antics/material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics.tex

   1 \chapter{Teorema de Pitàgores i cossos geomètrics}
   2
   3 \section[seccio:teorema-de-Pitàgores]{Teorema de Pitàgores}
   4
   5 \subsection{Tipus de figures planes}
   6
   7 Existeixen diversos tipus de figures planes. Les més usuals són les següents (figura~\in[fig:arees-principals]).
   8
   9 \placefigure[split,force]
  10 [fig:arees-principals]
  11 {Àrees de les figures planes més usuals}
  12 {\bTABLE[frame=off,align={middle,lohi},split=yes]
  13       \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
  14         \bTD
  15         Rectangle
  16         \eTD
  17         \bTD
  18         Quadrat
  19         \eTD
  20         \bTD
  21         Triangle
  22         \eTD
  23       \eTR
  24       \bTR
  25         \bTD
  26           \starttikzpicture
  27 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (3,0) -- (3,2) -- (0,2) -- cycle;
  28 \draw (0,0) -- (3,0) -- (3,2) -- (0,2) -- cycle;
  29 \draw (0,1) node[anchor=east] {$h$};
  30 \draw (1.5,0) node[anchor=north] {$b$};
  31 \stoptikzpicture
  32         \eTD
  33         \bTD
  34         \starttikzpicture
  35 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
  36 \draw (0,0) -- (2,0) -- (2,2) -- (0,2) -- cycle;
  37 \draw (0,1) node[anchor=east] {$c$};
  38 \draw (1,0) node[anchor=north] {$c$};
  39 \stoptikzpicture
  40         \eTD
  41         \bTD
  42         \starttikzpicture
  43 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (4,0) -- (1,2) -- cycle;
  44 \draw (0,0) -- (4,0) -- (1,2) -- cycle;
  45 \draw[help lines] (1,2) -- (1,0);
  46 \draw (1,1) node[anchor=west] {$h$};
  47 \draw (2,0) node[anchor=north] {$b$};
  48 \stoptikzpicture
  49         \eTD
  50       \eTR
  51       \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
  52         \bTD
  53         Rombe
  54         \eTD
  55         \bTD
  56         Romboide
  57         \eTD
  58         \bTD
  59         Trapezi
  60         \eTD
  61       \eTR
  62       \bTR
  63         \bTD
  64         \starttikzpicture[scale=0.75]
  65 \filldraw[color=blue!30] (0,-3) -- (1.5,0) -- (0,3) -- (-1.5,0)-- cycle;
  66 \draw (0,-3) -- (1.5,0) -- (0,3) -- (-1.5,0)-- cycle;
  67 \draw[help lines] (-1.5,0) -- (1.5,0);
  68 \draw[help lines] (0,3) -- (0,-3);
  69 \draw (-0.75,0) node[anchor=north] {$d$};
  70 \draw (0,0.75) node[anchor=west] {$D$};
  71 \stoptikzpicture
  72         \eTD
  73         \bTD
  74         \starttikzpicture
  75 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (3,0) -- (4,2) -- (1,2) -- cycle;
  76 \draw (0,0) -- (3,0) -- (4,2) -- (1,2) -- cycle;
  77 \draw[help lines] (1,0) -- (1,2);
  78 \draw (1,1) node[anchor=east] {$h$};
  79 \draw (1.5,0) node[anchor=north] {$b$};
  80 \stoptikzpicture
  81         \eTD
  82         \bTD
  83         \starttikzpicture
  84 \filldraw[color=blue!30] (0,0) -- (3,0) -- (2.5,2) -- (1,2) -- cycle;
  85 \draw (0,0) -- (3,0) -- (2.5,2) -- (1,2) -- cycle;
  86 \draw[help lines] (1,0) -- (1,2);
  87 \draw (1,1) node[anchor=east] {$h$};
  88 \draw (1.5,0) node[anchor=north] {$B$};
  89 \draw (1.75,2) node[anchor=south] {$b$};
  90 \stoptikzpicture
  91         \eTD
  92       \eTR
  93       \bTR[background=color, backgroundcolor=tablecolor, color=black, align={middle,lohi},style=ss,headstyle=ss]
  94         \bTD[nc=2]
  95         Cercle
  96         \eTD
  97         \bTD
  98         Polígon regular
  99         \eTD
 100       \eTR
 101       \bTR
 102         \bTD[nc=2]
 103         \starttikzpicture
 104 \filldraw[color=blue!30] (0,0) circle (1.5);
 105 \draw (0,0) circle (1.5);
 106 \draw[help lines] (0,0) -- (1.5,0);
 107 \draw (0.75,0) node[anchor=north] {$r$};
 108 \stoptikzpicture
 109         \eTD
 110         \bTD
 111         \starttikzpicture
 112 \node[regular polygon, regular polygon sides=5, minimum size=3cm, draw, fill=blue!30] at (0,0) {};
 113 % amb trigonometria, té longitud $Longitud costat \cdot cos 36º$
 114 \draw[help lines] (0,0) -- (0,-1.2135cm);
