equacions-segon-grau-senzilles.conTeXt.erb

   1 \environment entorn
   2
   3 \starttext
   4
   5 \startsubject[title={Equacions de segon grau senzilles}]
   6
   7 \startsubsubject[title={Preguntes}]
   8
   9 <%
  10
  11 exercicis = Hash.new
  12
  13 %>
  14
  15 <%# Exercici 1 %>
  16 <%
  17 exercicis[1] = Array.new
  18
  19 for i in (1...3)
  20   parametres = Hash.new
  21   parametres['a'] = rand(-10..10)
  22   parametres['b'] = rand(-10..10)
  23   parametres['c'] = rand(-10..20)
  24   if parametres['a'] == 0
  25     parametres['a'] = 1
  26   end
  27   if parametres['b'] == 0
  28     parametres['b'] = 1
  29   end
  30   if parametres['c'] == 0
  31     parametres['c'] = 1
  32   end
  33
  34   exercicis[1].push(parametres)
  35 end
  36 %>
  37
  38 \startexercici[reference=exercici-1] Resoleu les equacions:
  39 \startitemize[a]
  40 <% exercicis[1].each do |par| %>
  41 \item
  42 <% if par['b'] > 0 and par['c'] > 0 %>
  43 $<%=par['a']%>x^2 + <%=par['b']%>x + <%=par['c']%> = 0$
  44 <% end %>
  45 <% if par['b'] > 0 and par['c'] < 0 %>
  46 $<%=par['a']%>x^2 + <%=par['b']%>x  <%=par['c']%> = 0$
  47 <% end %>
  48 <% if par['b'] < 0 and par['c'] > 0 %>
  49 $<%=par['a']%>x^2  <%=par['b']%>x + <%=par['c']%> = 0$
  50 <% end %>
  51 <% if par['b'] < 0 and par['c'] < 0 %>
  52 $<%=par['a']%>x^2  <%=par['b']%>x  <%=par['c']%> = 0$
  53 <% end %>
  54 <% end %>
  55 \stopitemize
  56 \stopexercici
  57
  58
  59
  60 <%# Exercici 2 %>
  61 <%
  62 exercicis[2] = Array.new
  63
  64 for i in (1...3)
  65   parametres = Hash.new
  66
  67   parametres['a'] = rand(-20..20)
  68   parametres['b'] = rand(1..30)
  69   parametres['c'] = rand(1..30)
  70   parametres['d'] = rand(-20..20)
  71
  72   if parametres['a'] + parametres['b'] == 0
  73     parametres['a'] = parametres['b'] + 1
  74   end
  75
  76   exercicis[2].push(parametres)
  77 end
  78 %>
  79
  80
  81 \startexercici[reference=exercici-2] Resoleu les equacions següents:
  82 \startitemize[a]
  83 <% exercicis[2].each do |par| %>
  84 \item $<%=par['a']%>x^2 + <%=par['b']%> - <%=par['c']%>x = <%=par['d']%> -<%=par['b']%>x^2 $
  85 <% end %>
  86 \stopitemize
  87 \stopexercici
  88
  89
  90
  91 <%# Exercici 3 %>
  92 <%
  93 exercicis[3] = Array.new
  94
  95 for i in (1...3)
  96   parametres = Hash.new
  97
  98   parametres['a'] = rand(-10..10)
  99   if parametres['a'] == 0
 100     parametres['a'] = 1
 101   end
 102   parametres['b'] = rand(1..10)
 103
 104   exercicis[3].push(parametres)
 105 end
 106 %>
 107
 108
 109 \startexercici[reference=exercici-3] Resoleu les equacions següents:
 110 \startitemize[a]
 111 <% exercicis[3].each do |par| %>
 112 \item <% if par['a'] < 0 %>
 113 $(x+<%=par['a'].abs %>)^2 = <%=par['b']%>$
 114 <% else %>
 115 $(x-<%=par['a']%>)^2 = <%=par['b']%>$
 116 <% end %>
 117 <% end %>
 118 \stopitemize
 119 \stopexercici
 120
 121 <%# Exercici 4 %>
 122 <%
 123 exercicis[4] = Array.new
 124
 125 for i in (1...3)
 126   parametres = Hash.new
 127
 128   parametres['a'] = rand(-10..10)
