_layout
2178
2179 \end_inset
2180 </cell>
2181 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2182 \begin_inset Text
2183
2184 \begin_layout Standard
2185 \begin_inset Formula $2\theta$
2186 \end_inset
2187
2188
2189 \end_layout
2190
2191 \end_inset
2192 </cell>
2193 </row>
2194 <row>
2195 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2196 \begin_inset Text
2197
2198 \begin_layout Standard
2199 \begin_inset Formula $-\theta$
2200 \end_inset
2201
2202
2203 \end_layout
2204
2205 \end_inset
2206 </cell>
2207 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2208 \begin_inset Text
2209
2210 \begin_layout Standard
2211 \begin_inset Formula $\arctan2(-k_{\phi},-\sqrt{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}})$
2212 \end_inset
2213
2214
2215 \end_layout
2216
2217 \end_inset
2218 </cell>
2219 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2220 \begin_inset Text
2221
2222 \begin_layout Standard
2223 \begin_inset Formula $\arctan2(h_{\phi},l_{\phi})$
2224 \end_inset
2225
2226
2227 \end_layout
2228
2229 \end_inset
2230 </cell>
2231 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2232 \begin_inset Text
2233
2234 \begin_layout Standard
2235 \begin_inset Tabular
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2237 <features>
2238 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
2239 <row>
2240 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2241 \begin_inset Text
2242
2243 \begin_layout Standard
2244 \begin_inset ERT
2245 status collapsed
2246
2247 \begin_layout Standard
2248
2249
2250 \backslash
2251 rule{0cm}{1cm}
2252 \end_layout
2253
2254 \end_inset
2255
2256
2257 \end_layout
2258
2259 \end_inset
2260 </cell>
2261 </row>
2262 </lyxtabular>
2263
2264 \end_inset
2265
2266
2267 \end_layout
2268
2269 \end_inset
2270 </cell>
2271 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2272 \begin_inset Text
2273
2274 \begin_layout Standard
2275 \begin_inset Formula $2\arcsin-\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}$
2276 \end_inset
2277
2278
2279 \end_layout
2280
2281 \end_inset
2282 </cell>
2283 </row>
2284 <row>
2285 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2286 \begin_inset Text
2287
2288 \begin_layout Standard
2289 \begin_inset Formula $-\theta$
2290 \end_inset
2291
2292
2293 \end_layout
2294
2295 \end_inset
2296 </cell>
2297 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2298 \begin_inset Text
2299
2300 \begin_layout Standard
2301 \begin_inset Formula $\arctan2(-k_{\phi},\sqrt{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}})$
2302 \end_inset
2303
2304
2305 \end_layout
2306
2307 \end_inset
2308 </cell>
2309 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2310 \begin_inset Text
2311
2312 \begin_layout Standard
2313 \begin_inset Formula $\arctan2(-h_{\phi},-l_{\phi})$
2314 \end_inset
2315
2316
2317 \end_layout
2318
2319 \end_inset
2320 </cell>
2321 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2322 \begin_inset Text
2323
2324 \begin_layout Standard
2325 \begin_inset Tabular
2326 <lyxtabular version="3" rows="1" columns="1">
2327 <features>
2328 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
2329 <row>
2330 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2331 \begin_inset Text
2332
2333 \begin_layout Standard
2334 \begin_inset ERT
2335 status collapsed
2336
2337 \begin_layout Standard
2338
2339
2340 \backslash
2341 rule{0cm}{1cm}
2342 \end_layout
2343
2344 \end_inset
2345
2346
2347 \end_layout
2348
2349 \end_inset
2350 </cell>
2351 </row>
2352 </lyxtabular>
2353
2354 \end_inset
2355
2356
2357 \end_layout
2358
2359 \end_inset
2360 </cell>