 115 \stoptikzpicture
 116         \eTD
 117       \eTR
 118   \eTABLE}
 119
 120 Les fórmules de les àrees d'aquestes figures són les següents (figura~\in[fig:fórmules-àrees-i-perímetres]).
 121
 122 \placefigure
 123   [force,split]
 124   [fig:fórmules-àrees-i-perímetres]
 125   {Àrea de les figures més usuals}
 126   {\bTABLE[setups={table5:header, table5:frame, table5:style},split=yes]
 127     \bTABLEhead
 128       \bTR \bTH Figura \eTH \bTH Àrea \eTH \bTH Figura \eTH \bTH Àrea \eTH \eTR
 129     \eTABLEhead
 130     \bTABLEbody
 131       \bTR
 132         \bTD
 133         Rectangle
 134         \eTD
 135         \bTD
 136         \startformula
 137 A=b \cdot h
 138 \stopformula
 139         \eTD
 140         \bTD
 141         Quadrat
 142         \eTD
 143         \bTD
 144         \startformula
 145 A=c \cdot c = c^2
 146 \stopformula
 147         \eTD
 148       \eTR
 149       \bTR
 150         \bTD
 151         Triangle
 152         \eTD
 153         \bTD
 154         \startformula
 155 A=\frac{b \cdot h}{2}
 156 \stopformula
 157         \eTD
 158         \bTD
 159         Rombe
 160         \eTD
 161         \bTD
 162         \startformula
 163 A = \frac{D \cdot d}{2}
 164 \stopformula
 165         \eTD
 166       \eTR
 167       \bTR
 168         \bTD
 169         Romboide
 170         \eTD
 171         \bTD
 172                 \startformula
 173 A = b \cdot h
 174 \stopformula
 175         \eTD
 176         \bTD
 177         Trapezi
 178         \eTD
 179         \bTD
 180         \startformula
 181 A = \frac{(B+b) \cdot h}{2}
 182 \stopformula
 183         \eTD
 184       \eTR
 185       \bTR
 186         \bTD
 187         Cercle
 188         \eTD
 189         \bTD
 190           $A = \pi \cdot r^2$
 191         \eTD
 192         \bTD
 193         Polígon regular
 194         \eTD
 195         \bTD
 196         \startformula
 197 A = \frac{\text{P} \cdot \text{a}}{2}
 198 \stopformula
 199         \eTD
 200       \eTR
 201     \eTABLEbody
 202 \eTABLE}
 203
 204 \startexercici No fa falta saber la fórmula de totes les figures, ja que sempre es poden reduir a unions de rectangles i triangles. Ho podíeu demostrar? Podeu deduir les fórmules de cadascuna de les figures anteriors? Podeu usar tisores i cinta adhesiva.
 205 \stopexercici
 206
 207
 208 \subsection{Tipus de triangles}
 209
 210 \startteoria Existeixen diversos tipus de triangles, segons els costats o segons els angles que els formen (figura~\in[fig:classificació-triangles]).
 211
 212 \placefigure
 213   [force]
 214   [fig:classificació-triangles]
 215   {Classificació dels triangles}
 216   {\bTABLE[setups={table5:header, table5:frame, table5:style}]
 217     \bTABLEhead
 218       \bTR \bTH Segons els costats \eTH \bTH Segons els angles \eTH \eTR
 219     \eTABLEhead
 220     \bTABLEbody
 221       \bTR
 222         \bTD
 223         Equilàter: té tots els costats iguals
 224         \eTD
 225         \bTD
 226         Acutangle: té tots els angles aguts
 227         \eTD
 228       \eTR
 229       \bTR
 230         \bTD
 231         Isòsceles: té dos costats iguals i un diferent
 232         \eTD
 233         \bTD
 234         Rectangle: té un angle recte
 235         \eTD
 236       \eTR
 237       \bTR
 238         \bTD
 239         Escalè: té tots els costats diferents
 240         \eTD
 241         \bTD
 242         Obtusangle: té un angle obtús
 243         \eTD
 244       \eTR
 245     \eTABLEbody
 246 \eTABLE}
 247
 248 \stopteoria
 249
 250 \startexercici Podíeu posar exemples de triangles a les categories anteriors? Quina relació hi ha entre aquestes categories? Podeu saber si un triangle pot pertànyer a dues categories alhora?
 251 \stopexercici
 252
 253 Al llarg d'aquest apartat ens ocuparem del triangles rectangles. Els costats dels triangles rectangles tenen noms particulars:
 254
 255 %TODO: posar figura de triangle rectangle i definicions hipotenusa i catets
 256
 257 \placefigure[force][fig:classificio-triangles]{Triangle rectangle}
 258 {\bTABLE[frame=off]
 259   \bTR
 260    \bTD
 261        \starttikzpicture[scale=1]
 262         \draw[color=blue,very thick] (0,0) -- (0,0.2) -- (0.2,0.2) -- (0.2, 0) -- cycle;
 263          \draw[very thick] (0,0) -- (0,3) -- (5,0) --cycle;
 264          \draw (0,1.5) node[anchor=east] {catet};
 265          \draw (2.5,0) node[anchor=north] {catet};
 266        \stoptikzpicture
 267    \eTD
 268   \eTR
 269 \eTABLE}
 270
 271 \startitemize
 272 \item L'angle recta es denota per un cantó d'un rectangle \tikz \filldraw[color=blue,very thick] (0,0) -- (0,0.2) -- (0.2,0.2) -- (0.2, 0) -- cycle; i no per un arc de circumferència \tikz \filldraw[fill=green!20!white, draw=green!50!black]
 273 (0,0) -- (3mm,0mm) arc (0:30:3mm) -- cycle;
 274 \item La {\em hipotenusa} és el costat major del triangle rectangle. Correspon al costat oposat de l'angle recte
 275 \item Els costats que són adjacents a l'angle recte són els {\em catets}.
