07-probabilitat.tex

   1 % SPDX-FileCopyrightText: 2023 Xisco Sebastià, Xavier Bordoy
   2 %
   3 % SPDX-License-Identifier: CC-BY-4.0
   4
   5 \part{Probabilitat}
   6
   7 \chapter{Experiències aleatòries}
   8
   9 En aquest capítol ens ocuparem de les definicions, més o menys formals, que permeten definir el concepte de probabilitat.
  10
  11 \begin{definition}[experiència] Una \term{experiència}\index{experiència} o \term{experiment}\index{experiment} és qualsevol procediment, pràctica o simplement aconteixement en el que les regles de joc, és a dir, com s'ha de realitzar aquest, estan clares des d'un principi i en el que es mesura cert resultat final.
  12
  13 En principi existeixen variables rellevants a l'experiment i altres de negligibles.
  14 \end{definition}
  15
  16 \begin{example}\label{exemple:experiments}Exemples d'experiments serien:
  17 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
  18 \item Llançar una moneda i mirar-ne el resultat
  19
  20 En aquest experiment les variables rellevants serien, per exemple, la distribució de pesos de les cares, la forma de la moneda i el mètode de tir.
  21
  22 \item Accelerar un vehicle fins a una velocitat concreta i després frenar bruscament i mirar la distància recorreguda
  23
  24  En aquest experiment les variables rellevants seiren la velocitat just abans de frenar, el pes del vehicle, la pendent del terreny i la força de fregament.
  25
  26 \item Comptar la freqüència absoluta dels colors dels cotxes en un aparcament per a determinar el color més freqüent.
  27
  28 En aquest darrer experiment, les variables rellevants serien, per exemple, el nombre de places d'aparcament, el color dels cotxes dels possibles clients i els colors més freqüents a Espanya.
  29 \end{enumerate}
  30 \end{example}
  31
  32 \begin{definition}[experiment determinista]Un \term{experiment determinista}\index{experiment!determinista}\index{experiència!determinista} és aquell experiment la repetició del qual produeix idèntics resultats, és a dir, per al mateix valor de les variables rellevants, s'obté el mateix resultat\footnote{Tècnicament, si les condicions inicials són les mateixes, les condicions finals també ho són.}. Per tant, el resultat de l'experiment es pot conèixer abans de dur-lo a terme una vegada estudiat aquest prèviament.
  33 \end{definition}
  34
  35 \begin{definition}[experiment aleatori] Un \term{experiment aleatori}\index{experiment!aleatori}\index{experiència!aleatòria} és aquell experiment que es caracteritza per la imprevisibilitat del seu desenllaç, a pesar de què s'executi sempre amb les mateixes condicions. En general, depèn de l'atzar\footnote{Evitarem aquí disquisicions sobre si l'atzar realment existeix o bé no és res més que una situació determinista en la que no es coneixen les variables involucrades i exactament les condicions inicials d'aquestes \cite{laplace}.}.
  36 \end{definition}
  37
  38 Els experiments aleatoris tenen les característiques següents:
  39 \begin{itemize}
  40 \item En la realització de cada repetició, el seu resultat pot diferir
  41 \item Si repetim les proves calculant les seves freqüències relatives\footnote{Recordem que la freqüència relativa no és res més que la divisió entre el nombre de vegades que apareix un resultat dividit pel nombre total de proves. És el tant per u d'aparició.} de cadascun dels resultats possibles, llavors aquestes freqüències tendeixen a estabilitzar-se cap a un nombre fix, que és el que anomerarem \term{probabilitat}
  42 \end{itemize}
  43
  44 \begin{example}En l'exemple anterior, \autoref{exemple:experiments}, el llançament de la moneda seria un experiment aleatori, l'experiment de la frenada del vehicle seria un experiment determinista i l'experiment dels colors dels vehicles es consideraria un experiment aleatori.
  45 \end{example}
  46
  47 En aquesta part ens ocuparem dels experiments aleatoris.
  48
  49 \section{Espai mostral i esdeveniments}
  50
  51 \begin{definition}[espai mostral]S'anomena \term{espai mostral}\index{espai mostral} al conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori. Es sol designar per $E$ o per $\Omega$.
  52 \end{definition}
  53
  54 \begin{example}Si llançam un dau, l'espai mostral és $E=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} $. Si llançam una moneda, l'espai mostral és $E = \{ C, X \}$ (hem obviat que ens pugui sortir cantó).
  55 \end{example}
  56
  57 \begin{example}\label{exemple:bolles}En l'experiment corresponent a extreure una bolla d'una urna amb tres bolles vermelles ($V$), dues de blaves ($B$) i 4 de negres ($N$), l'espai mostral és $E = \{V, B, N\}$.
  58 \end{example}
  59
  60 Hi ha exemples d'espais mostrals més complicats.
  61 \begin{example}\label{exemple:dues-monedes-espai-m}Si llançam dues monedes l'espai mostral és%
  62 \begin{equation*}
  63 E=\left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(X,X\right) \right\}
  64 \end{equation*}
  65
  66 Recordem que la notació $(a,b)$ denota un parell ordenat. Per tant, el resultat $(C,X)$ no és el mateix que el resultat $(X, C)$. En el primer cas, voldria dir que la moneda és cara i el segona moneda ha donat creu. El segon cas és totalment el contrari.
  67
  68 Si no tenguéssim en compte l'ordre, és a dir, si per a nosaltres les monedes fossin indistingibles\footnote{Ho sigui si només {\em comptéssim} el nombre de cares i el nombre de creus.}, llavors l'espai mostral seria
  69 \begin{equation*}
  70 E=\left\{ CC ,CX, XX \right\}
  71 \end{equation*}
  72
  73 De forma intuïtiva està clar que la probabilitat de $CX$ en el segon cas seria major que la probabilitat de $(C, X)$ en el primer, ja que {\em compta doble}. Per tant, hem d'anar molt alerta de si prenem els resultats amb ordre o no.