2361 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2362 \begin_inset Text
2363
2364 \begin_layout Standard
2365 \begin_inset Formula $2\arcsin-\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}$
2366 \end_inset
2367
2368
2369 \end_layout
2370
2371 \end_inset
2372 </cell>
2373 </row>
2374 <row>
2375 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2376 \begin_inset Text
2377
2378 \begin_layout Standard
2379 \begin_inset Formula $\theta$
2380 \end_inset
2381
2382
2383 \end_layout
2384
2385 \end_inset
2386 </cell>
2387 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2388 \begin_inset Text
2389
2390 \begin_layout Standard
2391 \begin_inset Formula $\arctan2(k_{\phi},-\sqrt{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}})$
2392 \end_inset
2393
2394
2395 \end_layout
2396
2397 \end_inset
2398 </cell>
2399 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2400 \begin_inset Text
2401
2402 \begin_layout Standard
2403 \begin_inset Formula $\arctan2(-h_{\phi},-l_{\phi})$
2404 \end_inset
2405
2406
2407 \end_layout
2408
2409 \end_inset
2410 </cell>
2411 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2412 \begin_inset Text
2413
2414 \begin_layout Standard
2415 \begin_inset Tabular
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2420 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2421 \begin_inset Text
2422
2423 \begin_layout Standard
2424 \begin_inset ERT
2425 status collapsed
2426
2427 \begin_layout Standard
2428
2429
2430 \backslash
2431 rule{0cm}{1cm}
2432 \end_layout
2433
2434 \end_inset
2435
2436
2437 \end_layout
2438
2439 \end_inset
2440 </cell>
2441 </row>
2442 </lyxtabular>
2443
2444 \end_inset
2445
2446
2447 \end_layout
2448
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2450 </cell>
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2452 \begin_inset Text
2453
2454 \begin_layout Standard
2455 \begin_inset Formula $2\arcsin\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}$
2456 \end_inset
2457
2458
2459 \end_layout
2460
2461 \end_inset
2462 </cell>
2463 </row>
2464 <row>
2465 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2466 \begin_inset Text
2467
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2469 \begin_inset Formula $\theta$
2470 \end_inset
2471
2472
2473 \end_layout
2474
2475 \end_inset
2476 </cell>
2477 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2478 \begin_inset Text
2479
2480 \begin_layout Standard
2481 \begin_inset Formula $\arctan2(k_{\phi},\sqrt{h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}})$
2482 \end_inset
2483
2484
2485 \end_layout
2486
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2489 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2490 \begin_inset Text
2491
2492 \begin_layout Standard
2493 \begin_inset Formula $\arctan2(h_{\phi},l_{\phi})$
2494 \end_inset
2495
2496
2497 \end_layout
2498
2499 \end_inset
2500 </cell>
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2502 \begin_inset Text
2503
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2505 \begin_inset Tabular
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2511 \begin_inset Text
2512
2513 \begin_layout Standard
2514 \begin_inset ERT
2515 status collapsed
2516
2517 \begin_layout Standard
2518
2519
2520 \backslash
2521 rule{0cm}{1cm}
2522 \end_layout
2523
2524 \end_inset
2525
2526
2527 \end_layout
2528
2529 \end_inset
2530 </cell>
2531 </row>
2532 </lyxtabular>
2533
2534 \end_inset
2535
2536
2537 \end_layout
2538
2539 \end_inset
2540 </cell>
2541 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2542 \begin_inset Text
2543
2544 \begin_layout Standard
