ng-relacions-variables-funcio-quadratica-problemes.conTeXt

   1 \startsection[reference=seccio:funcio-quadratica-problemes, title={Problemes de funció quadràtica}]
   2
   3 \startsubject[title={Preguntes}]
   4
   5 \startsubsection[title={Aplicació de la fórmula de segon grau}]
   6
   7 \startexercici[title={Dipòsit d'aigua}] Es vol construir un dipòsit en forma de prisme de base quadrada. Per motius legals, no es pot fer el dipòsit amb una altura major que $10 \unit{meter}$. \startitemize[a,text] \item Quina hauria de ser el costat de la base si es vol que el seu volum sigui de $1000 \unit{cubic meter}$? \item Si al final es construeix un dipòsit de $4 \unit{meter}$ d'amplària, quin serà el seu volum?\stopitemize
   8 \stopexercici
   9
  10 \startexercici[title={El safareig}] Es vol construir un safareig. Per falta d'espai, no el podem fer més llarg que 5 metres. D'altra banda, per qüestions estètiques, volem que l'alçada faci un metre més que d'amplada. Amb aquestes restriccions, quin volum tendria el safareig si fes 1 metre d'amplada? Quina capacitat tendria?
  11
  12 \blank[medium]
  13 Si volem que el safareig tengui una capacitat de $43.750 \unit{liter}$, quines han de ser les seves dimensions?
  14 \stopexercici
  15
  16 \startexercici Un cub i una esfera tenen l'aresta i el radi iguals. Si sabem que l'àrea de l'esfera és de $400 \unit{square meter}$, què val l'àrea del cub?
  17 \stopexercici
  18
  19 \startexercici[reference=exer:tanc, title={El tanc de combustible}] Es vol pintar un tanc de combustible amb una pintura anticorrosiva (figura~\in[fig:tanc]).
  20
  21 \startplacefigure[location=force, reference=fig:tanc, title={Tanc de combustible}]
  22 \externalfigure[figs/modelitzacio-model-quadratic-fig-diposit.jpeg]
  23 \stopplacefigure
  24
  25 \blank[medium]
  26 \startitemize[a,packed]
  27 \item Quina quantitat de pintura necessitarem?
  28 \item Quin diàmetre hauria de tenir el dipòsit si volguéssim gastar 10.000 litres de pintura?
  29 \stopitemize
  30
  31 \blank[medium]
  32 Dades necessàries: \startitemize[a, text] \item El diàmetre del dipòsit és de $5 \unit{meter}$ \item La seva alçada és de $10 \unit{meter}$.\stopitemize
  33 \stopexercici
  34
  35 \startexercici[reference=exer:piràmides, title={Les piràmides egípcies}] La \goto{piràmide de Keops}[url(https://en.wikipedia.org/wiki/Great_Pyramid_of_Giza)], de base quadrada, té una altura de 146 metres i el costat de la seva base és de $230 \unit{meter}$.
  36
  37 \startitemize[a,packed]
  38 \item Si la omplíssim d'aigua, quina quantitat d'aigua hi cabria?
  39 \item Quina quantitat de pintura necessitaríem per pintar-la?
  40 \item En quants de metres hauríem d'acursar la piràmide per a què tengués un volum de $1000 \unit{cubic meter}$?
  41 \stopitemize
  42 \stopexercici
  43
  44 \startsubsubsection[title={Caiguda lliure}]
  45
  46 \startexercici Quants de segons tardarà a tocar el terra un cos que es llança des d'una altura de 20 metres? A quina alçada es trobarà el cos al cap de 2 segons?
  47 \stopexercici
  48
  49 \startexercici Calculeu quan tocarà el terra una bomba que es llanci des d'una distància de 1000 metres?
  50 \stopexercici
  51
  52 \startexercici Un paracaigudista es llança des de 5000 metres d'alçada. Si ha d'ejectar el paracaigudes als 1500 metres, a quina alçada es trobarà en aquest moment? Quant de temps tardarà a arribar a aquesta alçada?
  53 \stopexercici
  54
  55 \stopsubsubsection
  56
  57 \startsubsubsection[title={Distància de frenada}]
  58
  59 \startexercici[reference=exer:distancia-frenada] Calculeu la distància de frenada d'un cotxe que viatja a 80 km/h
  60 \stopexercici
  61
  62 \startexercici Si un cotxe va a 120 km/h quina distància necessita per frenar en sec? Tendrà temps d'evitar un accident que es troba a 100 metres?
  63 \stopexercici
  64
  65 \startexercici Un motorista va a 50 km/h. A 20 metres de distància, el semàfor es posa en groc. Si frena en sec, s'aturarà abans o després del semàfor?