  74 \end{example}
  75
  76 \begin{example}\label{exemple:dos-daus-em}Si llançéssim dos daus, l'espai mostral seria%
  77 \begin{equation*}
  78 E=\left\{
  79 \begin{tabular}{llllll}
  80 $\left( 1,1\right) ,$ & $\left( 1,2\right) ,$ & $\left( 1,3\right) ,$ & $%
  81 \left( 1,4\right) ,$ & $\left( 1,5\right) ,$ & $\left( 1,6\right) ,$ \\
  82 $\left( 2,1\right) ,$ & $\left( 2,2\right) ,$ & $\left( 2,3\right) ,$ & $%
  83 \left( 2,4\right) ,$ & $\left( 2,5\right) ,$ & $\left( 2,6\right) ,$ \\
  84 $\left( 3,1\right) ,$ & $\left( 3,2\right) ,$ & $\left( 3,3\right) ,$ & $%
  85 \left( 3,4\right) ,$ & $\left( 3,5\right) ,$ & $\left( 3,6\right) ,$ \\
  86 $\left( 4,1\right) ,$ & $\left( 4,2\right) ,$ & $\left( 4,3\right) ,$ & $%
  87 \left( 4,4\right) ,$ & $\left( 4,5\right) ,$ & $\left( 4,6\right) ,$ \\
  88 $\left( 5,1\right) ,$ & $\left( 5,2\right) ,$ & $\left( 5,3\right) ,$ & $%
  89 \left( 5,4\right) ,$ & $\left( 5,5\right) ,$ & $\left( 5,6\right) ,$ \\
  90 $\left( 6,1\right) ,$ & $\left( 6,2\right) ,$ & $\left( 6,3\right) ,$ & $%
  91 \left( 6,4\right) ,$ & $\left( 6,5\right) ,$ & $\left( 6,6\right) $%
  92 \end{tabular}%
  93 \right\}
  94 \end{equation*}
  95 \end{example}
  96
  97 \begin{example}\label{exemple:moneda-dau-em}En l'experiment consistent en llançar una moneda i posteriorment un dau, l'espai mostral és%
  98 \begin{equation*}
  99 E=\left\{
 100 \begin{tabular}{llllll}
 101 $\left( C,1\right) ,$ & $\left( C,2\right) ,$ & $\left( C,3\right) ,$ & $%
 102 \left( C,4\right) ,$ & $\left( C,5\right) ,$ & $\left( C,6\right) ,$ \\
 103 $\left( X,1\right) ,$ & $\left( X,2\right) ,$ & $\left( X,3\right) ,$ & $%
 104 \left( X,4\right) ,$ & $\left( X,5\right) ,$ & $\left( X,6\right) $%
 105 \end{tabular}%
 106 \right\}
 107 \end{equation*}
 108 \end{example}
 109
 110 Notem que si l'experiment consistís en tirar primer el dau i després la moneda, llavors l'espai mostral seria:
 111
 112 Si no s'especifica l'ordre amb el qual llancem les coses, l'ordre amb el qual escrivim els resultats no té importància, però una vegada decidit s'ha de mantenir al llarg de tot l'exercici.
 113
 114 \begin{exercise}Escriviu l'espai mostral corresponent als experiments següents:
 115 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 116 \item Un dau de quatre cares
 117 \item Tres monedes
 118 \end{enumerate}
 119 \end{exercise}
 120
 121 \begin{definition}[esdeveniment]S'anomena \term{esdeveniment} (o \term{succés})\index{esdeveniment}\index{succés} a qualsevol subconjunt de $E$.
 122 \end{definition}
 123
 124 \begin{example}Esbrinem els esdeveniments dels exemples anteriors:
 125 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 126 \item En l'experiment aleatori del llançament d'una moneda, tenim que els seus esdeveniments són: $\{C, X\}$, $\{ C \}$, $\{X\}$ i $\emptyset$. $\emptyset$ denota el \term{conjunt buit}\index{conjunt buit}, el qual no té cap element.
 127 \item Els esdeveniments de l'experiment consistent en llançar un dau serien $\{1\}$, $\{2\}$, \ldots, $\{1,2\}$, \ldots, $\{1,2,3\}$, \ldots, $\{3,5,6\}$, \ldots, $\{1,2,3,4,5,6\}$.
 128 \end{enumerate}
 129 \end{example}
 130
 131 \begin{exercise}\label{exercici:em-1}Escriviu tots els possibles esdeveniments corresponents als experiments següents:
 132 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 133 \item Llançar un dau de 4 cares
 134 \item Llançar dues monedes (\autoref{exemple:dues-monedes-espai-m})
 135 \item Extreure una bolla d'una urna de l'\autoref{exemple:bolles}
 136 \end{enumerate}
 137 \end{exercise}
 138
 139 \begin{exercise}\label{exercici:em-2}
 140 Escriviu quatre esdeveniments corresponents als experiments:
 141 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 142 \item Llançar dos daus (\autoref{exemple:dos-daus-em})
 143 \item Llançar una moneda i un dau (\autoref{exemple:moneda-dau-em})
 144 \end{enumerate}
 145 \end{exercise}
 146
 147 \begin{proposition}En un experiment aleatori, si el seu espai mostral $E$ és finit i té $n$ elements, llavors hi ha $2^n$ possibles esdeveniments.
 148 \end{proposition}
 149
 150 \begin{definition}[esdeveniment elemental] Un \term{esdeveniment elemental}\index{esdeveniment!elemental} és qualsevol esdeveniment que té un sol element. En cas contrari, quan l'esdeveniment tengui més d'un element, es diu \term{esdeveniment compost}\index{esdeveniment!compost}.
 151 \end{definition}
 152
 153 \begin{example}Referint-nos al llançament d'un dau de sis cares, els seus esdeveniments elementals són $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{4\}$, $\{5\}$, $\{6\}$. Esdeveniments compostos són, per exemple $\{2, 3, 6\}$ i $\{1, 5\}$ o el mateix $E$.
 154
 155 En el llançament d'una moneda, els seus esdeveniments elementals són $\{C\}$ i $\{X\}$ i els seus esdeveniments compostos són $\{C, X\}$.
 156 \end{example}
 157
 158 \begin{definition}[esdeveniment impossible]S'anomena \term{esdeveniment impossible}\index{esdeveniment!impossible} a aquell esdeveniment que mai pot ocórrer. És el conjunt buit, $\emptyset$.
 159 \end{definition}
 160
 161 \begin{definition}[esdeveniment segur]S'anomena \term{esdeveniment segur}\index{esdeveniment!segur} al que sempre es verifica. Correspon a l'espai mostral, $E$.
