ng-relacions-variables-funcio-exponencial-problemes.conTeXt

   1 \startsection[reference=seccio:funcio-exponencial-problemes, title={Problemes de funció exponencial}]
   2
   3 \startsubject[title={Preguntes}]
   4
   5 \startsubsubject[title={Creixement exponencial}]
   6
   7 \startexercici[title={població de bacteris}] El creixement d'una població de bacteris es modelitza habitualment mitjançant una funció exponencial. En concret, a cada generació es doblen el nombre de bacteris de la generació anterior (es considera la {\em generació 0} el bacteri primigeni).
   8 \startitemize[a]
   9 \item Trobeu el nombre de bacteris que hi haurà a les primeres 10 generacions
  10 \item A partir de quina generació el nombre de bacteris serà superior a un milió?
  11 \stopitemize
  12 \stopexercici
  13
  14 \startexercici[title={ISO 216}] El format de paper \goto{DIN A}[url(https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_216)] és un dels més usats. Té la particularitat de què cada {\em format} s'obté doblegant el paper del format anterior per la meitat.
  15
  16 \startexercici[title={virus mortal}] Recentment s'ha descobert un nou virus, del qual per ara no hi ha cap vacuna. La malaltia va començar amb un portador inicial, que la va adquirir a través d’una mossegada de simi. Es sap que, de mitjana, una persona infecta a tres persones noves abans de morir. Això es considera una {\em passa de creixement del virus}.
  17 \startitemize[a]
  18 \item Quantes persones s'infectaran a la passa 2? I a la 3? I a la 10? I a la 20?
  19 \item Quantes persones hauran estat infectades des del començament fins a la passa 10?
  20 \item Quantes passes són necessàries per a infectar a tota la població espanyola: 46.468.102 habitants?
  21 \stopitemize
  22 \stopexercici
  23
  24 \startitemize[a]
  25 \item Podríeu calcular les mesures d'un hipotètic DIN A 11? I per un DIN A 12? I per un DIN A 20?
  26 \item En quin moment el format DIN A seria més petit que $1 \unit{milli meter} \times 1 \unit{milli meter}$?
  27 \stopitemize
  28 \stopexercici
  29
  30 \startexercici[title={radioactivitat}] Els elements radioactius es descomponen seguint un model exponencial: $Q(t) = Q_0 A^{-t}$, on
  31 \startitemize
  32 \item $Q_0$ és la quantitat de material radioactiu que tenim al principi, és a dir, la quantitat per a $t=0$.
  33 \item $A$ és una constant que depèn del material radioactiu\footnote{Està relacionada amb la {\em constant de descomposició exponencial}.}
  34 \item $t$ són el temps transcorregut (en segons)
  35 \stopitemize
  36
  37 \blank[big]
  38 Si sabem que un element concret té una constant $A=2$ i que inicialment tenim $5 \unit{kilo gram}$, calculeu la quantitat de material radioactiu que tendrem quan hagin passat 20 segons.
  39 \stopexercici
  40
  41 \startexercici[title={cultiu bacterià}] En un cultiu bacterià sabem que cada bacteri dóna lloc a dos bacteris cada minut. Si sabem que a hores d’ara hi ha $2 \unit{milli liter}$ de bacteris a un recipient: \startitemize[a,text] \item Determineu la quantitat de bacteris hi haurà després de 3 minuts i després d’1 hora? \item En quin moment haurem sobrepassat el litre de bacteris?\stopitemize
  42 \stopexercici
  43
  44 \startexercici[title={població d'un país}] La població d'un país (mesurada en milions d'habitants) creix exponencialment de la forma $P(t) = 30 \cdot e^{0,01t}$, on la variable $t$ representa els anys transcorreguts des de l'any base 1980.
  45
  46 \startitemize[a]
  47 \item Calcula la població pels anys 1980 a 1995
  48 \item En quin any la població duplicarà la de 1980?
  49 \item En quin any la població duplicarà la de 1990?
