retocs de tasques (prioiritzant sobretot) i versió a 0.5.0-alfa i no -beta perquè...

[apunts-espa-matematiques.git] / proporcionalitat-numerica-proporcionalitat-composta.conTeXt

\startmode[espa2a]

\section[secccio:proporcionalitat-composta]{Proporcionalitat composta}

\placetable
[page,none] % placement
[taula:nota-resolució]
{ }
{
\startimportant
\startalignment[center]
{\bf Alerta}
\stopalignment

\bigskip
Quan resolem un problema de proporcionalitat composta...
\startnarrower
{\em En una granja de gallines, 600 gallines mengen 630 kg de pinso durant 7 dies. Quants quilos de pinso menjaran 1000 gallines en 15 dies?}
\stopnarrower

\startitemize[a]
\item Pel mètode de la proporció, hem de posar sempre la columna de la $x$ a la dreta i hem de trobar la relació de cada magnitud amb la magnitud que conté la $x$ (mai entre dues columnes que no contenen la $x$):

\startnarrow
\placetable
[here,none] % placement
[taula:exemple-propocionalitat-composta-proporciona]
{ }
{\bTABLE[setups={table6:header, table6:frame, table6:style}]
\bTR
\bTH Gallines \eTH \bTH Dies \eTH \bTH Quilograms \eTH
\eTR
\bTR
\bTD 600 \eTD \bTD 7 \eTD \bTD 630 \eTD
\eTR
\bTR
\bTD 1000 \eTD \bTD 15 \eTD \bTD $x$ \eTD
\eTR
\eTABLE}

Com que les relacions gallines-quilograms i gallines-dies són directes, aleshores no girem cap fracció de la proporció:
\startformula
\frac{600}{1000} \cdot \frac{7}{15} = \frac{630}{x}.
\stopformula
Pel que $\frac{42}{150} = \frac{630}{x}$. Aleshores $x = \frac{630 \cdot 150}{42} = 2250$.

\stopnarrow

\item Pel mètode d'aplicació successiva de regles de 3, és igual l'ordre de les columnes:

\startnarrow
\placetable
[here,none] % placement
[taula:exemple-propocionalitat-composta-proporciona-2]
{ }
{\bTABLE[setups={table6:header, table6:frame, table6:style}]
\bTR
\bTH Gallines \eTH \bTH Quilograms \eTH \bTH Dies \eTH
\eTR
\bTR
\bTD 600 \eTD \bTD 630 \eTD \bTD 7 \eTD
\eTR
\bTR
\bTD 1000 \eTD \bTD $x=1050$ \eTD \bTD 7 \eTD
\eTR
\bTR
\bTD 1000 \eTD \bTD $x=2250$ \eTD \bTD 15 \eTD
\eTR
\eTABLE}

En primer lloc, feim una regla de tres (directa) entre les gallines i els quilograms. Posteriorment, en feim una altra directa que relaciona quilograms i dies.
\stopnarrow

\item La regla de tres composta es pot veure com troba la funció $F$ que relacioni $z = F(x, y)$ amb $x=\text{nombre de gallines}$, $y=\text{nombre de dies}$. Es pot veure fàcilment que $F(x, y)$ en el nostra problema ve donada per la fórmula
\startformula
F(x, y) = \frac{630}{600\cdot 7} x y,
\stopformula
ja que $F(600,7)=630$ i $z$ depèn linealment tant de $x$ com de $y$.
\stopitemize
\stopimportant
}

\startexercici[exer:exer-e-30] En 7 dies, 8 màquines han cavat una síquia de 1400 metres de llarg. Quantes màquines seran necessàries per cavar 300 metres de síquia en 6 dies?
\stopexercici

\startexercici[exer:exer-e-34] Un equip de 10 treballadors tarda 6 hores a netejar 1300 metres quadrats. Quants metres netejaran 14 treballadors en 18 hores?
\stopexercici

\startexercici[exer:exer-e-31] La propietària d'una pensió ha pressupostat 250 euros per alimentar els seus 18 hostes durant 12 dies. Si el nombre d'hostes augmenta en 6 persones, per a quants dies li arribarà el pressupost?
\stopexercici