 162 \end{definition}
 163
 164 \begin{example}En el llan\c{c}ament de dues monedes l'esdeveniment segur és%
 165 \begin{equation*}
 166 \left\{ \left( C,C\right) ,\left( C,X\right) ,\left( X,C\right) ,\left(
 167 X,X\right) \right\}
 168 \end{equation*}%
 169 \end{example}
 170
 171 \begin{exercise}Trobeu els esdeveniments segurs i impossibles dels exercicis \autoref{exercici:em-1} i \autoref{exercici:em-2}.
 172 \end{exercise}
 173
 174 \section{Operacions amb esdeveniments}
 175
 176 \begin{definition}[unió d'esdeveniments]La \term{unió}\index{unió d'esdeveniments} de dos esdeveniments, $A$ i $B$, és aquell esdeveniment, denotat per $A\cup B$, format per cada element que hi ha en $A$ o en $B$.
 177 \end{definition}
 178
 179 Co\lgem{oquialment}, la unió de dos esdeveniments és aquell esdeveniment que ocorre quan ocorre, al menys, un dels dos. De la definició és veu que $A\cup B$ és el mateix que $B\cup A$. Gràficament, aquest concepte es pot representar mitjançant un \term{diagrama de Venn}\index{diagrama!de Venn} (veure \autoref{fig:operacions-conjunts-unio}).
 180
 181 \begin{figure}[h!]
 182     \centering
 183
 184         \def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
 185         \def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
 186
 187         \colorlet{circle edge}{blue!50}
 188         \colorlet{circle area}{blue!20}
 189
 190         \tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
 191             outline/.style={draw=circle edge, thick}}
 192
 193         \tikzset{filled2/.style={fill=white, draw=black, thick},
 194             outline/.style={draw=black, thick}}
 195
 196     \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
 197     % Generat amb TikZ
 198     % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
 199         \begin{tikzpicture}
 200             \draw[filled] \firstcircle node {$A$} \secondcircle node {$B$};
 201             \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cup B$};
 202             \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
 203             \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
 204         \end{tikzpicture}
 205         \caption{Unió de dos esdeveniments}
 206         \label{fig:operacions-conjunts-unio}
 207     \end{subfigure}
 208
 209     \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
 210     % Generat amb TikZ
 211     % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
 212         \begin{tikzpicture}
 213             \begin{scope}
 214                 \clip \firstcircle;
 215                 \fill[filled] \secondcircle;
 216             \end{scope}
 217             \draw[outline] \firstcircle node {$A$};
 218             \draw[outline] \secondcircle node {$B$};
 219             \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \cap B$};
 220             \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
 221             \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
 222         \end{tikzpicture}
 223         \caption{Intersecció de dos esdeveniments}
 224         \label{fig:operacions-conjunts-interseccio}
 225     \end{subfigure}
 226
 227     \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
 228     % Generat amb TikZ
 229     % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
 230         \begin{tikzpicture}
 231            \begin{scope}
 232                 \clip \secondcircle;
 233                 \draw[filled, even odd rule] \firstcircle
 234                                              \secondcircle node {$B$};
 235             \end{scope}
 236             \draw[outline] \firstcircle node {$A$}
 237                            \secondcircle;
 238             \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$B - A$};
 239             \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
 240             \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
 241         \end{tikzpicture}
 242         \caption{Diferència de dos esdeveniments}
 243         \label{fig:operacions-conjunts-resta}
 244     \end{subfigure}
 245
 246     \begin{subfigure}[b]{0.5\textwidth}
 247     % Generat amb TikZ
 248     % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
 249         \begin{tikzpicture}
 250
 251             \draw[fill=blue!20] (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
 252             \draw (4,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
 253             \draw[filled2] \firstcircle node {$A$};
 254             \node[anchor=south] at (0,1.5) {$A^c$};
 255         \end{tikzpicture}
 256         \caption{Complementari d'un esdeveniment}
 257         \label{fig:operacions-conjunts-complementari}
 258     \end{subfigure}
 259
 260
 261     \caption{Operacions entre esdeveniments representats mitjançant diagrames de Venn}
 262     \label{fig:operacions-conjunts}
 263 \end{figure}
 264
 265
 266 \begin{definition}[intersecció d'esdeveniments]La \term{intersecció}\index{intersecció d'esdeveniments} de dos esdeveniments, $A$ i $B$, és aquell esdeveniment, denotat per $A\cap B$, format per aquells elements que estan simultàniament a $A$ i a $B$. Dos esdeveniments són \term{incompatibles}\index{esdeveniments!incompatibles} si la seva intersecció és el conjunt buit. En cas contrari, es diu que són \term{compatibles}\index{esdeveniments!compatibles}.
 267 \end{definition}
 268
 269 De manera informal, l'esdeveniment intersecció de dos esdeveniment és aquell que ocorre quan ocorren ambdós. De la definició es veu que $A\cap B$ és el mateix que $B\cap A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-interseccio}).
 270
 271 \begin{definition}[esdeveniment contrari]Donat un esdeveniment $A$, el seu \term{esdeveniment contrari} o \term{complementari}\index{esdeveniment!contrari}\index{esdeveniment!complementari}, que es denota per $A^c$ o $\overline{A}$, és l'esdeveniment format per tots els elements de l'espai mostral que no són de $A$. És a dir, l'esdeveniment contrari de $A$ es verifica quan no ocorre $A$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-complementari}).
 272 \end{definition}
 273
 274 \begin{definition}[diferència d'esdeveniments]Donats dos esdeveniments, $A$ i $B$, la \term{diferència} entre $A$ i $B$, que es denota per $A \setminus B$ (o $A - B$), és l'esdeveniment format pels elements de $A$ que no estan en $B$ (\autoref{fig:operacions-conjunts-resta}).
 275 \end{definition}
 276
 277 \begin{claim}De forma general, existeix una connexió entre les operacions entre conjunts i els operadors lògics presents a les expressions: d'aquesta manera, la unió correspondria a la "o", la intersecció a la "i" i el complementari a "no". Així, si definim $M$ com el conjunt de persones motoristes i $U$ les persones que duen ulleres. Tenim que hi ha una correspondència entre aquestes frases i les operacions entre conjunts següents:
 278 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 279 \item seleccionar una persona motorista o amb ulleres $\leftrightarrow$ $M \cup U$
 280 \item seleccionar una persona motorista i amb ulleres $\leftrightarrow$ $M \cap U$
 281 \item seleccionar una persona que no sigui motorista $\leftrightarrow$ $M^c$
 282 \end{enumerate}
 283 \end{claim}
 284
 285 \begin{example}En l'experiment de llançar un dau i mirar el resultat, tenim que $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Si agafam $A =$ que surti parell i $B =$ que surti un nombre menor que 5, tenim que:
 286 \begin{itemize}
 287 \item $A \cup B$ = que surti parell o menor que 5 = $\{2,4,6\} \cup \{1,2,3,4\}$ = $\{1,2,3,4,6\}$. Per tant, $A \cup B = \{1,2,3,4,6\}$.