  50 \stopitemize
  51 \stopexercici
  52
  53 \startexercici[title={zombies}] A Mallorca, el professor de Matemàtiques i el de Ciències Socials han estat mossegats per un zombie. La propagació dels zombies es fa mitjaçant una mossegada mortal. Sabem que de mitjana un zombie mossega a 5 persones (això es considera un passa de la transmissió).
  54 \startitemize[a]
  55 \item Calculeu el nombre de zombies que hi haurà a la passa 12
  56 \item. En quin moment hi haurà un apocalipsi zombie a Mallorca: tots els habitants de Mallorca esdevendran zombies?
  57 \stopitemize
  58
  59 \blank[medium]
  60 Dades necessàries: la població de Mallorca és de 1.176.627 persones.
  61 \stopexercici
  62
  63 \startexercici[title={propagació de la informació}] Un grup de cinc amics vol propagar una notícia sobre un acte benèfic a través de Whatsapp. Decideixen que cadascun d'ells li enviï a a 3 amics i dir-los que, cadascun que rebi la notícia, la reenviï a tres amics més. Si no tenim en compte les possibles repeticions, en quant de temps la notícia arribarà a 10000 persones?
  64 \stopexercici
  65
  66 \startexercici[reference=exercici:conills, title={conills}] La població de conills en una illa creix de forma exponencialment. En concret es sap que l'any 2005 hi havia 200 individus i que la població es doble cada any. Quants conills hi haurà l'any 2020?
  67 \stopexercici
  68
  69 \startexercici[reference=exercici:noticia-falsa, title={fake news}] El president Trump decideix difondre una notícia falsa per internet. Mana a tots els membres de la Casa Blanca, que són 2355, que enviïn un tweet amb l'esmentada notícia. Es calcula que per a cada persona que rebi el missatge hi haurà 3 persones que la rebran. Quants tweets s'hauran enviat a la passa 8?. En quin moment, passaran de 50 milions les persones que rebin el tweet?
  70 \stopexercici
  71
  72 \stopsubsubject
  73
  74 \startsubsubject[title={Augments percentuals}]
  75
  76 \startexercici[title={increment de sou}] Per conveni col·lectiu, el sou dels treballadors d'una empresa s'incrementa a raó del 2\% anual. Si a hores d'ara el sou d'un treballador és de 1000 €, què cobrarà aquest treballador després de 10 anys? I de 20 anys? I de 40 anys? En quin moment passarà dels 2000 €?
  77 \stopexercici
  78
  79 \startexercici[title={IPC}] L'Índex de Preus al Consum (IPC) d'Espanya l'any 2017 ha estat del 3\%. Això vol dir que el preu d'un producte s'ha encarit un 3\% aquest any respecte l'any anterior. Si assumim que aquest serà l'IPC dels pròxims anys, \startitemize[a, text] \item què costarà d'aquí 10 anys un producte que ara val 1 €? \item I d'aquí 20 anys? \item Quin tant per cent s'haurà encarit? \item Quan sobrepassarà el producte els 2 €? \stopitemize
  80 \stopexercici
  81
  82 \startexercici[title={població d'EUA}] Segons l’Oficina del Cens dels Estats Units d’Amèrica, des del 1910 a 2010 la població dels EUA va créixer un 1,5\% més cada any. Si sabem que la població l’any 1910 era de 92.228.531 habitants, podeu calcular la població dels anys 1911, 1912, 1920, 1950 i 2010?
  83 \stopexercici
  84
  85 \startexercici[title={visitants}] Recentment s'ha inaugurat el Palau de congressos de Palma. L'any passat el varen visitar 10500 persones. Es preveu que aquesta quantitat s'incrementa un 2,5\% cada any.
  86 \startitemize[a]
  87 \item Calculeu quantes persones visitaran el Palau de congressos d'aquí 10 anys.
  88 \item Quant de temps ha de passar per a què el visitin més de 50000 persones.
  89 \stopitemize
  90 \stopexercici
  91
  92 \startexercici[title={accés a internet}] La població mundial que té accés a internet s'incrementa en un 10\% cada cinc anys. Si sabem l'any 2019 hi ha 4021 milions de persones.