  66 \stopexercici
  67
  68 \startexercici Xocaran aquests dos trens?
  69
  70 \startplacefigure[location={here,none}, reference=fig:trens, title={Dos trens en sentit contrari}]
  71 \externalfigure[figs/modelitzacio-model-quadratic-fig-trens.eps][scale=500]
  72 \stopplacefigure
  73
  74 Sabem que el primer va a 20 km/h i el segon a 10 km/h i que la distància que els separa en el moment que tots dos frenen és de 200 metres.
  75 \stopexercici
  76
  77 \stopsubsubsection
  78
  79 \stopsubsection
  80
  81 \startsubsection[title={Problemes d'optimització}]
  82
  83
  84 \startexercici[reference=exer:bicicletes, title={el preu de les bicicletes}] Es vol dissenyar un nou model de bicicletes. Basant-nos en altres models de bicicleta i en la pròpia experiència es sap que la funció de demanda és
  85 \startformula
  86 \text{Unitats venudes} = 70.000 - 200 \cdot P,
  87 \stopformula
  88 on $P$ és el preu de la bicicleta.
  89
  90 \startitemize[a]
  91 \item Quin serà el benefici màxim que podem obtenir? (noteu que el benefici serà la multiplicació del preu de venda de cada unitat pel nombre d'unitats venudes).
  92 \item Fins quan tendrem beneficis (no perdre en el negoci)?
  93 \stopitemize
  94 \stopexercici
  95
  96 \startexercici[reference=exer:preu-entrada-estadi, title={el preu de l'entrada}] A un municipi es vol programar un concert d'estiu. Es decideix contractar a un grup famòs i que aquest toqui a l'estadi de futbol de la localitat, en previsió de la considerable afluència, que té una capacitat de 10.000 persones. Es convoca un ple extraordinari a l'ajuntament per debatre un únic punt: \quotation{Quin ha de ser el preu de l'entrada del concert}.
  97
  98 Després de molt de discutir es decideix fixar el preu que faci màxim els doblers recaptats. Però l'únic que es sap és que: quan més car sigui el preu de l'entrada més poca gent la comprarà. Podeu ajudar a trobar aquest preu?
  99
 100 \blank[medium]
 101 Podeu suposar que per cada dos euros de pujada, baixarà un 10\% el nombre de vendes. I que si l'entrada és gratuïta, aleshores l'estadi s'omplirà.
 102 \stopexercici
 103
 104 \startexercici[reference=exer:la-capsa-cartro, title={la capsa de cartró}] Els costos de producció d'una capsa de cartró depenen de la seva àrea: cada centímetre quadrat de capsa costa 0,01 €. Es vol fabricar una capsa ortoèdrica com s'indica a la figura següent (figura~\in[fig:capsa]), tenint en compte que els estàndards imposen que la mitjana aritmètica de l'amplada i l'alçada sigui igual a $50 \unit{centi meter}$. Quin serà el cost màxim? Quines mesures tendria la capsa en aquest cas?
 105
 106 \startplacefigure[location=here, reference=fig:capsa, title={Esbós de la capsa de cartró}]
 107 \framed[frame=off]{
 108 \starttikzpicture
 109         % http://www.texample.net/tikz/examples/cuboid/ CC-BY 3.0
 110         %%% Edit the following coordinate to change the shape of your
 111         %%% orthoedre
 112
 113         %% Vanishing points for perspective handling
 114         \coordinate (P1) at (-7cm,1.5cm); % left vanishing point (To pick)
 115         \coordinate (P2) at (8cm,1.5cm); % right vanishing point (To pick)
 116
 117         %% (A1) and (A2) defines the 2 central points of the cuboid
 118         \coordinate (A1) at (0em,0cm); % central top point (To pick)
 119         \coordinate (A2) at (0em,-2cm); % central bottom point (To pick)
 120
 121         %% (A3) to (A8) are computed given a unique parameter (or 2) .8
 122         % You can vary .8 from 0 to 1 to change perspective on left side
 123         \coordinate (A3) at ($(P1)!.8!(A2)$); % To pick for perspective
 124         \coordinate (A4) at ($(P1)!.8!(A1)$);
 125
 126         % You can vary .8 from 0 to 1 to change perspective on right side
 127         \coordinate (A7) at ($(P2)!.7!(A2)$);
 128         \coordinate (A8) at ($(P2)!.7!(A1)$);
 129
 130         %% Automatically compute the last 2 points with intersections
 131         \coordinate (A5) at