 276 \stopitemize
 277
 278 \startresultat{teorema de Pitàgores} En un triangle rectangle, es compleix que la hipotenusa al quadrat és igual a la suma dels dos catets al quadrat, és a dir,
 279 \startformula
 280 h^2 = c^2 + d^2,
 281 \stopformula
 282 on $h$ denota la hipotenusa i $c$ i $d$ els catets del triangle rectangle.
 283 \stopresultat
 284
 285 \startprova Sigui un triangle rectangle qualsevol (figura~\in[fig:demostracio-Pitagores]), amb $h$ la hipotenusa i $c$ i $d$ els dos catets. Denotem per $A_t$ la seva àrea, és a dir, $A_t = (d \cdot c)/2$. Amb aquest triangle, podem construir dos quadrats (figura~\in[fig:demostracio-Pitagores-quadrats]).
 286
 287 \placefigure[force][fig:demostracio-Pitagores]{Triangle rectangle genèric}
 288 {\bTABLE[frame=off]
 289   \bTR
 290    \bTD
 291        \starttikzpicture[scale=1]
 292          \draw[very thick] (-5,0) -- (0,0) -- (0,2) --cycle;
 293          \draw (-2.5,0) node[anchor=north] {$d$};
 294          \draw (0,1) node[anchor=west] {$c$};
 295          \draw (-2.5,1.3) node[anchor=east] {$h$};
 296        \stoptikzpicture
 297    \eTD
 298   \eTR
 299 \eTABLE}
 300
 301 \placefigure[force][fig:demostracio-Pitagores-quadrats]{Quadrats formats amb el triangle inicial}
 302 {\bTABLE[frame=off]
 303   \bTR
 304    \bTD
 305      \starttikzpicture[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,scale=2]
 306      % vèrtexos
 307      %% esquerra abaix
 308      \coordinate (A1) at (-2,4);
 309      %% dreta abaix
 310      \coordinate (A2) at (1,4);
 311      %% dreta a dalt
 312      \coordinate (A3) at (1,7);
 313      %% esquerra a dalt
 314      \coordinate (A4) at (-2,7);
 315      % vèrtexos del quadrat central
 316      %% superior
 317      \coordinate (E) at ($(A4)!.2!(A3)$);
 318      %% dret
 319      \coordinate (H) at ($(A3)!.2!(A2)$);
 320      %% a baix
 321      \coordinate (F) at ($(A2)!.2!(A1)$);
 322      %% esquerra
 323      \coordinate (G) at ($(A1)!.2!(A4)$);
 324
 325      % quadrat central
 326      \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
 327      \fill[color=xdxdff,fill=xdxdff,pattern=north east lines,pattern color=xdxdff] (E) -- (H) -- (F) -- (G) -- cycle;
 328      \draw[color=xdxdff] (E) -- (H) -- (F) -- (G) -- cycle;
 329
 330      % vores del quadrat perifèric
 331      \draw [color=zzttqq] (A1)-- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
 332
 333      % noms dels costats
 334      %% a dalt
 335      \draw ($(A4)!.5!(E)$) node[anchor=south] {$c$};
 336      \draw ($(E)!.5!(A3)$) node[anchor=south] {$d$};
 337      %% a l'esquerra
 338      \draw ($(A4)!.5!(G)$) node[anchor=east] {$d$};
 339      \draw ($(G)!.5!(A1)$) node[anchor=east] {$c$};
 340      %% a baix
 341      \draw ($(A1)!.5!(F)$) node[anchor=north] {$d$};
 342      \draw ($(F)!.5!(A2)$) node[anchor=north] {$c$};
 343      %% a la dreta
 344      \draw ($(A2)!.5!(H)$) node[anchor=west] {$d$};
 345      \draw ($(H)!.5!(A3)$) node[anchor=west] {$c$};
 346      \stoptikzpicture
 347    \eTD
 348    \bTD[width=1cm]
 349    \eTD
 350    \bTD
 351      \starttikzpicture[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,scale=2]
 352      % vèrtexos
 353      %% esquerra abaix
 354      \coordinate (A1) at (-2,4);
 355      %% dreta abaix
 356      \coordinate (A2) at (1,4);
 357      %% dreta a dalt
 358      \coordinate (A3) at (1,7);
 359      %% esquerra a dalt
 360      \coordinate (A4) at (-2,7);
 361
 362      % vèrtexos auxiliars
 363      %% superior
 364      \coordinate (E) at ($(A4)!.2!(A3)$);
 365      %% dret
 366      \coordinate (H) at ($(A3)!.2!(A2)$);
 367      %% a baix
 368      \coordinate (F) at ($(A1)!.2!(A2)$);
 369      %% esquerra
 370      \coordinate (G) at ($(A4)!.2!(A1)$);
 371
 372      % segments entre els vèrtexos auxiliars
 373      %% esquerra-dret
 374      \draw (G) -- (H);
 375      %% dalt-baix
 376      \draw (E) -- (F);
 377
 378      % punt d'intersecció
 379      \coordinate (M) at ({-2+3*0.2},{7-3*0.2});
 380
 381      % emplenam rectangles
