~CANVIS

[apunts-espa-matematiques.git] / ng-proporcionalitat-geometrica-escala-numerica.conTeXt

\startsection[reference=seccio:proporcionalitat-geometrica-escala-numerica, title={Proporcionalitat geomètrica: escala numèrica}]

\startsubject[title={Preguntes}]

Potser abans de fer aquests exercicis, podríeu mirar la secció~\in[seccio:teoria-escala-numerica].

\startexercici[reference=exer:planols-numerica-2] Un plànol està a escala 1:10 000.
\startitemize[a,packed]
\item En el plànol, dos punts disten 4 cm. Quant disten en la realitat?
\item En la realitat, dos punts disten 3500 m. Quant disten en el plànol?
\stopitemize
\stopexercici

\startexercici[reference=exer:planols-numerica-8] Si el plànol d'aquesta casa està a escala 1:150 (figura~\in[fig:Pis-escala-inversa-2]), quina superfície té el balcó?

\startplacefigure[location=here, reference=fig:Pis-escala-inversa-2, title={Plànol del primer pis d'una propietat immobiliària (escala 1:150)}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
\bTR
\bTD
{\externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-pis2a.png][scale=600,orientation=270]}
\eTD
\eTR
\eTABLE
\stopplacefigure
\stopexercici

\startexercici[reference=exer:planols-numerica-4] La figura següent representa el plànol d'un pis dibuixat a escala 1:150 (vegeu figura~\in[fig:planol-pis]).

\startplacefigure[location=force, reference=fig:planol-pis, title={Plànol d'un pis}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
  \bTR[align=middle]
    \bTD
      \externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-mapa-pis.png][scale=1000]
    \eTD
  \eTR
\eTABLE
\stopplacefigure

\startitemize[a,packed]
\item Preneu les mides necessàries per calcular l'àrea que té.
\item Quan costarà el pis si el $\unit{square meter}$\space construït val 150 €?
\stopitemize
\stopexercici

\startexercici[reference=exer:plànol-casa] Aquest és el plànol d'una casa dibuixat a escala 1:100 (vegeu figura~\in[fig:planol-pis-2]).

\startplacefigure[location=here, reference=fig:planol-pis-2, title={Plànol d'un pis}]
  \externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-toomates-mapa-3.png][scale=800]
\stopplacefigure

\startitemize[a, packed]
\item Trobeu les dimensions de cada habitació
\item Trobeu la seva àrea
\stopitemize
\stopexercici

\startexercici[reference=exer:NY-A-B] Aquest és el plànol d'una part de la ciutat de Nova York (vegeu figura~\in[fig:pis-3-ciutat]). El plànol està a escala 1:1000.

\startplacefigure[location=here, reference=fig:pis-3-ciutat, title={Plànol de Nova York (College Point)}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
\bTR[align=middle]
\bTD
{\goto{\externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-NY-OSM.png][scale=1000]}[url(http://osm.org/go/Zc4qohcCc--?layers=Q)]}
\eTD
\eTR
\eTABLE
\stopplacefigure

Dos amics, na Catherine i en John, viuen, respectivament, als punts $A$ i $B$.
\startitemize[a,packed]
\item Trieu un itinerari per anar d'una casa a l'altra i calculeu la distància que han de recórrer.
\item Quan tardaran a arribar, aproximadament, si la recorren passejant a 3 km/h?
\stopitemize
\stopexercici


\startexercici[reference=exer:planols-numerica-3] Un xalet té forma rectangular (15 m de longitud i 10 d'amplada). Volem fer un plànol. Quina escala creieu que és la més adequada:
\startitemize[a,packed,columns]
\item 1:100
\item 10:1
\item 100:1
\item 1:10
\stopitemize

Calculeu què mesuraria el plànol verticalment i horitzontal en cada cas.
\stopexercici

\startexercici[reference=exer:planols-numerica-9] Sabem que la llargària d'aquesta casa és de 15 metres (figura~\in[fig:Pis-escala-inversa]). Podeu calcular la superfície dels dormitoris?

\startplacefigure[location=here, reference=fig:Pis-escala-inversa, title={Plànol d'un pis}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
\bTR[align=middle]
\bTD
{\externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-pis1.jpeg][scale=700]}
\eTD
\eTR
\eTABLE
\stopplacefigure

\stopexercici


\startexercici[reference=exer:Mar-Chica] Aquest mapa està a escala 1:7.500.000 (vegeu figura~\in[fig:Espanya]).