 288 \item $A \cap B$ = que surti parell i menor que 5 = $\{2,4,6\} \cap \{1,2,3,4\}$ = $\{2,4\}$. Per tant, $A \cap B = \{2, 4\}$.
 289 \item $A \setminus B$ = $\{6\}$
 290 \item $B \setminus A$ = $\{1,2\}$
 291 \item $A^c$ = el contrari de què surti parell = $\{1,3,5\}$
 292 \item $B^c$ = el contrari de què surti un nombre menor que 5 = $\{5, 6\}$
 293 \end{itemize}
 294 \end{example}
 295
 296 \subsection{Propietats de les operacions}
 297
 298 Les operacions sobre el conjunt d'esdeveniments anteriorment descrites satisfan certes propietats. Si $A$, $B$ i $C$ són esdeveniments qualssevol i $E$ denota l'espai mostral, aleshores:
 299 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 300 \item $A \cup E =E$; $A \cup \emptyset = A$; $A \cup A^c = E$
 301 \item $A \cap E =A$; $A \cap \emptyset = \emptyset$; $A \cap A^c = \emptyset$
 302 \item $A \setminus B = A \cap B^c$
 303 \item $(A \setminus B) \cup (A \cap B) \cup (B \setminus A) = A \cup B$
 304 \item Idempotència: $\left(A^c\right)^c = A$
 305 \item Commutatives:
 306 \begin{enumerate}
 307 \item $A \cup B = B \cup A$
 308 \item $A \cap B = B \cap A$
 309 \end{enumerate}
 310 \item Associatives:
 311 \begin{enumerate}
 312 \item $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
 313 \item $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
 314 \end{enumerate}
 315 \item Distributives:
 316 \begin{enumerate}
 317 \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
 318 \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
 319 \end{enumerate}
 320
 321 En particular:
 322 \begin{itemize}
 323 \item $A\cup \left( A\cap B\right) =A$
 324 \item $A\cap \left( A\cup B\right) =A$
 325 \end{itemize}
 326
 327 \item \term{Lleis de De Morgan}\index{lleis!de De Morgan}
 328 \begin{enumerate}
 329 \item $\left( A\cup B\right) ^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
 330 \item $\left( A\cap B\right) ^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
 331 \end{enumerate}
 332 \end{enumerate}
 333
 334 \begin{claim}Les més importants són les propietats distributives i les lleis de De Morgan.
 335 \end{claim}
 336
 337 \begin{exercise}Es disposa d'una urna amb bolles numerades de l'1 al 16, de la qual s'extreu una bolla. Considerem els esdeveniments següents:
 338 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 339 \item $A$ = treure un 7
 340 \item $B$ = treure un nombre menor que 7
 341 \item $C$ = treure un nombre parell
 342 \item $D$ = treure un múltiple de 3
 343 \end{enumerate}
 344 Calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\Omega$, \item $A \cap B$, \item $A \cup B$, \item $B \cap C$, \item $C \cap D$, \item $C \cup D$, \item $B^c$, \item $A\setminus B$, $B \setminus A$ \end{enumerate*}. Existeixen esdeveniments incompatibles entre si?
 345 \end{exercise}
 346
 347 \begin{exercise} Es llança una ruleta de 10 costats, numerats de la següent manera: 2, 4, 6, 8, \ldots, 20, i s'observa el resultat obtingut.
 348 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 349 \item Trobeu l'espai mostral.
 350 \item Escriviu com a conjunts els esdeveniments següents:
 351 \begin{enumerate}
 352 \item $A$ = ``obtenir un nombre parell''
 353 \item $B$ = ``obtenir un nombre senar''
 354 \item $C$ = ``obtenir un múltiple de 3''
 355 \item $D$ = ``obtenir un múltiple de 5''
 356 \item $E$ = ``obtenir un nombre major que 4''
 357 \item $F$ = ``obtenir un nombre menor que 6''
 358 \item $G$ = ``obtenir un múltiple de 3 i 4''
 359 \end{enumerate}
 360 \item Calculeu els seus esdeveniments contraris.
 361 \item Trobeu la unió, la intersecció i la diferència d'$A$ amb cadascun dels altres esdeveniments.
 362 \item Assenyaleu un parell d'esdeveniments incompatibles entre si. Justifiqueu la resposta.
 363
 364 \end{enumerate}
 365 \end{exercise}
 366
 367 \begin{exercise}Aplicant les propietats anteriors, demostreu que:
 368 \begin{multicols}{2}
 369 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 370 \item $A \cap (A \cap B) = A \cap B$
 371 \item $A \cup (B \setminus A) = A \cup B$
 372 \item $(A \setminus B) \cap B = \emptyset$
 373 \item $(A^c \cap B) \cup A = A \cup B$
 374 \item $(A \cup B^c) \cap B = A \cap B$
 375 \item $\left( \left( A \setminus B \right) \cup \left( B \setminus A \right) \right)^c = A \cap B$
 376 \end{enumerate}
 377 \end{multicols}
 378 \end{exercise}
 379
 380 \begin{example}\label{exemple:js-probabilitat-1}D'entre els habitants d'un poble es tria una persona a l'atzar. Considerem els esdeveniments següents: $A$ = ser soci del casino, $B$ = ser soci del club de futbol local i $C$ ser soci d'alguna associació juvenil.