  93 \startitemize[a]
  94 \item Quantes persones tindran accés a internet d'aquí 20 anys?
  95 \item En quants d'anys hi haurà 8000 milions de persones connectades?
  96 \stopitemize
  97 \stopexercici
  98
  99 \startexercici[title={interès}] El banc ens dóna un interès d'un 1,1\% anual. Si decidim posar-hi 1200 €, en quant de temps tendrem més de 5000 €?
 100 \stopexercici
 101
 102 \startexercici[title={matrícula}] La matrícula d'un centre d'adults creix un 1\% anual. Sabem que l'any 2000 va ser de 400 alumnes. Quants d'alumnes s'han matriculat l'any 2019? Quants d'alumnes es matricularan l'any 2025? En quin any hi haurà una matrícula de 6000 alumnes?
 103 \stopexercici
 104
 105 \startexercici[title={despesa institucional}] El Govern de les Illes Balears redueix la despesa un 2\% anual. Si l'any 2019 va ser de 5.457 milions, quants doblers gastarà el Govern l'any 2050?
 106 \stopexercici
 107
 108 \startexercici[title={consum d'aigua}] El consum d'aigua per habitant a les Illes Balears és de 119 litres per dia. En una campanya de conscienciació un grup de 100 persones decideixen fer l'esforç de reduir aquest consum en un 2\% anualment.
 109 \startitemize[a]
 110     \item Quants litres consumeixen les 100 persones en l'any actual?
 111     \item Quants litres consumiran aquest grup de persones al cap de 10 anys (anualment)? Quina quantitat consumirà diàriament una persona d'aquest grup?
 112     \item Quina variació de consum hauran experimentat? De forma absoluta, en tant per cent, per persona i dia.
 113 \stopitemize
 114 \stopexercici
 115
 116 \startexercici[reference=exercici:residus, title={residus}] En un municipi el nombre de residus urbans l'any 2010 va ser de 1020 tones. Sabem que els residus tenen un creixement del 1,5\% anual. Quantes tones de residus hi haurà l'any 2050?
 117 \stopexercici
 118
 119 \startexercici[reference=exercici:camisetes, title={camisetes de la NASA}] Recentment s'ha observat una tendència de vestir camisetes de la NASA entre el jovent. Si sabem que l'any 2018 hi havia 20 persones a Mallorca que vestien aquesta camiseta i que s'estima que el nombre d'aquestes persones creix a raó d'un 3,5\% anual, quantes persones portaran la camiseta de la NASA l’any
 120 2025? I l’any 2050?
 121 \stopexercici
 122
 123 \startexercici[reference=exercici:vegetarians, title={vegetarians}] En un municipi, la població de persones vegetarianes creix un 2\% cada cinc anys. Si sabem que l'any 2010 hi havia 2500 persones vegetarianes, quants vegetarians hi haurà l'any 2040?
 124 \stopexercici
 125
 126 \startexercici[reference=exercici:costos-energetics, title={costos energètics}] Una empresa decideix reduïr els costos energètics a raó d'un 2\% cada dos anys. Si sabem que a hores d'ara la despesa energètica és de 2500 €, quina despesa tendrà l'empresa després d'una dècada? Quan es torbaran a tenir una despesa menor de 2000 €?
 127 \stopexercici
 128
 129 \stopsubsubject
 130
 131 \stopsubject
 132
 133 \page[yes]
 134 \startsubject[title={Solucions}]
 135
 136 \startitemize[1][distance=0.5cm]
 137
 138 \sym{\in[exercici:conills]} 6.553.600
 139
 140 \sym{\in[exercici:noticia-falsa]} 15.451.155; passa 10
 141
 142 \sym{\in[exercici:residus]} Aproximadament 1850,3 tones
 143
 144 \sym{\in[exercici:camisetes]} 25 i 60
 145
 146 \sym{\in[exercici:vegetarians]} 2815
 147
 148 \sym{\in[exercici:costos-energetics]} 2259,80 €; després de $12 \cdot 2 = 24$ anys
 149 \stopitemize
 150
 151 \stopsubject
 152
 153 \stopsection