 129   if parametres['a'] == 0
 130     parametres['a'] = 1
 131   end
 132   parametres['b'] = rand(1..10)
 133   parametres['c'] = rand(-10..10)
 134   if parametres['c'] == 0
 135     parametres['c'] = 1
 136   end
 137
 138   exercicis[4].push(parametres)
 139 end
 140 %>
 141
 142
 143 \startexercici[reference=exercici-4] Resoleu les equacions següents:
 144 \startitemize[a]
 145 <% exercicis[4].each do |par| %>
 146 \item <% if par['a'] < 0 %>
 147 $<%=par['c']%>(x+<%=par['a'].abs %>)^2 = <%=par['b']%>$
 148 <% else %>
 149 $<%=par['c']%>(x-<%=par['a']%>)^2 = <%=par['b']%>$
 150 <% end %>
 151 <% end %>
 152 \stopitemize
 153 \stopexercici
 154
 155 <%# Exercici 5 %>
 156 <%
 157 exercicis[5] = Array.new
 158
 159 for i in (1...3)
 160   parametres = Hash.new
 161
 162   parametres['a'] = rand(-10..10)
 163   if parametres['a'] == 0
 164     parametres['a'] = 1
 165   end
 166   parametres['b'] = rand(1..10)
 167   parametres['c'] = rand(-10..10)
 168   parametres['d'] = rand(-10..10)
 169
 170   exercicis[5].push(parametres)
 171 end
 172 %>
 173
 174
 175 \startexercici[reference=exercici-5] Resoleu les equacions següents:
 176 \startitemize[a]
 177 <% exercicis[5].each do |par| %>
 178 \item  $<%=par['a']%>(x+<%=par['b']%>)^2 <%= par['c'] > 0 ? '+' : '-' %><%=par['c'].abs %>x = <%=par['d']%>$
 179 <% end %>
 180 \stopitemize
 181 \stopexercici
 182
 183 \stopsubsubject
 184
 185 <%# ----------------------- Solucions ------------------------ %>
 186 \page[yes]
 187 \startsubsubject[title={Solucions}]
 188
 189 \startitemize
 190 \sym{\in[exercici-1]}
 191 \startitemize[a, text]
 192 <% exercicis[1].each do |par| %>
 193 <%
 194    disc = par['b'].pow(2) - 4*par['a']*par['c']
 195 %>
 196 <% if disc < 0 %>
 197 \item No té solució
 198 <% else %>
 199 <%
 200   solucio_1 = Rational(Math.sqrt(disc) - par['b'],2*par['a'])
 201   solucio_2 = Rational(-Math.sqrt(disc) - par['b'],2*par['a'])
 202 %>
 203 \item $x \simeq <%=solucio_1.to_f.round(2)%>, x \simeq <%=solucio_2.to_f.round(2)%>$
 204 <% end %>
 205 <% end %>
 206 \stopitemize
 207
 208 \sym{\in[exercici-2]}
 209 \startitemize[a, text]
 210 <% exercicis[2].each do |par| %>
 211 <%
 212    disc = par['c']*par['c'] - 4*(par['a']+par['b'])*(par['b'] - par['d'])
 213 %>
 214 <% if disc < 0 %>
 215 \item No té solució
 216 <% else %>
 217 <%
 218   solucio_1 = Rational(Math.sqrt(disc) + par['c'],2*(par['a']+par['b']))
 219   solucio_2 = Rational(-Math.sqrt(disc) + par['c'],2*(par['a']+par['b']))
 220 %>
 221 \item $x \simeq <%=solucio_1.to_f.round(2)%>, x \simeq <%=solucio_2.to_f.round(2)%>$
 222 <% end %>
 223 <% end %>
 224 \stopitemize
 225
 226 \sym{\in[exercici-3]}
 227 \startitemize[a, text]
 228 <% exercicis[3].each do |par| %>
 229 <%
 230    disc = par['b']
 231 %>
 232 <% if disc < 0 %>
 233 \item No té solució
 234 <% else %>
 235 <%
 236   solucio_1 = Rational(Math.sqrt(disc) + par['a'],1)
 237   solucio_2 = Rational(-Math.sqrt(disc) + par['a'],1)
 238 %>
 239 \item $x \simeq <%=solucio_1.to_f.round(2)%>, x \simeq <%=solucio_2.to_f.round(2)%>$