 381 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 382 \item Expresseu en funció de $A$, $B$ i $C$ les situacions següents:
 383 \begin{enumerate}
 384 \item ``ser soci d'alguna d'aquestes associacions'': $A \cup B \cup C$
 385 \item ``ser soci de les tres associacions'': $A \cap B \cap C$
 386 \item ``ser soci només del casino'': $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$
 387 \item ``ser soci de, com a màxim, una o dues associacions: $A \cup B \cup C - (A \cap B \cap C)$
 388 \item ``no ser soci de cap de les associacions'': $\overline{\left(A \cap B \cap C\right)} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$
 389 \item ``ser soci d'una sola associació'': $(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap B \cap \overline{C}) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)$
 390 \end{enumerate}
 391 \item Expresseu el significat dels esdeveniments següents:
 392 \begin{enumerate}
 393 \item $A \cup B \cup C$: ``pertànyer a, almenys, ua associació''
 394 \item $\overline{\left( A \cup B \cup C\right)}$: ``no ser soci de cap associació''
 395 \item $A \cup B - C$: ``no ser soci de juvenil però sí d'alguna de les altres dues''
 396 \item $\overline{\left( A \cap B \cap C\right)}$: ``no ser soci de les tres alhora''
 397 \item $C - (A \cup B)$: ``ser soci, només, de l'associació juvenil''
 398 \item $(A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$: ``ser soci de, almenys, dues associacions''
 399 \end{enumerate}
 400 \end{enumerate}
 401
 402 Per ajudar-nos a resoldre cadascun dels apartats, hem fet servir el diagrama de Venn de tres esdeveniments (\autoref{fig:diagrama-venn-de-tres}).
 403 \end{example}
 404
 405 \begin{figure}[h!]
 406     \centering
 407     % From http://www.texample.net/tikz/examples/venn/
 408         % A Venn diagram with PDF blending
 409         % Author: Stefan Kottwitz
 410         % https://www.packtpub.com/hardware-and-creative/latex-cookbook
 411         \begin{tikzpicture}
 412           \begin{scope}[blend group = soft light]
 413             \fill[red!30!white]   ( 90:1.2) circle (2);
 414             \fill[green!30!white] (210:1.2) circle (2);
 415             \fill[blue!30!white]  (330:1.2) circle (2);
 416           \end{scope}
 417           \node at ( 90:2)    {$A$};
 418           \node at ( 210:2)   {$B$};
 419           \node at ( 330:2)   {$C$};
 420           \draw (-4,-3) -- (-4,4) -- (4,4) --(4,-3) -- cycle;
 421           \draw (4,-3) node[anchor=south east] {$\Omega$};
 422         \end{tikzpicture}
 423     \caption{Diagrama de Venn de tres esdeveniments}
 424     \label{fig:diagrama-venn-de-tres}
 425 \end{figure}
 426
 427
 428 \begin{exercise}\label{exer:js-probabilitat-1}Siguin els esdeveniments següents: $A$ = ``plou avui'', $B$ = ``plou demà'' i $C$ = ``plou passat-demà''. Expresseu mitjançant operacions entre esdeveniments:
 429 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 430 \item Plou un dels tres dies, almenys
 431 \item Plou avui però no demà ni passat-demà
 432 \item No plou cap dels tres dies
 433 \item Plou com a màxim dos d'aquests tres dies
 434 \item Plou avui però no demà
 435 \end{enumerate}
 436 Expliqueu el significat de
 437 \begin{multicols}{2}
 438 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 439 \item $( A \cap B) - C$
 440 \item $(A \cup B) - C$
 441 \item $ A \cup B \cup \overline{C}$
 442 \item $\left( A \cap B \right) \cup \left( C \cap A \right)$
 443 \item $\overline{A \cup B}$
 444 \end{enumerate}
 445 \end{multicols}
 446 \end{exercise}
 447
 448 \begin{exercise}\label{exer:js-probabilitat-2}Considerem els esdeveniments ``ser oient de RNE'', ``set oient de la SER'', ``ser oient de M80''. Expreseu, mitjançant operacions amb esdeveniments, els esdeveniments següents: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item ``ser oient de només dues emissores'', \item ``ser oient de RNE però no de la SER ni de M80'', \item ``ser oient de, almenys, una emissora'', \item `escoltar alguna emissora però no les tres'', \item ``no escoltar més d'una emissora'' \end{enumerate*}
 449 \end{exercise}
 450
 451 \chapter{Probabilitat}
 452
 453 La probabilitat és la mesura de la certesa de què ocorri un cert esdeveniment aleatori, és a dir, la probabilitat mesura la {\em facilitat} de què l'esdeveniment tengui lloc: a major probabilitat, majors són les possibilitats de què l'esdeveniment ocorri. A cada esdeveniment se li associa un nombre, de $0$ a $1$:
 454 \begin{itemize}
 455 \item Si la probabilitat d'un esdeveniment és $0$, llavors és impossible que occorri dit esdeveniment
 456 \item Si la probabilitat és $1$, llavors l'esdeveniment és segur que passarà, en qualsevol cas
 457 \item En els altres casos, el valor de la probabilitat indica el tant per u de possibilitats de què l'esdeveniment ocorri.
 458 \end{itemize}
 459
 460 De manera més formal,
 461
 462 \begin{definition}[probabilitat]La \term{probabilitat}\index{probabilitat} és una aplicació que associa a cada esdeveniment $A$ un nombre, $p(A)$, anomenat la probabilitat de $A$, que satisfà les propietats següents:
 463
 464 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 465 \item $p(A)\geq 0$ per a qualsevol esdeveniment $A$. És a dir, la
 466 probabilitat d'un esdeveniment qualsevol no pot ser negativa.
 467
 468 \item $p(E)=1$. La probabilitat de l'esdeveniment segur és $1$.
 469
 470 \item $p(\emptyset) = 0$. La probabilitat de l'esdeveniment impossible és $0$.
 471
 472 \item Si $A$ i $B$ són esdeveniments incompatibles, llavors $p(A\cup B)=p(A)+p(B)$.\footnote{La definició axiomàtica de la probabilitat s'escapa de l'abast d'aquest manual. Conceptes com el de $\sigma$-àlgebra i $\sigma$-additivitat són necessaris per introduir-la. Els fonaments formals de la probabilitat es deuen, principalment, a Andrei Kolmogórov.}
 473
 474 \end{enumerate}
 475 \end{definition}
 476
 477 \section{Propietats de la probabilitat}\label{seccio:propietat-de-la-probabilitat}
 478
 479 La definició anterior, té una sèrie de conseqüències: si $A$ és un esdeveniment qualsevol, llavors:
 480 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 481 \item $p(A^{c})=1-p(A)$
 482
 483 \item Si $A$ és un subconjunt de $B$, llavors $p(A) \leq p(B)$
 484
 485 \item $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$
 486
 487 \item $p(A \setminus B) = p(A) - p(A \cap B)$ \footnote{Es pot demostrar de manera senzilla aquest fet: sabem que $(A \setminus B) \cap (A \cap B) = \emptyset$ i $(A \setminus B) \cup (A \cap B) = A$. Aplicant la propietat anterior per $A \setminus B$ i $A \cap B$, tenim que $p(A) = p((A \setminus B) \cap (A \cap B)) = p(A \setminus B) + p(A \cap B) - p(\emptyset)$. Pel que $p(A) = p(A\setminus B) + p(A \cap B)$.}
 488 \end{enumerate}
 489
 490 Amb aquestes propietats podem trobar probabilitats de certs esdeveniments, encara no coneguem quin és l'experiment aleatori que s'ha realitzat, ni fins i tot el seu espai mostral.