 382      \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (A4) -- (A3) -- (A2) -- (A1) -- cycle;
 383      \draw[color=zzttqq] (A4) -- (A3) -- (A2) -- (A1) -- cycle;
 384      \fill[color=qqzzqq,fill=qqzzqq,pattern=north east lines,pattern color=qqzzqq] (A4) -- (E) -- (M) -- (G) -- cycle;
 385      \draw[color=qqzzqq] (A4) -- (E) -- (M) -- (G) -- cycle;
 386      \fill[color=qqwuqq,fill=qqwuqq,pattern=north east lines,pattern color=qqwuqq] (M) -- (H) -- (A2) -- (F) -- cycle;
 387      \draw[color=qqwuqq] (M) -- (H) -- (A2) -- (F) -- cycle;
 388
 389      % línies per veure triangles
 390      \draw (A1) -- (M) -- (A3);
 391
 392      % noms dels costats
 393      %% a dalt
 394      \draw ($(A4)!.5!(E)$) node[anchor=south] {$c$};
 395      \draw ($(E)!.5!(A3)$) node[anchor=south] {$d$};
 396      %% a l'esquerra
 397      \draw ($(A4)!.5!(G)$) node[anchor=east] {$c$};
 398      \draw ($(G)!.5!(A1)$) node[anchor=east] {$d$};
 399      %% a baix
 400      \draw ($(A1)!.5!(F)$) node[anchor=north] {$c$};
 401      \draw ($(F)!.5!(A2)$) node[anchor=north] {$d$};
 402      %% a la dreta
 403      \draw ($(A2)!.5!(H)$) node[anchor=west] {$d$};
 404      \draw ($(H)!.5!(A3)$) node[anchor=west] {$c$};
 405      \stoptikzpicture
 406    \eTD
 407   \eTR
 408 \eTABLE}
 409
 410
 411 \startitemize
 412 \item Les àrees dels dos quadrats són les mateixes, ja que les dues àrees valen $(c+d)^2$.
 413 \item L'àrea del primer quadrat és igual a la suma de quatre vegades l'àrea del triangle inicial (figura~\in[fig:demostracio-Pitagores]) més l'àrea del quadrat ratllat. És a dir,
 414 \startformula
 415 A = 4 A_t + h^2
 416 \stopformula
 417 \item L'àrea del segon quadrat és igual a quatre vegades l'àrea del triangle inicial (figura~\in[fig:demostracio-Pitagores]) més l'àrea ratllada. Aquesta àrea està composada per l'àrea de dos quadrats, d'àrees $c^2$ i $d^2$. És a dir,
 418 \startformula
 419 A = 4 A_t + c^2 + d^2
 420 \stopformula
 421 \item Com que les àrees dels dos quadrats són iguals, això vol dir que $4 A_t + h^2 = 4A_t + c^2 + d^2$. Per tant,
 422 \startformula
 423 h^2 = c^2 + d^2,
 424 \stopformula
 425 que és precisament el teorema de Pitàgores.
 426 \stopitemize
 427
 428 Podeu consultar una versió dinàmica de la prova del teorema de Pitàgores \goto{aquí}[url(http://tube.geogebra.org/somenxavier)] (\goto{versió local}[url(material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-prova-teorema-Pitàgores.ggb)]), creada usant \goto{Geogebra}[url(http://www.geogebra.org)].
 429
 430 \stopprova
 431
 432 \startexercici[exer:propi-antic-B2] Trobeu \startitemize[a,text] \item què valen els costats, \item l'àrea i \item el perímetre dels triangles següents \stopitemize (figura~\in[fig:figures-arees-Pitàgores-2]).
 433 \placefigure
 434   [force,split]
 435   [fig:figures-arees-Pitàgores-2]
 436   {Diverses figures}
 437   {\bTABLE[frame=off,align={middle,lohi},split=yes]
 438   \bTR
 439     \bTD
 440       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex1.pdf][scale=700]
 441
 442       a
 443     \eTD
 444     \bTD
 445       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex2.pdf][scale=700]
 446
 447       b
 448     \eTD
 449   \eTR
 450   \bTR
 451     \bTD
 452       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex3.pdf][scale=700]
 453
 454       c
 455     \eTD
 456     \bTD
 457       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex4.pdf][scale=700]
 458
 459       d
 460     \eTD
 461   \eTR
 462 \eTABLE}
 463 \stopexercici
 464
 465
 466 \startexercici[exer:talaiot-14] Calculeu la diagonal del rectangle que té base $5,2 \Centi \Meter$ i altura $2,9 \Centi \Meter$.
 467 \stopexercici
 468
 469 \startexercici[exer:talaiot-15] Calculeu l'altura d'un triangle isòsceles els costats del qual mesuren l'un $4,8 \Meter$ i l'altre $3,6 \Meter$.
 470 \stopexercici
 471
 472 \startexercici[exer:talaiot-18] En una urbanització s'han protegit 310 finestres quadrades de $1,26 \Meter$ de costat amb una cinta adhesiva especial, com es veu a la figura~\in[fig:finestra-cinta]. Quants metres de cinta s'han fet servir?