\startplacefigure[location=here, reference=fig:Espanya, title={Mapa d'Espanya i part de França}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
\bTR[align=middle]
\bTD
{\goto{\externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-Europa-Sud-OSM.png][scale=900]}[url(http://osm.org/go/b_EwJ--?layers=C)]}
\eTD
\eTR
\eTABLE
\stopplacefigure

\startitemize[a, packed]
\item Trobeu la distància de la Corunya (Galícia) a Girona (Catalunya).
\item Situeu la teva localitat en el mapa i troba a quina distància està d'Alger i de Marsella.
\item Nador és una ciutat del Marroc situada vora una preciosa albufera, \goto{{\em la Mar Chica}}[url(http://www.openstreetmap.org/way/208497086)]. Localitzeu-la prop de Melilla i trobeu la distància que hi ha entre Nador i Màlaga.
\item Trobeu dos punts al mapa amb una distància a la realitat de, com a mínim, 500 km.
\stopitemize
\stopexercici


\startexercici[reference=exer:Campos-Santanyí-inversa] Si des de Campos a Santanyí hi ha 13 km, a quina escala està aquest mapa (figura~\in[fig:planol-Campos-Santanyí])?

\startplacefigure[location=here, reference=fig:planol-Campos-Santanyí, title={Plànol de Campos a Santanyí}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
\bTR[align=middle]
\bTD
  \externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-Campos-Santanyí-OSM.png][scale=1000]
\eTD
\eTR
\eTABLE
\stopplacefigure
\stopexercici

\startexercici[reference=exer:planols-numerica-5] Aquest és el plànol d'una habitació (figura~\in[fig:pis-2]).

\startplacefigure[location=here, reference=fig:pis-2, title={Plànol d'una habitació}]
\bTABLE[frame=off]
  \bTR
    \bTD
\starttikzpicture[scale=1]

\draw[very thick, pattern=checkerboard, pattern color=orange!50!black] (0,0) -- (5,0) -- (5,4) -- (1,4) -- (1,2) -- (0,2) -- cycle;
\draw (0,1) node[anchor=east] {$2 \unit{meter}$};
\draw (1,3) node[anchor=east] {$2 \unit{meter}$};
\draw (0.5,2) node[anchor=south] {$1 \unit{meter}$};
\draw (3,4) node[anchor=south] {$4 \unit{meter}$};

\stoptikzpicture
     \eTD
   \eTR
\eTABLE
\stopplacefigure

Volem enrajolar el terra de l'habitació amb rajoles quadrades de 25 cm de costat. Si cada rajola val 1,85 € quant costaran totes les rajoles necessàries per enrajolar l'habitació?

\startitemize[a,packed]
\item Calculeu quantes rajoles es necessiten (podeu passar totes les mides a centímetres, descomposar l'habitació en rectangles i calcular la seva àrea)
\item Calculeu el preu de totes les rajoles
\item Calculeu el perímetre de l'habitació
\item Podeu calcular a quina escala està fet aquest mapa?
\stopitemize
\stopexercici



\startexercici[reference=exer:planols-numerica-6] Dos pobles, que a la realitat estan a $36 \unit{kilo meter}$ de distància, es situen en el mapa a una distància de $12 \unit{centi meter}$. A quina escala està el plànol?
\stopexercici

\startexercici[reference=exer:planols-numerica-7] Quina àrea té aquesta paret (figura~\in[fig:paret])?

\startplacefigure[location=here, reference=fig:paret, title={Una paret no rectangular}]
\bTABLE[frame=off]
  \bTR
    \bTD
\starttikzpicture[scale=1]

\draw[very thick, pattern=bricks, pattern color=green!50!black] (0,0) -- (5.8,0) -- (5.8,-3) -- (1.4,-3) -- (1.4,-2) -- (0,-2) -- cycle;
\draw (2.9,0) node[anchor=south] {$2,90 \unit{meter}$};
\draw (5.8,-1.5) node[anchor=west] {$1,50 \unit{meter}$};
\draw (3.6,-3) node[anchor=north] {$2,2 \unit{meter}$};
\draw (0,-1) node[anchor=east] {$1 \unit{meter}$};

\stoptikzpicture
     \eTD
   \eTR
\eTABLE
\stopplacefigure


\startitemize[a, packed]
\item Calculeu a quina escala està fet aquest plànol?
\item Què val la diagonal que va de l'extrem superior esquerre a l'extrem inferior dret?
\stopitemize
\stopexercici

\startexercici[reference=exer:golf-Puntiró, title={Segar la gespa}] Un empleat del \goto{golf de Puntiró}[url(http://osm.org/go/xUK62Sva)] sempre li toca segar la gespa del {\sl green} 6è (figura~\in[fig:golf-Puntiró-petit]). Un dia es demana quina superfície total sega. El podeu ajudar?