 491
 492 \bigskip
 493 \begin{example}Donats els esdeveniments $A$ i $B$, i les probabilitats $p(A)=0.1$, $p(B)=0.2$ i $p(A\cup B)=0.25$, calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $p(A^{c})$ \item $p(A\cap B)$ \end{enumerate*}.
 494
 495 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 496 \item Tenim que $p(A^{c}) = 1-p(A) = 1-0.1 = 0.9$
 497 \item Aplicant la probabilitat de la unió: $0.25=0.1+0.2-p(A\cap B)$. Per tant, $p(A\cap B)=0.1+0.2-0.25=0.05$.
 498 \end{enumerate}
 499
 500 \end{example}
 501
 502 \begin{exercise}\label{exercici:js-prob-simple-2}Si sabem que la probabilitat dels esdeveniments $A$, $B$ i $A \cap B$ és $p(A) = 1/3$, $p(B) = 2/5$ i $p(A \cap B) = 1/15$, trobeu les probabilitats de: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item que es compleixi algun dels esdeveniments $A$ o $B$ \item que no es compleixi $A$ però sí $B$, \item que es compleixi, només, un esdeveniment \item que no es compleixi ni $A$ ni $B$ \end{enumerate*}
 503
 504 \begin{solution*}
 505 \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $2/3$, \item $1/3$, \item $3/5$, \item $1/3$\end{enumerate*}
 506 \end{solution*}
 507 \end{exercise}
 508
 509 \begin{exercise}\label{exercici:js-prob-simple-3}En un banc hi ha dues alarmes, $A$ i $B$. En cas d'atracament, la probabilitat de què s'activi $A$, $B$ o ambdues és: $p(A) = 0,75$, $p(B) = 0,85$ i $p(A \cap B) = 0,65$. Trobeu la probabilitat de què: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item se n'activi alguna de les dues \item s'activi només una \item no se n'activi cap\end{enumerate*}
 510 \end{exercise}
 511
 512 \begin{exercise}Determineu si són compatibles o incompatibles els esdeveniments $A$ i $B$, sabent que $p(A)=1/4$, $p(B)=1/2$ i $p(A\cup B)=2/3$.
 513 \end{exercise}
 514
 515 \begin{exercise}Dels esdeveniments $A$ i $B$ se sap que $p(A)=2/5$, $p(B)=1/3$ i $p(A^{c}\cap B^{c})=1/3$. Calculeu $p(A\cup B)$ i $p(A\cap B)$.
 516 \end{exercise}
 517
 518 \section{Regla de Laplace}
 519
 520 La \term{regla de Laplace}\index{regla!de Laplace} permet calcular la probabilitat d'un experiments si els esdeveniments elementals que el formen tenen tots la mateixa probabilitat. En altres paraules, si no hi ha cap biax. En aquest cas, la probabilitat que ocorri un esdeveniment $A$ és:
 521 \begin{equation*}
 522 p(A) =\frac{\text{nombre de casos favorables a } A}{\text{nombre de casos possibles}},
 523 \end{equation*}%
 524
 525 \begin{example}[aplicació de la regla de Laplace]Una urna conté $5$ bolles blanques,  $7$ bolles negres i $3$ bolles verdes. Se n'extreu una a l'atzar. Quina és la probabilitat de què aquesta sigui negra?
 526
 527 Tenim que la probabilitat de treure una bolla concreta és la mateixa (les bolles no estan trucades), per tant podem aplicar la llei de Laplace:
 528 \begin{equation*}
 529 p(\text{negra}) = \frac{\text{ nombre de bolles negres} }{\text{nombre
 530 total de bolles}} = \frac{7}{15}
 531 \end{equation*}
 532 \end{example}
 533
 534 \begin{example}[aplicació de la regla de Laplace]D'un joc de cartes espanyoles en triam una a l'atzar\footnote{A la baralla espanyola, hi ha $48$ cartes: $12$ cartes de bastos, $12$ d'ors, $12$ d'espases i $12$ de copes. El $10$ s'anomena {\em sota}, l'$11$ s'anomena {\em cavall} i el $12$, {\em rei}. El conjunt de sotes, cavalls i reis s'anomenen {\em figures}.}. Quina és la probabilitat de què aquesta sigui una figura, és a dir un $10$, un $11$ o un $12$?
 535
 536 Treure una carta és un esdeveniment equiprobable, per tant podem aplicar la llei de Laplace:%
 537 \begin{equation*}
 538 p(\text{figura}) = \frac{12}{48}=\frac{1}{4}
 539 \end{equation*}
 540 \end{example}
 541
 542 \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-1}En el llançament d'un dau, calculeu la probabilitat de què:
 543 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 544 \item surti un cinc,
 545 \item surti un nombre parell,
 546 \item no surti un nombre parell,
 547 \item surti múltiple de $3$.
 548 \end{enumerate}
 549 \end{exercise}
 550
 551 \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-2}A una oficina, un $30\%$ del personal duen ulleres. Es tria una persona a l'atzar. Calculeu la probabilitat de què aquesta no dugui ulleres.
 552 \end{exercise}
 553
 554 \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-3} En l'experiment consistent a treure una carta d’una baralla espanyola de 48 cartes, calculeu la probabilitat que sigui:
 555 \begin{multicols}{3}
 556 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 557 \item Sota
 558 \item Bastos o copes
 559 \item Bastos i copes
 560 \item Figura i oros
 561 \item Figura o oros
 562 \item Cavall o copes
 563 \end{enumerate}
 564 \end{multicols}
 565 \end{exercise}
 566
 567 \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-4} En una bossa hi ha 5 bolles vermelles, 10 bolles negres i 5 bolles blaves. En treiem una i miram de quin color és. Calculeu la probabilitat de:
 568 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 569 \item Treure una bolla vermella
 570 \item Treure una bolla negra o blava
 571 \item Treure una bolla que no sigui blava.