\startexercici[exer:exer-e-32] Vint obrers han estès 400 metres de cable durant 6 dies treballant 8 hores diàries. Quantes hores diàries hauran de treballar 24 obrers durant 14 dies per estendre 700 metres de cable?
\stopexercici

\startexercici[exer:exer-e-33] Una colla de 8 amics ha pagat 940 euros per una estada de 3 dies en un hotel. Quant val l'estada d'una persona un dia?
\stopexercici

\startexercici[exer:exer-e-35] Una barra de metall de 10 m de llarg i 2 $\text{cm}^2$ de secció pesa 8,45 kg. Quant pesarà una barra del mateix material de 5 m de llarg i 7 $\text{cm}^2$ de secció?
\stopexercici

\startexercici[exer:exer-e-36] En les festes del barri es col·loquen 1200 fanalets que es connecten 8 hores per dia i ocasionen una despesa total de 1440 euros. Quina seria la despesa si es col·locassin 600 fanalets més i es connectassin 2 hores menys?
\stopexercici

\startexercici[exer:exer-e-37] En una granja de gallines, 600 gallines consumeixen 630kg de pinso durant 7 dies.
\startitemize[a,packed]
\item Quants quilos de pinso consumiran 1000 gallines durant 15 dies?
\item Quants dies han de passar per a que 500 gallines consumeixin 600 kg?
\stopitemize
\stopexercici

\startexercici[exer:exer-e-38]{La nau espacial} ($\star$) En una nau espacial hi ha cinc astronautes que mengen 20 kg de menjar en 25 dies. Al cap de deu dies, venen 4 astronautes per a rellevar-los (els 5 primers se'n tornen).
\startitemize[a]
\item Quant de menjar els queda a aquests 4 nous astronautes?
\item Per quants dies els hi bastarà?
\item Per tant, acabaran la missió si aquesta és de 25 dies de duració en total?
\stopitemize
\stopexercici

\startexercici  Quaranta bombetes enceses durant 5 hores han consumit 12 KWh. Quin seria el consum si haguessin estat enceses durant 8 hores? I si fossin 100 bombetes enceses durant 7 hores?
\stopexercici


\startexercici{L'ensaïmada gegant} ($\star$) Es sap que vint persones tarden 10 dies a fer 2 ensaïmades gegants.

Cinc persones comencen a fer 2 ensaïmades gegants i quan duen 5 dies, venen 11 persones més a ajudar. Quant tardaran totes juntes a acabar-les?
\stopexercici

\startexercici Cent persones treballant 8 hores diàries tarden 300 dies a construir un vaixell:
\startitemize[a]
\item Si augmentàs la plantilla en 20 persones, quants dies s'avançaria en la construcció?
\item Si es reduís la plantilla en 20 persones, quants dies es retardaria la construcció?
\item I si es reduís en 20 persones però s'augmentassin els torns a 10 hores diàries?
\stopitemize
\stopexercici


\startexercici[exer:exer-e-40] Cinquanta porcs consumeixen 4200 quilos de garroves a la setmana.
\startitemize[a]
\item Quin és el consum de garroves per porc i dia?
\item Quants quilos de garroves es necessiten per a alimentar a 20 porcs durant 15 dies?
\item Durant quants dies podem alimentar a 10 porcs si tenim 600 kg de garroves?
\stopitemize
\stopexercici


\startexercici[exer:exer-e-41] En un taller de confecció, amb 6 màquines teixidores, s'han fabricat 600 jaquetes en 10 dies:
\startitemize[a]
\item Quantes peces de roba es fabricarien amb 5 màquines i en 15 dies?
\item Quantes màquines s'haurien de posar en producció per a fabricar 750 peces de roba en 15 dies?
\item Si es fes feina només amb 5 màquines, ¿quants dies es tardaria en fabricar 750 jaquetes?
\stopitemize
\stopexercici


\startexercici[exer:exer-e-42] Una rentadora industrial, funcionant 8 hores diàries durant 5 dies, ha rentat 1000 kg de roba. Quants quilos de roba rentarà en 12 dies funcionant durant 10 hores diàries?
\stopexercici


\startexercici[exer:exer-e-43]{La tenda d'estores} Una estora sintètica de 1,80 metres de llarg per $90 \Centi \Meter$ d'ample ha costat 72 euros. Què costaria una altra estora, de la mateixa qualitat, que tingués 3 metres de llarg i $1,20 \Meter$ d'ample?

