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   1 Floating point arithmetic
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   4 |Gromacs| spends its life doing arithmetic on real numbers, often summing many
   5 millions of them. These real numbers are encoded on computers in so-called
   6 binary floating-point representation. This representation is somewhat like
   7 scientific exponential notation (but uses binary rather than decimal), and is
   8 necessary for the fastest possible speed for calculations. Unfortunately the
   9 laws of algebra only approximately apply to binary floating-point. In part,
  10 this is because some real numbers that are represented simply and exactly in
  11 decimal (like 1/5=0.2) have no exact representation in binary floating-point,
  12 just as 1/3 cannot be represented in decimal. There are many sources you can
  13 find with a search engine that discuss this issue more exhaustively, such as
  14 `Wikipedia <https://en.wikipedia.org/wiki/Floating-point_arithmetic>`__ and
  15 David Goldberg's 1991 paper *What every computer scientist should know about
  16 floating-point arithmetic* (`article <https://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html>`__,
  17 `addendum <https://docs.oracle.com/cd/E37069_01/html/E39019/z400228248508.html>`__).
  18 Bruce Dawson also has a written a number of very valuable blog posts on modern
  19 floating-point programming at his
  20 `Random ASCII site <https://randomascii.wordpress.com/category/floating-point/>`__
  21 that are worth reading.
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  23 So, the sum of a large number of binary representations of exact decimal
  24 numbers need not equal the expected algebraic or decimal result. Users observe
  25 this phenomenon in sums of partial charges expressed to two decimal places that
  26 sometimes only approximate the integer total charge to which they contribute
  27 (however a deviation in the first decimal place would always be indicative of a
  28 badly-formed topology).  When |Gromacs| has to represent such floating-point
  29 numbers in output, it sometimes uses a computer form of scientific notation
  30 known as E notation. In such notation, a number like -9.999971e-01 is actually
  31 -0.9999971, which is close enough to -1 for purposes of assessing the total
  32 charge of a system.
  33
  34 It is also not appropriate for |Gromacs| to guess to round things, because such
  35 rounding relies on assumptions about the inputs that need not be true. Instead
  36 the user needs to understand how their tools work.