 572 \end{enumerate}
 573 \end{exercise}
 574
 575 \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-5}En una bossa hi ha 25 bolles numerades de la manera següent: 5, 7, 9, 11, \ldots, 55. S'extreu una bolla a l'atzar i se n'observa el seu nombre. Calculeu la probabilitat de:
 576 \begin{multicols}{2}
 577 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 578 \item Treure un mombre que acabi en 5
 579 \item Treure un nombre menor que 17
 580 \item Treure un nombre parell
 581 \item Treure un múltiple de 3
 582 \item Treure un nombre primer
 583 \end{enumerate}
 584 \end{multicols}
 585 \end{exercise}
 586
 587 \begin{exercise}\label{exercici:probabilitat-simple-6}En una capsa hi ha vuit bolles numerades consecutivament com segueix: 2, 4, 6, \ldots, 16. Si diem $A =$ ``treure un nombre menor o igual que 10'' i $B =$ ``treure un múltiple de 3''. Calculeu la probabilitat de: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $A$ \item $B$ \item $A^c$ \item $B^c$ \item $A \cup B$ \item $A \cap B$ \end{enumerate*}
 588 \end{exercise}
 589
 590
 591 \begin{solution*}
 592 \begin{enumerate*}
 593 \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1/6$, \item $1/2$, \item $1/2$, \item $1/3$ \end{enumerate*}, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-2}] $0.7$, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-3}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $4/48$, \item $1/2$, \item $0$, \item $3/48$, \item $21/48$, \item $15/48$ \end{enumerate*}, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-4}]  \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1/4$, \item $3/4$ \item $3/4$ \end{enumerate*}, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-5}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,2$, \item $0,24$, \item $0$, \item $0,32$, \item $0,56$ \end{enumerate*}, \item[Exercici~\ref{exercici:probabilitat-simple-6}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0.625$, \item $0.25$, \item $0.375$, \item $0.75$, \item $0.75$, \item $0.125$ \end{enumerate*}
 594 \end{enumerate*}
 595 \end{solution*}
 596
 597 \begin{exercise}\label{exercici:js-prob-simple-1}En el llançament de dos daus, trobeu la probabilitat de què \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item ambdues cares sigui parells, \item la suma de les cares sigui 9\end{enumerate*}
 598 \end{exercise}
 599
 600
 601 \section{Probabilitat condicionada}
 602
 603 En molts de casos, la probabilitat depèn d'un factor. Per exemple, la probabilitat de què una persona sigui calba és relativament baixa. Ara bé, la probabilitat de què un home sigui calb ja és més alta. Per tant, la probabilitat de ser calb depèn del sexe de les persones. D'aquesta manera podem calcular la probabilitat de ser calb o bé la probabilitat de ser calb condicionat a ser home. Això darrer vol dir que sabent que triam un home, quina és la probabilitat de què aquest sigui calb.
 604
 605
 606 \begin{definition}[probabilitat condicionada]Donats els esdeveniments $A$ i $B$, per \term{probabilitat de $A$ condicionat a $B$}\index{probabilitat!condicionada}\index{probabilitat!de $A$ condicionat a $B$} entendrem la probabilitat de què es verifiqui l'esdeveniment $A$ si prèviament s'ha verificat l'esdeveniment $B$. S'escriu $p\left( A \mid B\right) $ i es calcula com%
 607 \begin{equation*}
 608 p\left( A \mid B\right) =\frac{p\left( A\cap B\right) }{p\left( B\right) },
 609 \end{equation*}
 610 amb $p(B) \neq 0$.
 611 \end{definition}
 612
 613 \subsection{Propietats de la probabilitat condicionada}
 614
 615 Si $A$ i $B$ són esdeveniments qualssevol, llavors:
 616 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 617 \item $p(B \mid A) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}$, si $p(A) \neq 0$.
 618 \item $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B \mid A) = p(B) \cdot p(A \mid B)$
 619 \item Dos esdeveniments són \term{independents}\index{esdeveniments!independents} quan $p(A\mid B) = p(A)$. En aquest cas, $p(A \cap B) = p(A) \cdot p(B)$
 620
 621 \begin{proposition}Si $A$ i $B$ són independents, llavors també ho són $A^c$ i $B^c$
 622 \end{proposition}
 623
 624 \end{enumerate}
 625
 626
 627 \begin{example}[probabilitat condicionada]\label{exemple-prob-condicionada}En una bossa tenim:
 628 \begin{itemize}
 629 \item tres bolles verdes, numerades de l'$1$ al $3$,
 630 \item quatre bolles vermelles, numerades del $4$ al $7$,
 631 \item una bolla negra, amb el nombre $8$.
 632 \end{itemize}
 633 de la qual extraiem una bolla. Calculeu $p(\text{parell}|\text{verda})$, $p(\text{parell}|\text{vermella})$ i $p(\text{parell}|\text{negra})$.
 634
 635 Hem de calcular les probabilitats condicionades següents:
 636 \begin{eqnarray*}
 637 p(\text{parell} \mid \text{verda}) &=&\frac{p(\text{parell} \cap \text{verda})}{p(\text{verda})}=\frac{1/8}{3/8}=\frac{1}{3} \\
 638 p(\text{parell}\mid \text{vermella}) &=&\frac{p(\text{parell} \cap \text{vermella})}{p(\text{vermella})}=\frac{2/8}{4/8}=\frac{1}{2} \\
 639 p(\text{parell} \mid \text{negra}) &=&\frac{p(\text{parell} \cap \text{negra})}{p(\text{negra})}=\frac{1/8}{1/8}=1
 640 \end{eqnarray*}
 641 \end{example}
 642
 643 \begin{exercise}D'un joc de cartes se'n treu una a l'atzar. Calculeu la probabilitat de què la carta extreta:
 644
 645 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 646 \item sigui un rei,
 647 \item sigui una figura,
 648 \item sigui el rei d'espases,
 649 \item sigui un rei sabent que ha sortit una figura,
 650 \item sigui una figura sabent que ha sortit un rei,
 651 \item sigui el rei d'espases sabent que ha sortit una figura.