\startplacefigure[location=here, reference=fig:golf-Puntiró-petit, title={Plànol del {\sl green} sisè. Escala 1:850}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
   \bTR
     \bTD
        {\externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-golf-Puntiró-petit.png][scale=1000,orientation=270]}
     \eTD
   \eTR
 \eTABLE
\stopplacefigure

\stopexercici

\startexercici[reference=exer:plaques-solars, title={Plaques solars}] Volem estalviar-nos alguns doblers a la factura de la llum i decidim instal·lar plaques solars a la taulada de ca nostra, de la qual tenim una maqueta feta a escala 1:150 (figura~\in[fig:plànol-casa-3D]). Les plaques solars que hem triat tenen les característiques següents (figura~\in[fig:model-plaques]):

% vull una cosa així https://3dwarehouse.sketchup.com/model.html?id=7a563f5d5edfd96e754f9d651106a1db
\startplacefigure[location=here, reference=fig:plànol-casa-3D, title={Plànol de la casa en tres dimensions}]
\bTABLE[frame=off]
   \bTR
     \bTD
\starttikzpicture[line join=bevel,z=-5.5,scale=1]
% Punts de la base
\coordinate (A1) at (0,0,1);
\coordinate (A2) at (10,0,9);
\coordinate (A3) at (6,0,14);
\coordinate (A4) at (-4,0,6);
% Punts del sòtil
\coordinate (B1) at (0,4,1);
\coordinate (B2) at (10,4,9);
\coordinate (B3) at (6,4,14);
\coordinate (B4) at (-4,4,6);
% Punts de la teulada
\coordinate (C1) at (-2,6,3.5);
\coordinate (C2) at (8,6,11.5);
% Cotes
% punt mitjà de A4 i C1
%\coordinate (D1) at (-3,5,4.75);
% punt mitjà de C1 i C2
%\coordinate (D2) at (3,6,7.75);

% Dibuix les cares de la casa
\draw (A1) -- (A2) -- (A3) -- (A4) -- cycle;
\draw (B1) -- (B2) -- (B3) -- (B4) -- cycle;
\draw (A1) -- (B1);
\draw (A2) -- (B2);
\draw (A3) -- (B3);
\draw (A4) -- (B4);
\draw [fill opacity=0.7,fill=blue!30] (A4) -- (A1) -- (B1) -- (B4)-- cycle; % darrera
\draw [fill opacity=0.7,fill=blue!20] (A1) -- (A2) -- (B2) -- (B1)-- cycle; % dreta
\draw [fill opacity=0.7,fill=blue!20] (A2) -- (A3) -- (B3) -- (B2)-- cycle; % davant
\draw [fill opacity=0.7,fill=blue!20] (A3) -- (A4) -- (B4) -- (B3)-- cycle; % esquerra
% Dibuix les cares de la teulada
\draw [fill opacity=0.7,fill=yellow!20] (B1) -- (C1) -- (B4) -- cycle; % darrera
\draw [fill opacity=0.7,fill=yellow!20] (B1) -- (B2) -- (C2) -- (C1)-- cycle; % dreta
\draw [fill opacity=0.7,fill=yellow!20] (B4) -- (C1) -- (C2) -- (B3)-- cycle; % esquerra
\draw [fill opacity=0.7,fill=yellow!30] (B2) -- (B3) -- (C2) -- cycle; % davant

% Cotes
%\draw (D1) node[anchor=south east] {$3,77 \Meter$};
%\draw (D2) node[anchor=south west] {$12,81 \Meter$};

\stoptikzpicture
     \eTD
   \eTR
\eTABLE
\stopplacefigure


\startplacefigure[location=here, reference=fig:model-plaques, title={Característiques del mòdul fotovoltaic}]
\bTABLE[setups={table5:header, table5:frame, table5:style}]
  \bTABLEhead
   \bTR
     \bTH  Model \eTH
     \bTH  Mesures \eTH
     \bTH  Pes \eTH
     \bTH  Preu \eTH
   \eTR
  \eTABLEhead
  \bTABLEbody
    \bTR
      \bTD \goto{Atersa A-150P}[url(http://www.bornay.com/es/espana/productos/paneles-solares/atersa)] \eTD
      \bTD $1476 \times 659 \times 35 \unit{milli meter}$ \eTD
      \bTD 11,9 kg \eTD
      \bTD \goto{259 €}[url(http://www.teknosolar.com/placa-solar-atersa-a-150p-150w.html)] \eTD
    \eTR
  \eTABLEbody
\eTABLE
\stopplacefigure

\startitemize[a, packed]
\item Què ens costarà el muntatge?
\item Si la taulada pot suportar un total de dues tonelades, aguantarà el pes de les plaques?
\stopitemize
\stopexercici



\startexercici[reference=exer:Central-Park, title={Central Park}] Una empresa immobiliària proposa a l'ajuntament de Nova York requalificar Central Park (figura~\in[fig:Manhattan]) com a zona edificable i vendre-la-li a canvi de 1000 milions de dòlars. Acceptaríeu la proposta?