De forma habitual, les tendes d'estores no calculen el preu d'una estora amb una regla de tres composta. Per contra, calculen el cost d'un metre quadrat i multipliquen aquest valor per la seva superfície. Podríeu trobar què val fer un metre quadrat d'una estora d'aquest material? Què valdria en aquest cas l'estora de $3 \times 1,20 \Meter$? Coincidiran els valors?
\stopexercici


\startexercici[exer:exer-e-44] Cinc enquestadors recopilen les dades per a un estudi de mercat en 27 dies, treballant 8 hores diàries. Què haguessin tardat per a fer la mateixa feina 9 enquestadors fent feina 10 hores al dia?
\stopexercici


\startexercici[exer:exer-e-45] Quatre miners obren una galeria de 15 metres de longitud en 9 dies. Quants metres de galeria obririen 6 miners en 15 dies?
\stopexercici


\startexercici Cinc obrers treballant durant 6 hores al dia han cobrat 600 euros en un dia. Què haguessin cobrat 12 obrers treballant durant 4 hores al dia?
\stopexercici


\startexercici[exer:exer-e-46] En una cadena de muntatge, 17 operaris i 10 peons acoblen 850 cotxes al dia. Si volem que es muntin 1000 unitats, quants peons necessitarem si no podem contractar més operaris?
\stopexercici


\startexercici[exer:exer-e-47] En un camp de 200 metres de llarg i 80 m d'ample, s'ha recollit una collita de 4.800 kg de blat. Quina quantitat podem esperar recol·lectar en un altre camp que fa 190 m x 90 m?
\stopexercici

\startexercici Dues màquines treballant 7 hores diàries han tardat 15 dies a excavar un pou:
\startitemize[a]
\item Quant haurien tardat 5 màquines treballant 14 hores al dia?
\item I 6 màquines treballant 6 hores diàries?
\stopitemize
\stopexercici

\page[yes]
\starttextrule{Solucions de \about[secccio:proporcionalitat-composta]}
\startitemize[n,packed]
\item Exercici~\in[exer:exer-e-30]: 2 màquines
\item Exercici~\in[exer:exer-e-31]: 9 dies
\item Exercici~\in[exer:exer-e-32]: 5 hores al dia
\item Exercici~\in[exer:exer-e-33]: 39,16 €
\item Exercici~\in[exer:exer-e-34]: 5460 metres quadrats
\item Exercici~\in[exer:exer-e-35]: 14,79 kg
\item Exercici~\in[exer:exer-e-36]: 1620 €
\item Exercici~\in[exer:exer-e-37]: \startitemize[a,text] \item 2250 kg, \item 8 dies\stopitemize
\item Exercici~\in[exer:exer-e-38]: \startitemize[a,text] \item 12 kg, \item Sí\stopitemize
\item Exercici~\in[exer:exer-e-40]: \startitemize[a,text] \item 12 kg \item 3600 kg \item 5 dies \stopitemize
\item Exercici~\in[exer:exer-e-41]:\startitemize[a,text] \item 750 jaquetes \item 5 màquines \item 15 dies \stopitemize
\item Exercici~\in[exer:exer-e-42]: 3000 kg
\item Exercici~\in[exer:exer-e-43]: 160 euros
\item Exercici~\in[exer:exer-e-44]: 12 dies
\item Exercici~\in[exer:exer-e-45]: 37,5 metres
\item Exercici~\in[exer:exer-e-46]: 8 hores
\item Exercici~\in[exer:exer-e-47]: 5130 kg
\stopitemize
\stoptextrule

\stopmode