2545 \begin_inset Formula $2\arcsin\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}$
2546 \end_inset
2547
2548
2549 \end_layout
2550
2551 \end_inset
2552 </cell>
2553 </row>
2554 </lyxtabular>
2555
2556 \end_inset
2557
2558
2559 \end_layout
2560
2561 \begin_layout Subsubsection
2562 Mode
2563 \begin_inset Quotes fld
2564 \end_inset
2565
2566 Delta Theta
2567 \begin_inset Quotes frd
2568 \end_inset
2569
2570
2571 \end_layout
2572
2573 \begin_layout Standard
2574 Ce mode consiste à décaler
2575 \begin_inset Formula $\omega$
2576 \end_inset
2577
2578  par rapport à
2579 \begin_inset Formula $\theta$
2580 \end_inset
2581
2582  d'une valeur constante
2583 \begin_inset Formula $C$
2584 \end_inset
2585
2586 :
2587 \begin_inset Formula \[
2588 \omega=\theta+C\]
2589
2590 \end_inset
2591
2592 Le système s'écrit alors comme suit:
2593 \begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
2594 h_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\left(\cos C\cos\chi\sin\phi+\sin C\cos\phi\right)\\
2595 k_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\cos C\sin\chi\\
2596 l_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\left(\cos C\cos\chi\cos\phi-\sin C\sin\phi\right)\end{eqnarray*}
2597
2598 \end_inset
2599
2600 On a toujours:
2601 \begin_inset Formula \[
2602 h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}=4k_{i}\sin^{2}\theta\]
2603
2604 \end_inset
2605
2606 La résolution donne 4 quadruplets de solutions:
2607 \end_layout
2608
2609 \begin_layout Standard
2610 \align center
2611 \begin_inset Tabular
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2619 \begin_inset Text
2620
2621 \begin_layout Standard
2622 \begin_inset Formula $\omega$
2623 \end_inset
2624
2625
2626 \end_layout
2627
2628 \end_inset
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2630 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2631 \begin_inset Text
2632
2633 \begin_layout Standard
2634 \begin_inset Formula $\chi$
2635 \end_inset
2636
2637
2638 \end_layout
2639
2640 \end_inset
2641 </cell>
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2643 \begin_inset Text
2644
2645 \begin_layout Standard
2646 \begin_inset Formula $\phi$
2647 \end_inset
2648
2649
2650 \end_layout
2651
2652 \end_inset
2653 </cell>
2654 </row>
2655 <row>
2656 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2657 \begin_inset Text
2658
2659 \begin_layout Standard
2660 \begin_inset Formula $-\theta+C$
2661 \end_inset
2662
2663
2664 \end_layout
2665
2666 \end_inset
2667 </cell>
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2669 \begin_inset Text
2670
2671 \begin_layout Standard
2672 \begin_inset Formula $\arctan2(\frac{-k_{\phi}}{\cos C},-\sqrt{h_{\phi}^{2}-k_{\phi}^{2}\tan^{2}C+l_{\phi}^{2}})$
2673 \end_inset
2674
2675
2676 \end_layout
2677
2678 \end_inset
2679 </cell>
2680 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2681 \begin_inset Text
2682
2683 \begin_layout Standard
2684 \begin_inset Formula $\arctan2(-h_{\phi}\cos C\cos\chi+l_{\phi}\sin C,-l_{\phi}\cos C\cos\chi-h_{\phi}\sin C)$
2685 \end_inset
2686
2687
2688 \end_layout
2689
2690 \end_inset
2691 </cell>
2692 </row>
2693 <row>
2694 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2695 \begin_inset Text
2696
2697 \begin_layout Standard
2698 \begin_inset Formula $-\theta+C$
2699 \end_inset
2700
2701
2702 \end_layout
2703
2704 \end_inset
2705 </cell>
2706 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2707 \begin_inset Text
2708
2709 \begin_layout Standard
2710 \begin_inset Formula $\arctan2(\frac{-k_{\phi}}{\cos C},\sqrt{h_{\phi}^{2}-k_{\phi}^{2}\tan^{2}C+l_{\phi}^{2}})$
2711 \end_inset
2712
2713
2714 \end_layout
2715
2716 \end_inset
