Model.tex

   1 \chapter{Математическая модель}
   2
   3 Из уравнений Максвелла получаем общий вид волнового уравнения:
   4
   5 \begin{equation}
   6 \label{eq:wave_equation}
   7 \Delta \vec{E} = \frac{1}{a^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} + \frac{4 \pi \sigma \mu}{c^2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t},
   8 \end{equation}
   9
  10 \begin{tabbing}
  11 где \= $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$ \=~--- оператор Лапласа,\\
  12 \> $\sigma$ \>~--- электрическая проводимость среды,\\
  13 \>$\varepsilon$ \>~--- диэлектрическая проницаемость среды,\\
  14 \>$\mu$ \>~--- магнитная проводимость среды,\\
  15 \>$a = \frac{c}{\varepsilon \mu}$ \>~--- скорость распространения электромагнитных волн в среде.
  16 \end{tabbing}
  17
  18 Вывод \eqref{eq:wave_equation} из уравнений Максвелла можно найти, например в \cite{samarsky_umf}.
  19
  20 Преобразуем \eqref{eq:wave_equation} для нашего случая. Положим, что внутри волновода вакуум, а стенки его по условию изготовлены из проводящего материала. В вакууме $\sigma = 0$, $\varepsilon = 1$, $\mu = 1$, а значит $a = c$. Кроме того, в нашем случае $\vec{E} = \left( E_x, 0, 0\right)$, т.~е. нам нужно рассматривать \eqref{eq:wave_equation} только в проекции на одну координату $E_x$. Причем $E_x$ по условию зависит только от $y$, $z$ и $t$, а от $x$ не зависит. Значит и $\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} = 0$.
  21
  22 С учетом этого, \eqref{eq:wave_equation} перепишется в виде
  23
  24 \begin{equation}
  25 \label{eq:wave_equation_2}
  26 \Delta_{yz} E_x = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}.
  27 \end{equation}
  28
  29 Здесь использовано обозначение $\Delta_{xy} = \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$.
  30
  31 Задумаемся о краевых условиях для нашей задачи. Раз три стенки выполнены из электропроводящего матриала, значит на них напряженности поля никогда не возникнет: $\left. E_x \right|_{y=0} = \left. E_x \right|_{y=l_y} = \left. E_x \right|_{z=l_z} = 0$. Напряженность на оставшейся стенке нам известна. Она поддерживается неким источником и изменяется по известному закону: $\left. E_x \right|_{z=0} = \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{2 \pi c}{\lambda}t$ все интересующее нас время. При этом в начальный момент времени на всем волноводе какая-либо напряженность отсутствует и ее производная во времени --- тоже: $\left. E_x \right|_{t=0} = \left. \frac{\partial E_x}{\partial t} \right|_{t=0} = 0$. Присовокупив к \eqref{eq:wave_equation_2} эти условия, получим задачу математической физики:
  32
  33 \begin{equation}
  34   \label{eq:problem}
  35   \left\{
  36     \begin{array}{rclr}
  37       \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} &=& \Delta_{yz} E_x, & 0 \le y \le l_y,  0 \le z \le l_z, \\
  38       &&& 0 \le t \le T; \\
  39       \left. E_x \right|_{y=0} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
  40       \left. E_x \right|_{y=l_y} & = & 0, & 0 < z \le l_z, 0 < t \le T; \\
  41       \left. E_x \right|_{z=0} &=&  \sin\frac{\pi y}{l_y} \sin\frac{2 \pi c}{\lambda} t, & 0 \le y \le l_y, 0 \le t \le T; \\
  42       \left. E_x \right|_{z=l_z} &=& 0, & 0 < y < l_y, 0 < t \le T; \\
  43       \left. E_x \right|_{t=0} & = & 0, & 0 \le y \le l_y, 0 < z \le l_z; \\
  44       \left. \frac{\partial E_x}{\partial t} \right|_{t=0} &=& 0, & 0 \le y \le l_y, 0 \le z \le l_z.
  45     \end{array}
  46   \right.
  47 \end{equation}
  48
  49 Задача \eqref{eq:problem} --- это полноценная краевая задача математической физики. Ее решение --- одна из главных целей этого курсового проекта.