 132           (intersection cs: first line={(A8) -- (P1)},
 133                             second line={(A4) -- (P2)});
 134         \coordinate (A6) at
 135           (intersection cs: first line={(A7) -- (P1)},
 136                             second line={(A3) -- (P2)});
 137
 138         %%% Depending of what you want to display, you can comment/edit
 139         %%% the following lines
 140
 141         %% Possibly draw back faces
 142
 143         \fill[blue!50] (A2) -- (A3) -- (A6) -- (A7) -- cycle; % face 6
 144
 145         \fill[blue!30] (A3) -- (A4) -- (A5) -- (A6) -- cycle; % face 3
 146
 147         \fill[blue!20] (A5) -- (A6) -- (A7) -- (A8) -- cycle; % face 4
 148
 149         \draw[dashed] (A5) -- (A6);
 150         \draw[dashed] (A3) -- (A6);
 151         \draw[dashed] (A7) -- (A6);
 152
 153         %% Possibly draw front faces
 154         \fill[blue!50,opacity=0.2] (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle; % f2
 155         \fill[blue!90,opacity=0.2] (A1) -- (A4) -- (A5) -- (A8) -- cycle; % f5
 156
 157         %% Possibly draw front lines
 158         \draw (A1) -- (A2);
 159         \draw (A3) -- (A4);
 160         \draw (A7) -- (A8);
 161         \draw (A1) -- (A4);
 162         \draw (A1) -- (A8);
 163         \draw (A2) -- (A3);
 164         \draw (A2) -- (A7);
 165         \draw (A4) -- (A5);
 166         \draw (A8) -- (A5);
 167
 168         %% Dimensions
 169         \coordinate (X1) at ($(A2)!0.5!(A3)$);
 170         \draw[color=black] (X1) node[anchor=north] {$25$};
 171         \coordinate (X2) at ($(A2)!0.5!(A7)$);
 172         \draw[color=black] (X2) node[anchor=north] {$x$};
 173         \coordinate (X3) at ($(A7)!0.5!(A8)$);
 174         \draw[color=black] (X3) node[anchor=west] {$y$};
 175
 176 \stoptikzpicture
 177 }
 178 \stopplacefigure
 179
 180 \stopexercici
 181
 182 \startexercici[reference=exer:moment-de-vendre, title={el moment de vendre}] Una cooperativa agrícola ha de vendre els tomàquets el més aviat possible, quan els preus són alts i el deteriorament és baix. Ara mateix, la cooperativa té 25 tones a la seva disposició i pot afegir-ne dues tones a la setmana d'espera. El benefici actual és de 250 € per tona, però es redueix a raó de 15 € per tona per cada setmana que es retarda. Quan s'han de vendre els tomàquets per tenir el benefici màxim?
 183 \stopexercici
 184
 185 \startexercici[reference=exer:la-tarifa-de-transports, title={la tarifa de transports}] Una companyia de transports cobra 1,25 € per trajecte. Actualment té una mitjana de 10.000 usuaris per dia. L'empresa necessita per augmentar els ingressos, però estima que, per cada 0,10 € d'augment en la tarifa, l'empresa perdrà 500 usuaris. Què ha de cobrar l'empresa per maximitzar els ingressos?
 186 \stopexercici
 187
 188 \startexercici[reference=exer:volum-ortoedre-1] Es vol un recipient en forma d'ortoedre de tal manera que el seu volum sigui màxim. L'única restricció que és un costat ha de mesurar $10 \unit{centi meter}$ i els altres dos costats sumats són iguals a $25 \unit{centi meter}$. Quines són les mesures d'aquest ortoedre?
 189 \stopexercici
 190
 191 \startexercici[reference=exer:edifici-menor-cost, title={l'edifici de menor cost}] Es vol construir un magatzem amb el menor cost possible. Es sap que:
 192 \startitemize[a]
 193 \item El magatzem ha de tenir 20 metres de façana
 194 \item Cada metre que es construeix en alçada costa 25 € i cada metre que es construeix en amplada costa 5 €
 195 \stopitemize
 196
 197 Com han de ser la fondari i l'alçada del magatzem si el constructor vol que li costi exactament 5000 € i vol maximitzar el seu volum?
 198
 199 Quin volum màxim s'aconseguiria? Quants de litres hi cabrien?
 200 \stopexercici
 201
 202 \stopsubsection
 203
 204 \stopsubject
 205
 206 \page[yes]
 207 \startsubject[title={Solucions}]
 208
 209 \startitemize[1][distance=0.5cm]
 210 \item
 211 \stopitemize
 212
 213 \stopsubject
 214
 215 \stopsection