 473
 474 \placefigure
 475   [here]
 476   [fig:finestra-cinta]
 477   {Esquema de la cinta adhesiva}
 478   {\bTABLE[frame=off,align={middle,lohi}]
 479 \bTR
 480 \bTD
 481 \startmodeset
 482 [grisos] {\externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ESPAD-1-bn.png][scale=1000]}
 483 [default] {\externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ESPAD-1.png][scale=1000]}
 484 \stopmodeset
 485 \eTD
 486 \eTR
 487 \eTABLE}
 488 \stopexercici
 489
 490 \startexercici[exer:talaiot-19] Una escala de $3,7 \Meter$ de longitud es troba recolzada en una paret, quedant el peu a $1,5 \Meter$ d'ella. A quina altura arriba l'escala sobre la paret?
 491 \stopexercici
 492
 493 \startexercici[exer:talaiot-28] Calculeu el perímetre d'un triangle rectangle la hipotenusa del qual mesura $50 \Centi \Meter$, i un dels seus catets $40 \Centi \Meter$.
 494 \stopexercici
 495
 496 \startexercici[exer:talaiot-29] Determineu, sense dibuixar-lo, si un triangle de costats 7, 8 i $9 \Centi \Meter$ és rectangle.
 497 \stopexercici
 498
 499 \startexercici[exer:talaiot-30] Calculeu l'apotema d'un hexàgon regular de $5 \Centi \Meter$ de costat.
 500 \stopexercici
 501
 502 \startexercici[exer:talaiot-31] Calculeu l'altura d'un triangle isòsceles els costats iguals del qual mesuren $16 \Centi \Meter$ i el costat desigual $10 \Centi \Meter$.
 503 \stopexercici
 504
 505 \startexercici[exer:talaiot-32] Calculeu la mesura de la diagonal d'un rectangle de costats $6$ i $8 \Centi \Meter$.
 506 \stopexercici
 507
 508 \startexercici[exer:talaiot-33] Un futbolista entrena corrent la diagonal del terreny de joc d'un camp de futbol, anada i tornada, $30$ cops tots els dies (figura~\in[fig:camp-futbol]). Quina distància total recorre? El terreny de joc té unes mides de $105 \times 67 \Meter$.
 509
 510 \placefigure
 511   [here]
 512   [fig:camp-futbol]
 513   {Camp de futbol}
 514   {\bTABLE[frame=off,align={middle,lohi}]
 515 \bTR
 516 \bTD
 517 \startmodeset
 518 [grisos] {\externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ESPAD-2-bn.png][scale=2000]}
 519 [default] {\externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ESPAD-2.png][scale=2000]}
 520 \stopmodeset
 521 \eTD
 522 \eTR
 523 \eTABLE}
 524 \stopexercici
 525
 526 \startexercici[exer:propi-antic-1] En un triangle rectangle, un catet fa 4 cm i l'altre fa 3 cm. Calculeu la hipotenusa
 527 \stopexercici
 528
 529 \startexercici[exer:propi-antic-2] En un triangle rectangle, la hipotenusa fa 8 cm i un catet fa 4 cm. Calculeu l'altre catet
 530 \stopexercici
 531
 532 \startexercici[exer:propi-antic-3] Calculeu la diagonal d'un rectangle de base 5 cm i altura 8 cm
 533 \stopexercici
 534
 535 \startexercici[exer:propi-antic-4] En una habitació que fa $10 \times 50$ metres, volem anar de cantó a cantó. Calculeu quina distància recorrerem.
 536 \stopexercici
 537
 538 \startexercici[exer:propi-antic-5] Un edifici té una altura de 80 metres i nosaltres esteim a una distància de 25 metres. Calculeu la distància que hi ha des del punt més alt de l'edifici a on esteim
 539 \stopexercici
 540
 541 \startexercici[exer:propi-antic-6] En un triangle isòsceles, l'altura fa 10 cm i els costats iguals fan 15 cm. Calculeu la seva base
 542 \stopexercici
 543
 544 \startexercici[exer:propi-antic-7] En un triangle isòsceles, la base fa 50 cm i l'altura fa 10 cm. Calculeu què fan els costats semblants
 545 \stopexercici
 546
 547
 548 \startexercici[exer:propi-antic-8] Trobeu l'àrea i el perímetre de les següents figures (figura~\in[fig:figures-arees-Pitàgores]). Potser sigui necessari aplicar el teorema de Pitàgores per trobar algun costat.
 549
 550 \placefigure
 551   [here]
 552   [fig:figures-arees-Pitàgores]
 553   {Diverses figures}
 554   {\bTABLE[split=yes,frame=off,align={middle,lohi}]
 555   \bTR
 556     \bTD
 557       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-fig-1.eps][width=1.6in]
 558
 559       a
 560     \eTD
 561     \bTD
 562       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-fig-2.eps][width=1.6in]
 563
 564       b
 565     \eTD
 566     \bTD
 567       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-fig-3.eps][width=2.1in]
 568
 569       c
 570     \eTD
 571   \eTR
 572   \bTR
 573     \bTD
 574       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-fig-4.eps][width=2.2in]
 575
 576       d
 577     \eTD
 578     \bTD
 579       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-fig-5.eps][width=1.8in]
 580
 581       f
 582     \eTD
 583     \bTD
 584       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-fig-6.eps][width=2.5in]
 585
 586       g
 587     \eTD
 588   \eTR
 589 \eTABLE}
 590
 591 \stopexercici
 592
 593 \startexercici[exer:propi-antic-B1] Calculeu l'àrea i el perímetre de les figures següents (figura~\in[fig:figures-arees-Pitàgores-2]).