 240 <% end %>
 241 <% end %>
 242 \stopitemize
 243
 244
 245 \sym{\in[exercici-4]}
 246 \startitemize[a, text]
 247 <% exercicis[4].each do |par| %>
 248 <%
 249    disc = Rational(par['b'], par['c'])
 250 %>
 251 <% if disc < 0 %>
 252 \item No té solució
 253 <% else %>
 254 <%
 255   solucio_1 = Rational(Math.sqrt(disc) + par['a'],1)
 256   solucio_2 = Rational(-Math.sqrt(disc) + par['a'],1)
 257 %>
 258 \item $x \simeq <%=solucio_1.to_f.round(2)%>, x \simeq <%=solucio_2.to_f.round(2)%>$
 259 <% end %>
 260 <% end %>
 261 \stopitemize
 262
 263
 264 \sym{\in[exercici-5]}
 265 \startitemize[a, text]
 266 <% exercicis[5].each do |par| %>
 267 <%
 268    disc = (2 * par['a']* par['b'] + par['c']).pow(2) - 4*par['a']*(par['a']*par['b'].pow(2) - par['d'])
 269 %>
 270 <% if disc < 0 %>
 271 \item No té solució
 272 <% else %>
 273 <%
 274   solucio_1 = Rational(Math.sqrt(disc) - (2*par['a']*par['b'] + par['c']),2*par['a'])
 275   solucio_2 = Rational(-Math.sqrt(disc) - (2*par['a']*par['b'] + par['c']),2*par['a'])
 276 %>
 277 \item $x \simeq <%=solucio_1.to_f.round(2)%>, x \simeq <%=solucio_2.to_f.round(2)%>$
 278 <% end %>
 279 <% end %>
 280 \stopitemize
 281
 282 \stopitemize
 283
 284 \vfill
 285 Les solucions d'aquests exercicis s'han calculat automàticament usant programari lliure: encara que totes les expressions són correctes, potser algunes es poden simplificar més.
 286
 287 \stopsubsubject
 288
 289 <%# ----------------------- Resolució ------------------------ %>
 290 \page[yes]
 291 \startsubsubject[title={Resolució}]
 292
 293 \startitemize
 294 \sym{\in[exercici-1]}
 295 \startitemize[a]
 296 <% exercicis[1].each do |par| %>
 297 <% a = par['a']
 298    b = par['b']
 299    c = par['c']
 300    disc = b.pow(2) - 4*a*c
 301 %>
 302
 303 \item $<%=a%>x^2 <%= b < 0 ? '-' : '+' %><%= b.abs %>x <%= c < 0 ? '-' : '+' %><%= c.abs %> = 0$ $\Rightarrow$ $(<%=2*a%>x <%= b < 0 ? '-' : '+' %><%= b.abs %>)^2 = <%= b < 0 ? '(' : '' %><%= b %><%= b < 0 ? ')' : '' %>^2 -4\cdot <%= a < 0 ? '(' : '' %><%= a %><%= a < 0 ? ')' : '' %>\cdot <%= c < 0 ? '(' : '' %><%= c %><%= c < 0 ? ')' : '' %>$ $\Rightarrow$ $(<%=2*a%>x <%= b < 0 ? '-' : '+' %><%= b.abs %>)^2 = <%=disc%>$ $\Rightarrow$ <% if disc <0 %> No té solució <% else %>  $<%=2*a%>x <%= b < 0 ? '-' : '+' %><%= b.abs %> = \pm \sqrt{<%=disc%>}$ $\Rightarrow$ $x \simeq <%=Rational(Math.sqrt(disc)-b,2*a).to_f.round(2) %>$,  $x \simeq <%=Rational(-Math.sqrt(disc)-b,2*a).to_f.round(2) %>$<% end %>
 304 <% end %>
 305 \stopitemize
 306
 307 \sym{\in[exercici-2]} \startitemize[a]
 308 <% exercicis[2].each do |par| %>
 309 <% a = par['a']
 310    b = par['b']
 311    c = par['c']
 312    d = par['d']
 313    disc = c.pow(2) - 4*(a+b)*(b-d)
 314 %>
 315