Podeu suposar que el \goto{preu de venda}[url(http://www.elblogsalmon.com/macroeconomia/la-vertiginosa-caida-del-metro-cuadrado)] del \goto{metre quadrat}[url(http://www.kienyke.com/economia/precio-del-metro-cuadrado-en-bogota-y-nueva-york-igual-de-caro/)] és de $22.000 \text{ €} \unit{per square meter}$ i que podeu fer \goto{10}[url(http://www.nytimes.com/2013/12/22/nyregion/calculating-the-number-of-windows-on-buildings-in-manhattan.html?_r=0)] pisos d'alçada \goto{[1]}[url(http://www.nyc.gov/html/dcp/html/zone/zh_r8.shtml)].

\startplacefigure[location=here, reference=fig:Manhattan, title={Plànol de Central Park, Manhattan, Nova York. Escala 1:25.000}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
\bTR[align=middle]
\bTD
{\goto{\externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-Manhattan-OSM.png][scale=1000,orientation=270]}[url(http://osm.org/go/Zc4oIjU0-?layers=H)]}
% http://osm.org/go/Zc4oIjU0-?layers=H
\eTD
\eTR
\eTABLE
\stopplacefigure

\stopexercici

\startexercici[reference=exer:golf] Durant l'estiu el golf de Son Quint (figura~\in[fig:golf-Son-Quint]) ha patit una seriosa sequera i s'han dessecat els llacs artificials, de 10 metres de profunditat. A l'hivern els responsables del golf decideixen tornar a omplir-los. Quina quantitat d'aigua necessiten?

\startplacefigure[location=here, reference=fig:golf-Son-Quint, title={Plànol del Golf de Son Quint. Escala 1:7.000}]
\bTABLE[frame=off,align=middle]
\bTR[align=middle]
\bTD
{\goto{\externalfigure[figs/proporcionalitat-geometrica-figs-Golf-Son-Quint-OSM.png][scale=1000]}[url(http://osm.org/go/xUKzgjMI?layers=H)]}
% http://osm.org/go/xUKzgjMI?layers=H
\eTD
\eTR
\eTABLE
\stopplacefigure


\stopexercici

\stopsubject

\page[yes]
\startsubject[title={Solucions}]

\startitemize[1][distance=0.5cm]
\sym{\in[exer:planols-numerica-2]} \startitemize[a, text] \item 400 \unit{meter} \item 35 \unit{centi meter} \stopitemize
\sym{\in[exer:planols-numerica-8]} Les dimensions del balcó són:

\startitemize
\item el llarg és de 7,5 \unit{centi meter} al mapa. Per tant, a la realitat fa $7,5 \cdot 150 = 1125 \unit{centi meter} = 11,25 \unit{meter}$
\item l'ample fa 1,8 \unit{centi meter} al mapa. Per tant, a la realitat fa $1,8 \cdot 150 = 270 \unit{centi meter} = 2,7 \unit{meter}$
\stopitemize

Per tant, la seva àrea és $11,25 \cdot 2,7 = 30,375 \unit{meter}$.
\sym{\in[exer:planols-numerica-4]}
\sym{\in[exer:plànol-casa]}
\sym{\in[exer:NY-A-B]}
\sym{\in[exer:planols-numerica-3]}
\sym{\in[exer:planols-numerica-9]}
\sym{\in[exer:Mar-Chica]}
\sym{\in[exer:Campos-Santanyí-inversa]} L'escala és 1:106.382
\sym{\in[exer:planols-numerica-5]}
\sym{\in[exer:planols-numerica-6]} L'escala és 1:300.000
\sym{\in[exer:planols-numerica-7]}
\sym{\in[exer:golf-Puntiró]}
\sym{\in[exer:plaques-solars]} Es podria fer, com a mínim, de dues maneres diferents: mesurar l'àrea del balcó al mapa i fer una regla de tres: si el total del mapa són $x \unit{square meter}$, aleshores l'àrea del balcó serà $Y \unit{square meter}$. O bé, trobant l'escala a la qual està feta el mapa i, mesurant només el balcó, trobar la seva àrea.


\sym{\in[exer:Central-Park]}
\sym{\in[exer:golf]}


\stopitemize

\stopsubject

\stopsection