 594
 595 \placefigure
 596   [here]
 597   [fig:figures-arees-Pitàgores-2]
 598   {Diverses figures}
 599   {\bTABLE[frame=off,align={middle,lohi}]
 600   \bTR
 601     \bTD
 602       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex1-1.eps][width=2in]
 603
 604       a
 605     \eTD
 606     \bTD
 607       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex1-2.eps][width=2in]
 608
 609       b
 610     \eTD
 611     \bTD
 612       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex1-3.eps][width=2.2in]
 613
 614       c
 615     \eTD
 616   \eTR
 617   \bTR
 618     \bTD
 619       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex1-4.eps][width=1.1in]
 620
 621       d
 622     \eTD
 623     \bTD
 624       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex1-5.eps][width=2.2in]
 625
 626       f
 627     \eTD
 628     \bTD
 629       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex1-6.eps][width=1.6in]
 630
 631       g
 632     \eTD
 633   \eTR
 634 \eTABLE}
 635 \stopexercici
 636
 637 \startexercici Trobeu els costats $b$ i $h$ d'aquest triangle (figura~\in[fig:figures-arees-Pitàgores-3]).
 638 \placefigure
 639   [here]
 640   [fig:figures-arees-Pitàgores-3]
 641   {Triangle escalè}
 642   {\bTABLE[frame=off,align={middle,lohi}]
 643   \bTR
 644     \bTD
 645       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex8.pdf][scale=700]
 646     \eTD
 647   \eTR
 648 \eTABLE}
 649 \stopexercici
 650
 651 \startexercici Trobeu els costats que falten (figura~\in[fig:figures-arees-Pitàgores-4]).
 652 \placefigure
 653   [here]
 654   [fig:figures-arees-Pitàgores-4]
 655   {Diversos triangles}
 656   {\bTABLE[frame=off,align={middle,lohi}]
 657   \bTR
 658     \bTD
 659       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-ex99.pdf][scale=700]
 660     \eTD
 661   \eTR
 662 \eTABLE}
 663 \stopexercici
 664
 665 \startexercici Trobeu la diagonal d'un cub de $10 \Centi \Meter$ d'aresta
 666 \stopexercici
 667
 668 \startexercici Trobeu la diagonal d'una porteria de futbol de $2,44 \Meter$ d'alt i $7,32 \Meter$ de llarg.
 669 \stopexercici
 670
 671 \startexercici Quina és l'àrea d'un hexàgon regular de $6 \Centi \Meter$ de radi?
 672 \stopexercici
 673
 674 \startexercici Calculeu l'àrea d'un quadrat si sabem que la seva diagonal mesura $15 \Centi \Meter$.
 675 \stopexercici
 676
 677 \startexercici Trobeu l'àrea d'un triangle equilàter de $8 \Centi \Meter$ de costat.
 678 \stopexercici
 679
 680 \startexercici Des d'una torre de fusta $20 \Meter$ d'alçada es vol muntar una tirolina al terra. Si volem que la base de la tirolina estigui a $100 \Meter$ de la torre, de quina llargària necessitem la corda de la tirolina?
 681 \stopexercici
 682
 683 \startexercici Amb un punter làser sabem que la distància des d'un observador a l'extrem superior d'un arbre és de $20 \Meter$. Si sabem que l'observador està a $7 \Meter$ de l'arbre, calculeu l'altura de l'arbre
 684 \stopexercici
 685
 686 \startexercici Volem mesurar l'altura de la muntanya $B$. Les dades que sabem és que \startitemize[a,text] \item La muntanya $A$ fa $200 \Meter$ \item la distància entre els cims és de $500 \Meter$ i \item el desplaçament horitzontal entre les muntanyes és de $100 \Meter$\stopitemize (vegeu figura~\in[fig:muntanyes])
 687 \placefigure
 688   [force]
 689   [fig:muntanyes]
 690   {Diversos triangles}
 691   {\bTABLE[frame=off,align={middle,lohi}]
 692   \bTR
 693     \bTD
 694       \externalfigure[material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-muntanyes.eps][scale=600]
 695     \eTD
 696   \eTR
 697 \eTABLE}
 698 \stopexercici
 699
 700 \startexercici[Santillana-1] Dos vaixells surten al mateix temps des del mateix punt: un en direcció nord i l'altre en direcció oest a $15$ i $18$ nusos, respectivament. Calculeu quina distància els separarà al llarg de 6 hores. I al cap de 10 hores. Nota: un nus són $1,852 \Kilo \Meter \Per \Hour$.
 701 \stopexercici
 702
 703 \startexercici[Santillana-2] El disseny de la forma i dimensions d'una muntanya russa són els que s'indiquen a la figura (figura~\in[fig:canonada]) (totes les mesures es donen en metres). Sabem que el punt més alt es troba a $56 \Meter$. Calculeu la longitud total de la muntanya russa.