 316 \item $<%=a%>x^2 + <%=b%> - <%=c%>x = <%=d%> -<%=b%>x^2$ $\Rightarrow$ $<%=a%>x^2 + <%=b%> -<%=c%>x <%=d < 0 ? '+' : '-'%><%=d.abs%> + <%=b%>x^2 = 0$ $\Rightarrow$ $ <%=a+b%>x^2 - <%=c%>x <%=b-d < 0 ? '-' : '+'%><%=(b-d).abs%> = 0$ $\Rightarrow$ $(<%=2*(a+b)%>x - <%=c%>)^2 = <%=disc%>$ $\Rightarrow$ <% if disc <0 %> No té solució <% else %> $<%=2*(a+b)%>x - <%=c%> = \pm\sqrt{<%=disc%>}$ $\Rightarrow$ $x \simeq <%= Rational(c+Math.sqrt(disc).round(3),2*(a+b)).to_f.round(3) %>$, $x \simeq <%= Rational(c-Math.sqrt(disc).round(3),2*(a+b)).to_f.round(3) %>$ <% end %>
 317 <% end %>
 318 \stopitemize
 319
 320 \sym{\in[exercici-3]} \startitemize[a]
 321 <% exercicis[3].each do |par| %>
 322 <% a = par['a']
 323    b = par['b']
 324 %>
 325
 326 \item $(x<%= a < 0 ? '+' : '-' %><%=par['a'].abs %>)^2 = <%=par['b']%>$ $\Rightarrow$ $x<%= a < 0 ? '+' : '-' %><%=par['a'].abs %> = \pm \sqrt{<%=par['b']%>}$ $\Rightarrow$ <% if b < 0 %>No té solució <% else %> $x = \pm\sqrt{<%=b%>}  <%= a < 0 ? '-' : '+' %><%=par['a'].abs %>$ $\Rightarrow$ $x \simeq <%=Rational(Math.sqrt(b)+a,1).to_f.round(3) %>$, $x \simeq <%=Rational(-Math.sqrt(b)+a,1).to_f.round(3) %>$ <% end %>
 327 <% end %>
 328 \stopitemize
 329
 330 \sym{\in[exercici-4]} \startitemize[a]
 331 <% exercicis[4].each do |par| %>
 332 <% a = par['a']
 333    b = par['b']
 334    c = par['c']
 335 %>
 336
 337 \item $<%=c%>(x<%= a > 0 ? '-' : '+' %><%=a.abs %>)^2 = <%=b%>$ $\Rightarrow$ $(x <%= a > 0 ? '-' : '+' %> <%=a.abs %>)^2 = \frac{<%=b %>}{<%=c %>}$ $\Rightarrow$ <% if c < 0 %> No té solució <% else %> $x = \pm \sqrt{\frac{<%=b %>}{<%=c %>}} <%= a > 0 ? '+' : '-' %><%=a.abs %> $ $\Rightarrow$ $x \simeq <%= (Math.sqrt(Rational(b,c)) + a).round(3)%>$, $x \simeq <%= (-Math.sqrt(Rational(b,c)) + a).round(3)%>$ <% end %>
 338 <% end %>
 339 \stopitemize
 340
 341
 342 \sym{\in[exercici-5]} \startitemize[a]
 343 <% exercicis[5].each do |par| %>
 344 <% a = par['a']
 345    b = par['b']
 346    c = par['c']
 347    d = par['d']
 348    disc = (2 * a* b + c).pow(2) - 4*a*(a*b.pow(2) - d)
 349 %>
 350
 351 \item $<%=a%>(x+<%=b%>)^2 <%= c > 0 ? '+' : '-' %> <%=c.abs%>x = <%=d%>$ $\Rightarrow$ $<%=a%>(x^2 + <%=2 * b %> x  + <%=b.pow(2)%>) <%= c > 0 ? '+' : '-' %> <%=c.abs%>x = <%=d%>$ $\Rightarrow$ $<%=a%>x^2  <%= a > 0 ? '+' : '-' %><%=(2 * a* b).abs %> x  <%= a > 0 ? '+' : '-' %> <%=(a*b.pow(2)).abs%> <%= c > 0 ? '+' : '-' %> <%=c.abs%>x = <%=d%>$ $\Rightarrow$ $<%=a%>x^2 <%= 2*a*b +c > 0 ? '+' : '-' %> <%=(2 * a* b + c).abs %> x <%= a*b.pow(2) -d > 0 ? '+' : '-' %> <%= (a*b.pow(2) - d).abs%> = 0$ $\Rightarrow$ $(<%=2*a%>x <%= 2*a*b +c > 0 ? '+' : '-' %> <%=(2 * a* b + c).abs %>)^2 = <%= (2 * a* b + c).pow(2) - 4*a*(a*b.pow(2) - d) %>$ $\Rightarrow$ <% if disc < 0 %> No té solució <% else %> $x \simeq <%= Rational(Math.sqrt(disc) - (2 * a* b + c), 2*a).to_f.round(3) %>$, $x \simeq <%= Rational(-Math.sqrt(disc) - (2 * a* b + c), 2*a).to_f.round(3) %>$ <% end %>
 352
 353 <% end %>
 354 \stopitemize
 355
 356
 357 \stopitemize
 358
 359 \vfill
 360 La resolució d'aquests exercicis s'ha calculat automàticament usant programari lliure: encara que totes les expressions són correctes, potser algunes es poden simplificar més.
 361
 362 \stopsubsubject
 363
 364 \stopsubject
 365
 366 \stoptext