2717 </cell>
2718 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2719 \begin_inset Text
2720
2721 \begin_layout Standard
2722 \begin_inset Formula $\arctan2(-h_{\phi}\cos C\cos\chi+l_{\phi}\sin C,-l_{\phi}\cos C\cos\chi-h_{\phi}\sin C)$
2723 \end_inset
2724
2725
2726 \end_layout
2727
2728 \end_inset
2729 </cell>
2730 </row>
2731 <row>
2732 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2733 \begin_inset Text
2734
2735 \begin_layout Standard
2736 \begin_inset Formula $\theta+C$
2737 \end_inset
2738
2739
2740 \end_layout
2741
2742 \end_inset
2743 </cell>
2744 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2745 \begin_inset Text
2746
2747 \begin_layout Standard
2748 \begin_inset Formula $\arctan2(\frac{k_{\phi}}{\cos C},-\sqrt{h_{\phi}^{2}-k_{\phi}^{2}\tan^{2}C+l_{\phi}^{2}})$
2749 \end_inset
2750
2751
2752 \end_layout
2753
2754 \end_inset
2755 </cell>
2756 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2757 \begin_inset Text
2758
2759 \begin_layout Standard
2760 \begin_inset Formula $\arctan2(h_{\phi}\cos C\cos\chi-l_{\phi}\sin C,l_{\phi}\cos C\cos\chi+h_{\phi}\sin C)$
2761 \end_inset
2762
2763
2764 \end_layout
2765
2766 \end_inset
2767 </cell>
2768 </row>
2769 <row>
2770 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2771 \begin_inset Text
2772
2773 \begin_layout Standard
2774 \begin_inset Formula $\theta+C$
2775 \end_inset
2776
2777
2778 \end_layout
2779
2780 \end_inset
2781 </cell>
2782 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2783 \begin_inset Text
2784
2785 \begin_layout Standard
2786 \begin_inset Formula $\arctan2(\frac{k_{\phi}}{\cos C},\sqrt{h_{\phi}^{2}-k_{\phi}^{2}\tan^{2}C+l_{\phi}^{2}})$
2787 \end_inset
2788
2789
2790 \end_layout
2791
2792 \end_inset
2793 </cell>
2794 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2795 \begin_inset Text
2796
2797 \begin_layout Standard
2798 \begin_inset Formula $\arctan2(h_{\phi}\cos C\cos\chi-l_{\phi}\sin C,l_{\phi}\cos C\cos\chi+h_{\phi}\sin C)$
2799 \end_inset
2800
2801
2802 \end_layout
2803
2804 \end_inset
2805 </cell>
2806 </row>
2807 </lyxtabular>
2808
2809 \end_inset
2810
2811
2812 \end_layout
2813
2814 \begin_layout Standard
2815 \align center
2816 \begin_inset Tabular
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2824
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2832 \begin_inset Text
2833
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2835 \begin_inset Formula $2\theta$
2836 \end_inset
2837
2838
2839 \end_layout
2840
2841 \end_inset
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2846 \begin_inset Text
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2849 \begin_inset Tabular
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2855 \begin_inset Text
2856
2857 \begin_layout Standard
2858 \begin_inset ERT
2859 status collapsed
2860
2861 \begin_layout Standard
2862
2863
2864 \backslash
2865 rule{0cm}{1cm}
2866 \end_layout
2867
2868 \end_inset
2869
2870
2871 \end_layout
2872
2873 \end_inset
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2877
2878 \end_inset
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2880
2881 \end_layout
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2883 \end_inset
2884 </cell>
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2886 \begin_inset Text
2887
2888 \begin_layout Standard
2889 \begin_inset Formula $2\begin{array}{c}
2890 \arcsin-\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\end{array}$
2891 \end_inset
2892
2893
2894 \end_layout
2895
2896 \end_inset
2897 </cell>
2898 </row>
2899 <row>
2900 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2901 \begin_inset Text