 704 \placefigure
 705   [force]
 706   [fig:canonada]
 707   {Muntanya russa en construcció}
 708   {% original: material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-Santillana-canonada.ggb
 709   \bTABLE[frame=off,align={middle,lohi}]
 710   \bTR
 711     \bTD
 712     \starttikzpicture[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
 713 \draw [line width=2.pt,color=qqwwzz] (-3.,1.)-- (1.,1.);
 714 \draw [line width=2.pt,color=qqwwzz] (1.,1.)-- (3.,3.);
 715 \draw [line width=2.pt,color=qqwwzz] (3.,3.)-- (5.,3.);
 716 \draw [line width=2.pt,color=qqwwzz] (5.,3.)-- (6.,1.);
 717 \draw (1.27,0.34) node {$353$};
 718 \draw [->] (0.86,0.34) -- (-2.96,0.34);
 719 \draw [->] (1.68,0.34) -- (6.04,0.34);
 720 \draw (4,3) node[anchor=south] {$100$};
 721 \draw (2.13,1.16) node {$33$};
 722 \draw [->] (1.86,1.16) -- (1.34,1.16);
 723 \draw [->] (2.4,1.16) -- (3.,1.16);
 724 \draw [->] (2.4,1.16) -- (3.,1.16);
 725 \draw (3.53,-0.4) node {$153$};
 726 \draw [->] (3.16,-0.4) -- (1.04,-0.4);
 727 \draw [->] (3.98,-0.4) -- (5.98,-0.4);
 728      \stoptikzpicture
 729     \eTD
 730   \eTR
 731 \eTABLE}
 732 \stopexercici
 733
 734 \startexercici[Santillana-3] Dibuixeu un triangle equilàter de $8 \Centi \Meter$ de costat. Quina és l'àrea de la corona circular determinada per la circumferència inscrita i circumscrita al triangle?
 735
 736 \stopexercici
 737
 738 \startexercici[Santillana-4]{$\star$} Dibuixeu un triangle isòsceles de $17 \Centi \Meter$ de base. L'altura corresponent a un dels costats iguals és igual a $15 \Centi \Meter$. Trobeu l'àrea del triangle.
 739 \stopexercici
 740
 741 \page[yes]
 742 {\bf Solució}
 743
 744 En primer lloc, calcularem un tros d'un dels costats semblants (figura~\in[fig:triangle-isosceles-1]a): $17^2 = 15^2 + x^2$, amb el que $x = 8$. Amb aquest informació, si feim servir que el triangle és isòsceles, aleshores podem calcular la longitud dels costats semblants (figura~\in[fig:triangle-isosceles-1]b).
 745
 746
 747 \placefigure[force][fig:triangle-isosceles-1]{Càlcul d'una part d'un costat}
 748 {\bTABLE[frame=off, align={middle,lohi}]
 749   \bTR
 750     \bTD
 751       % fet amb Geogebra: veure arxiu original material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercici-Santillana-4.ggb
 752       \starttikzpicture[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
 753 \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0.,4.) -- (-2.,0.) -- (2.,0.) -- cycle;
 754 \fill[color=qqccqq,fill=qqccqq,fill opacity=0.2] (-2.,0.) -- (1.2,1.6) -- (2.,0.) -- cycle;
 755 \draw [color=zzttqq] (0.,4.)-- (-2.,0.);
 756 \draw [color=zzttqq] (-2.,0.)-- (2.,0.);
 757 \draw [color=zzttqq] (2.,0.)-- (0.,4.);
 758 \draw (1.66,1.5) node[anchor=north west] {$x$};
 759 \draw (-0.4,1.68) node[anchor=north west] {$15$};
 760 \draw (-0.22,0.74) node[anchor=north west] {$17$};
 761 \draw (-2.,0.)-- (1.2,1.6);
 762       \stoptikzpicture
 763
 764       a
 765     \eTD
 766     \bTD[width=2cm]
 767     \eTD
 768     \bTD
 769     % fet amb Geogebra: veure arxiu original material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercici-Santillana-4b.ggb
 770     \starttikzpicture[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1.0cm,y=1.0cm]
 771 \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0.,4.) -- (-2.,0.) -- (2.,0.) -- cycle;
 772 \fill[color=zzttqq,fill=zzttqq,fill opacity=0.1] (0.,4.) -- (-2.,0.) -- (2.,0.) -- cycle;
 773 \fill[color=qqccqq,fill=qqccqq,fill opacity=0.2] (0.,4.) -- (-2.,0.) -- (1.2,1.6) -- cycle;
 774 \draw [color=zzttqq] (0.,4.)-- (-2.,0.);
 775 \draw [color=zzttqq] (-2.,0.)-- (2.,0.);
 776 \draw [color=zzttqq] (2.,0.)-- (0.,4.);
 777 \draw (1.66,1.5) node[anchor=north west] {$8$};
 778 \draw (-0.4,1.68) node[anchor=north west] {$15$};
 779 \draw (-0.22,0.74) node[anchor=north west] {$17$};
 780 \draw (-2.,0.)-- (1.2,1.6);
 781 \draw (0.8,3.32) node[anchor=north west] {$y$};
 782 \draw (-2.,2.86) node[anchor=north west] {$8+y$};
 783     \stoptikzpicture
 784
 785     b
 786     \eTD
 787    \eTR
 788   \eTABLE}
 789
 790
 791 \page[yes]
 792 \starttextrule{Solucions de \about[seccio:teorema-de-Pitàgores]}
 793 \startitemize[n,packed]
 794 \item Exercici~\in[exer:talaiot-14]: $5,95$.
 795 \item Exercici~\in[exer:talaiot-15]: $4,44 \Meter$.