2902
2903 \begin_layout Standard
2904 \begin_inset Tabular
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2909 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2910 \begin_inset Text
2911
2912 \begin_layout Standard
2913 \begin_inset ERT
2914 status collapsed
2915
2916 \begin_layout Standard
2917
2918
2919 \backslash
2920 rule{0cm}{1cm}
2921 \end_layout
2922
2923 \end_inset
2924
2925
2926 \end_layout
2927
2928 \end_inset
2929 </cell>
2930 </row>
2931 </lyxtabular>
2932
2933 \end_inset
2934
2935
2936 \end_layout
2937
2938 \end_inset
2939 </cell>
2940 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2941 \begin_inset Text
2942
2943 \begin_layout Standard
2944 \begin_inset Formula $2\begin{array}{c}
2945 \arcsin-\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\end{array}$
2946 \end_inset
2947
2948
2949 \end_layout
2950
2951 \end_inset
2952 </cell>
2953 </row>
2954 <row>
2955 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
2956 \begin_inset Text
2957
2958 \begin_layout Standard
2959 \begin_inset Tabular
2960 <lyxtabular version="3" rows="1" columns="1">
2961 <features>
2962 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
2963 <row>
2964 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2965 \begin_inset Text
2966
2967 \begin_layout Standard
2968 \begin_inset ERT
2969 status collapsed
2970
2971 \begin_layout Standard
2972
2973
2974 \backslash
2975 rule{0cm}{1cm}
2976 \end_layout
2977
2978 \end_inset
2979
2980
2981 \end_layout
2982
2983 \end_inset
2984 </cell>
2985 </row>
2986 </lyxtabular>
2987
2988 \end_inset
2989
2990
2991 \end_layout
2992
2993 \end_inset
2994 </cell>
2995 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
2996 \begin_inset Text
2997
2998 \begin_layout Standard
2999 \begin_inset Formula $2\begin{array}{c}
3000 \arcsin\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\end{array}$
3001 \end_inset
3002
3003
3004 \end_layout
3005
3006 \end_inset
3007 </cell>
3008 </row>
3009 <row>
3010 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3011 \begin_inset Text
3012
3013 \begin_layout Standard
3014 \begin_inset Tabular
3015 <lyxtabular version="3" rows="1" columns="1">
3016 <features>
3017 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
3018 <row>
3019 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
3020 \begin_inset Text
3021
3022 \begin_layout Standard
3023 \begin_inset ERT
3024 status collapsed
3025
3026 \begin_layout Standard
3027
3028
3029 \backslash
3030 rule{0cm}{1cm}
3031 \end_layout
3032
3033 \end_inset
3034
3035
3036 \end_layout
3037
3038 \end_inset
3039 </cell>
3040 </row>
3041 </lyxtabular>
3042
3043 \end_inset
3044
3045
3046 \end_layout
3047
3048 \end_inset
3049 </cell>
3050 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
3051 \begin_inset Text
3052
3053 \begin_layout Standard
3054 \begin_inset Formula $2\begin{array}{c}
3055 \arcsin\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\end{array}$
3056 \end_inset
3057
3058
3059 \end_layout
3060
3061 \end_inset
3062 </cell>
3063 </row>
3064 </lyxtabular>
3065
3066 \end_inset
3067
3068
3069 \end_layout
3070
3071 \begin_layout Standard
3072 où
3073 \end_layout
3074
3075 \begin_layout Subsubsection
3076 Mode
3077 \begin_inset Quotes fld
3078 \end_inset
3079
3080 omega constant
3081 \begin_inset Quotes frd
3082 \end_inset
3083
3084
3085 \end_layout
3086
3087 \begin_layout Standard
3088 Dans ce mode on choisit de garder
3089 \begin_inset Formula $\omega$
3090 \end_inset
3091
3092  toujours constant:
3093 \begin_inset Formula \[
3094 \omega=C\]
3095
3096 \end_inset
3097
3098 Le système s'écrit alors comme suit:
3099 \begin_inset Formula \begin{eqnarray*}