 796 \item Exercici~\in[exer:talaiot-18]: $310 \cdot 1,7819 \Meter = 552,39 \Meter$.
 797 \item Exercici~\in[exer:talaiot-19]: $3,38 \Meter$.
 798 \item Exercici~\in[exer:propi-antic-1]: $5 \Centi \Meter$
 799 \item Exercici~\in[exer:propi-antic-2]: $6,92 \Centi \Meter$
 800 \item Exercici~\in[exer:propi-antic-3]: $9,43 \Centi \Meter$
 801 \item Exercici~\in[exer:propi-antic-4]: $50,99 \Meter$
 802 \item Exercici~\in[exer:propi-antic-5]: $83,81 \Meter$
 803 \item Exercici~\in[exer:propi-antic-6]: $22,36 \Centi \Meter$
 804 \item Exercici~\in[exer:propi-antic-7]: $26,92 \Centi \Meter$
 805 \item Exercici~\in[exer:propi-antic-8]: \startitemize[a,text] \item $A=30,61 \Square \Centi \Meter$, $P= 19 \Centi \Meter$; \item $A=77,42 \Square \Centi \Meter$, $P= 36,66 \Centi \Meter$; \item $A= 76 \Square \Centi \Meter$, $P= 38 \Centi \Meter$; \item $P= 36,18 \Centi \Meter$; \item $A= 50 \Square \Centi \Meter$; \item $A= 5,64 + 8 + 10 \Square \Centi \Meter$, $P= 24,38 \Centi \Meter$\stopitemize
 806 \item Exercici~\in[Santillana-4]: Els costats del triangle fan $17$ i $20 \Centi \Meter$. L'àrea fa $150 \Square \Centi \Meter$.
 807 \stopitemize
 808 \stoptextrule
 809
 810 \page[yes]
 811 \section{Cossos geomètrics}
 812
 813 \startexercici L'apotema d'una piràmide quadrangular regular mesura $12 \Centi \Meter$ i la seva aresta bàsica $10 \Centi \Meter$. Trobau \startitemize[a,text] \item quant fa l'altura \item quina àrea i quin volum té la piràmide \stopitemize
 814 \stopexercici
 815
 816 \startexercici Si sabem que el costat d'un cub fa $5 \Centi \Meter$, calculeu el seu volum i la seva àrea lateral
 817 \stopexercici
 818
 819 \startexercici Si sabem que el volum d'una capsa és de $200 \Cubic \Centi \Meter$, podeu trobar què fa d'alt si sabem que la base és un rectangle de $10 \times 20 \Centi \Meter$?
 820 \stopexercici
 821
 822 \startexercici Un pintor té l'encàrreg de pintar un edifici en forma d'ortoedre. L'únic que sap és que l'amplada de l'edifici és la meitat que la seva llargària i que la altura és de 20 metres.
 823
 824 Si al final, el pintor ha gastar 2000 litres de pintura, quina altura té l'edifici?
 825
 826 Nota: el pintor gasta 1 litre de pintura cada $5 \Square \Meter$.
 827
 828 \stopexercici
 829
 830 % Materials ESPAD (editorial Talaiot)
 831
 832 \startpagefigure[./material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercicis-cossos-geomètrics-ESPAD-1.pdf][page=1]\reference[fig:pdfexterns:espad-1]{Per a practicar de l'Àrea de cossos geomètrics. Pàgina 1}
 833 \stoppagefigure
 834
 835 \startpagefigure[./material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercicis-cossos-geomètrics-ESPAD-2.pdf][page=1]\reference[fig:pdfexterns:espad-2]{Per a practicar de l'Àrea de cossos geomètrics. Pàgina 2}
 836 \stoppagefigure
 837
 838 \startpagefigure[./material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercicis-cossos-geomètrics-ESPAD-3.pdf][page=1]\reference[fig:pdfexterns:espad-3]{Autoavaluació de l'Àrea de cossos geomètrics}
 839 \stoppagefigure
 840
 841 \startpagefigure[./material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercicis-cossos-geomètrics-ESPAD-4.pdf][page=1]\reference[fig:pdfexterns:espad-4]{Solucions de l'Àrea de cossos geomètrics}
 842 \stoppagefigure
 843
 844 \startpagefigure[./material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercicis-cossos-geomètrics-ESPAD-5.pdf][page=1]\reference[fig:pdfexterns:espad-5]{Per a practicar del Volum de cossos geomètrics. Pàgina 1}
 845 \stoppagefigure
 846
 847 \startpagefigure[./material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercicis-cossos-geomètrics-ESPAD-6.pdf][page=1]\reference[fig:pdfexterns:espad-6]{Per a practicar del Volum de cossos geomètrics. Pàgina 2}
 848 \stoppagefigure
 849
 850 \startpagefigure[./material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercicis-cossos-geomètrics-ESPAD-7.pdf][page=1]\reference[fig:pdfexterns:espad-7]{Autoavaluació del Volum de cossos geomètrics}
 851 \stoppagefigure
 852
 853 \startpagefigure[./material-apunts-ESPA-2-Pitagores-i-cossos-geometrics-figs-exercicis-cossos-geomètrics-ESPAD-8.pdf][page=1]\reference[fig:pdfexterns:espad-8]{Solucions dels exercicis del Volum de cossos geomètrics}
 854 \stoppagefigure