3100 h_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\left(\cos(C-\theta)\cos\chi\sin\phi+\sin(C-\theta)\cos\phi\right)\\
3101 k_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\cos(C-\theta)\sin\chi\\
3102 l_{\phi} & = & 2k_{i}\sin\theta\left(\cos(C-\theta)\cos\chi\cos\phi-\sin(C-\theta)\sin\phi\right)\end{eqnarray*}
3103
3104 \end_inset
3105
3106 La résolution donne 4 quadruplets de solutions:
3107 \end_layout
3108
3109 \begin_layout Standard
3110 \align center
3111 \begin_inset Tabular
3112 <lyxtabular version="3" rows="5" columns="3">
3113 <features>
3114 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
3115 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
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3117 <row bottomline="true">
3118 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3119 \begin_inset Text
3120
3121 \begin_layout Standard
3122 \begin_inset Formula $\omega$
3123 \end_inset
3124
3125
3126 \end_layout
3127
3128 \end_inset
3129 </cell>
3130 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3131 \begin_inset Text
3132
3133 \begin_layout Standard
3134 \begin_inset Formula $\chi$
3135 \end_inset
3136
3137
3138 \end_layout
3139
3140 \end_inset
3141 </cell>
3142 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3143 \begin_inset Text
3144
3145 \begin_layout Standard
3146 \begin_inset Formula $\phi$
3147 \end_inset
3148
3149
3150 \end_layout
3151
3152 \end_inset
3153 </cell>
3154 </row>
3155 <row>
3156 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3157 \begin_inset Text
3158
3159 \begin_layout Standard
3160 \begin_inset Formula $-\theta+C$
3161 \end_inset
3162
3163
3164 \end_layout
3165
3166 \end_inset
3167 </cell>
3168 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3169 \begin_inset Text
3170
3171 \begin_layout Standard
3172 \begin_inset Formula $\arctan2\left(-k_{\phi},-\sqrt{(h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2})\cos^{2}(C-\theta)-k_{\phi}^{2}\sin^{2}(C-\theta)}\right)$
3173 \end_inset
3174
3175
3176 \end_layout
3177
3178 \end_inset
3179 </cell>
3180 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3181 \begin_inset Text
3182
3183 \begin_layout Standard
3184 \begin_inset Formula $\arctan2(-h_{\phi}\cos C\cos\chi+l_{\phi}\sin C,-l_{\phi}\cos C\cos\chi-h_{\phi}\sin C)$
3185 \end_inset
3186
3187
3188 \end_layout
3189
3190 \end_inset
3191 </cell>
3192 </row>
3193 <row>
3194 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3195 \begin_inset Text
3196
3197 \begin_layout Standard
3198 \begin_inset Formula $-\theta+C$
3199 \end_inset
3200
3201
3202 \end_layout
3203
3204 \end_inset
3205 </cell>
3206 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3207 \begin_inset Text
3208
3209 \begin_layout Standard
3210 \begin_inset Formula $\arctan2\left(-k_{\phi},\sqrt{(h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2})\cos^{2}(C-\theta)-k_{\phi}^{2}\sin^{2}(C-\theta)}\right)$
3211 \end_inset
3212
3213
3214 \end_layout
3215
3216 \end_inset
3217 </cell>
3218 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3219 \begin_inset Text
3220
3221 \begin_layout Standard
3222 \begin_inset Formula $\arctan2(-h_{\phi}\cos C\cos\chi+l_{\phi}\sin C,-l_{\phi}\cos C\cos\chi-h_{\phi}\sin C)$
3223 \end_inset
3224
3225
3226 \end_layout
3227
3228 \end_inset
3229 </cell>
3230 </row>
3231 <row>
3232 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3233 \begin_inset Text
3234
3235 \begin_layout Standard
3236 \begin_inset Formula $\theta+C$
3237 \end_inset
3238
3239
3240 \end_layout
3241
3242 \end_inset
3243 </cell>
3244 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3245 \begin_inset Text
3246
3247 \begin_layout Standard
3248 \begin_inset Formula $\arctan2\left(k_{\phi},-\sqrt{(h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2})\cos^{2}(C-\theta)-k_{\phi}^{2}\sin^{2}(C-\theta)}\right)$
3249 \end_inset
3250
3251
3252 \end_layout
3253
3254 \end_inset
3255 </cell>
3256 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3257 \begin_inset Text
3258
3259 \begin_layout Standard
3260 \begin_inset Formula $\arctan2(h_{\phi}\cos C\cos\chi-l_{\phi}\sin C,l_{\phi}\cos C\cos\chi+h_{\phi}\sin C)$
3261 \end_inset
3262
3263
3264 \end_layout
3265
3266 \end_inset
3267 </cell>
3268 </row>
3269 <row>
3270 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3271 \begin_inset Text
3272
3273 \begin_layout Standard
3274 \begin_inset Formula $\theta+C$
3275 \end_inset
3276
3277
3278 \end_layout
3279
3280 \end_inset
3281 </cell>
3282 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3283 \begin_inset Text
3284
3285 \begin_layout Standard
3286 \begin_inset Formula $\arctan2\left(k_{\phi},\sqrt{(h_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2})\cos^{2}(C-\theta)-k_{\phi}^{2}\sin^{2}(C-\theta)}\right)$
3287 \end_inset
3288
3289
3290 \end_layout
3291
3292 \end_inset
3293 </cell>
3294 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" usebox="none">
3295 \begin_inset Text
3296
3297 \begin_layout Standard
3298 \begin_inset Formula $\arctan2(h_{\phi}\cos C\cos\chi-l_{\phi}\sin C,l_{\phi}\cos C\cos\chi+h_{\phi}\sin C)$
3299 \end_inset
3300
3301
3302 \end_layout
3303
3304 \end_inset
3305 </cell>
3306 </row>
3307 </lyxtabular>
3308
3309 \end_inset
3310
3311
3312 \end_layout
3313
3314 \begin_layout Standard
3315 \align center
3316 \begin_inset Tabular
3317 <lyxtabular version="3" rows="5" columns="1">
3318 <features>
3319 <column alignment="center" valignment="top" width="0">
3320 <row bottomline="true">
3321 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
3322 \begin_inset Text
3323
3324 \begin_layout Standard
3325 \begin_inset Formula $2\theta$
3326 \end_inset
3327
3328
3329 \end_layout
3330
3331 \end_inset
3332 </cell>
3333 </row>
3334 <row>
3335 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
3336 \begin_inset Text
3337
3338 \begin_layout Standard
3339 \begin_inset Formula $2\begin{array}{c}
3340 \arcsin-\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\end{array}$
3341 \end_inset
3342
3343
3344 \end_layout
3345
3346 \end_inset
3347 </cell>
3348 </row>
3349 <row>
3350 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
3351 \begin_inset Text
3352
3353 \begin_layout Standard
3354 \begin_inset Formula $2\begin{array}{c}
3355 \arcsin-\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\end{array}$
3356 \end_inset
3357
3358
3359 \end_layout
3360
3361 \end_inset
3362 </cell>
3363 </row>
3364 <row>
3365 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
3366 \begin_inset Text
3367
3368 \begin_layout Standard
3369 \begin_inset Formula $2\begin{array}{c}
3370 \arcsin\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\end{array}$
3371 \end_inset
3372
3373
3374 \end_layout
3375
3376 \end_inset
3377 </cell>
3378 </row>
3379 <row>
3380 <cell alignment="center" valignment="top" topline="true" leftline="true" rightline="true" usebox="none">
3381 \begin_inset Text
3382
3383 \begin_layout Standard
3384 \begin_inset Formula $2\begin{array}{c}
3385 \arcsin\frac{\sqrt{h_{\phi}^{2}+k_{\phi}^{2}+l_{\phi}^{2}}}{2k_{i}}\end{array}$
3386 \end_inset
3387
3388
3389 \end_layout
3390
3391 \end_inset
3392 </cell>
3393 </row>
3394 </lyxtabular>
3395
3396 \end_inset
3397
3398
3399 \end_layout
3400
3401 \end_body
3402 \end_document