 652 \end{enumerate}
 653 \end{exercise}
 654
 655 \begin{exercise}En una urna hi ha deu bolles: tres de verdes, enumerades amb els nombres $1$, $2$ i $3$; cinc de blanques, enumerades amb els nombres $4$, $5$, $6$, $7$, $8$; i dues de negres, enumerades amb els nombres $9$ i $10$. S'extreu una bolla a l'atzar de l'urna i es mira el color i el seu nombre. Es defineixen els esdeveniments següents:
 656 \begin{itemize}
 657 \item $P$ treure una bolla amb un nombre parell
 658 \item $C$ treure una bolla amb un nombre menor o igual que $5$
 659 \item $V$ treure una bolla verda
 660 \item $N$ treure una bolla negra
 661 \end{itemize}
 662 Trobeu les probabilitats següents:
 663 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 664 \item $p(P)$, $p(C)$, $p(V)$, $p(N)$
 665 \item $p(P \cap V)$, $p(N^c)$, $p(C \cup N)$
 666 \item $p(P \mid V)$, $p(V \mid P)$
 667 \item $p(C \mid N)$, $p(N \mid C)$
 668 \item $p(C \mid (P \cap N))$
 669 \end{enumerate}
 670 \end{exercise}
 671
 672 \begin{example}
 673 A l'exemple anterior (\autoref{exemple-prob-condicionada}), els esdeveniments ``parell'' i ``vermella'' són independents, ja que%
 674 \begin{equation*}
 675 p(\text{parell} \mid \text{vermella})=p(\text{parell})=\frac{1}{2}
 676 \end{equation*}
 677 \end{example}
 678
 679
 680 \begin{example}\label{exemple:enquesta-tauleta-portatil}Una enquesta ha revelat que el 40\% dels habitants d'una regió disposen de tauleta tàctil; el 20\% disposa d'un portàtil; i un 5\% disposa d'ambdós mitjans.
 681 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 682 \item Quina probabilitat hi ha que un individu, triat a l'atzar i que duu un portàtil davall el braç, tengui també una tauleta?
 683 \item I si duu una tauleta, quina és la probabilitat que tengui portàtil?
 684 \item Quin percentatge de les persones no té tauleta però disposa d'un portàtil?
 685 \end{enumerate}
 686
 687
 688 \begin{solution*}
 689 Si notem per $T$ l'esdeveniment ``disposar d'una tauleta tàctil'' i per $P$ l'esdeveniment ``diposar d'un portàtil'', llavors tenim que $p(T) = 0,40$, $p(P)=0,20$ i $p(T \cap P) = 0,05$.
 690
 691 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 692 \item Hem de calcular $p(T \mid P) = \frac{p(T \cap P)}{p(P)} = \frac{0,05}{0,2} = \frac{1}{4}$
 693 \item En aquest cas, $p(P \mid T) = \frac{p(P \cap T)}{p(T)} = \frac{0,05}{0,4} = \frac{1}{8}$
 694 \item Volem saber $p(T^c \cap P) = p(P \setminus T)$. Per les propietats de la probabilitat (vegeu \autoref{seccio:propietat-de-la-probabilitat}), això és igual a $p(P) - P(P \cap T) = 0,2 - 0,05 = 0,15$.
 695 \end{enumerate}
 696 \end{solution*}
 697 \end{example}
 698
 699 Aquest exemple també es pot resoldre usant taules de contingència (vegeu \autoref{seccio:taules-de-contingencia})
 700
 701
 702 \section{Experiments compostos: tècniques de resolució}
 703
 704 \begin{definition}[experiment compost]Un experiment es diu \term{compost}\index{experiment!compost} si està format per més d'una part, la qual dóna lloc a un resultat. Si l'experiment només té una part es diu \term{experiment simple}\index{experiment!simple}.
 705 \end{definition}
 706
 707 Fins ara només hem vist experiments simples.
 708
 709 \begin{example}[exemple d'experiments compostos]Exemple d'experiment compost és:
 710 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 711 \item Tirar dos daus
 712 \item Extreure dues (o més) bolles d'una urna, amb o sense reposició (la reposició és si tornam la bolla extreta a l'urna).
 713 \item Extreure una bolla d'una urna i, segons el color de la bolla, extreure'n una altra d'una altra.
 714 \end{enumerate}
 715 \end{example}
 716
 717 Existeixen diverses tècniques per a calcular les probabilitats dels experiments compostos, les quals de forma general podem emprar indistintament. El millor és veure'ls amb exemples.
 718
 719 \subsection{Diagrama d'arbre}
 720
 721 \begin{example}\label{exercici-Javier-Sanchez-clauers}A una casa hi ha tres clauers, $A$, $B$ i $C$ amb $5$, $7$ i $8$ claus respectivament, de les quals només una de cada clauer obri la porta del rebost. Es tria un clauer a l'atzar i, d'aquest, una clau per intentar obrir el rebost.
 722 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 723 \item Quina és la probabilitat d'obrir el rebost?
 724 \item Quina és la probabilitat de què es triï el tercer clauer i la que la clau triada no obri el rebost?
 725 \item Quina és la probabilitat de què s'hagi triat el clauer $C$ sabent que s'ha obert el rebost?
 726 \end{enumerate}
 727
 728 \begin{solution*}
 729 En primer lloc, facem un \term{diagrama d'arbre}\index{diagrama!d'arbre} (\autoref{fig:diagrama-arbre-0}).
 730
 731 \begin{figure}[h!]
 732     \centering
 733     % From http://www.texample.net/tikz/examples/probability-tree/
 734
 735         % Set the overall layout of the tree
 736         \tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=3.5cm]
 737         \tikzstyle{level 2}=[level distance=3.5cm, sibling distance=2cm]
 738
 739         % Define styles for bags and leafs
 740         \tikzstyle{bag} = [text width=4em, text centered]
 741         \tikzstyle{end} = [circle, minimum width=3pt,fill, inner sep=0pt]
 742
 743         % The sloped option gives rotated edge labels. Personally
 744         % I find sloped labels a bit difficult to read. Remove the sloped options
 745         % to get horizontal labels.
 746         \begin{tikzpicture}[grow=right, sloped]
 747         \node[bag] {Inici}
 748             child {
 749                 node[bag] {Clauer $C$}
 750                     child {
 751                         node[end, label=right:
 752                             {$p(C \cap O)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{24}$}] {}
 753                         edge from parent
 754                         node[above] {Obri}
 755                         node[below]  {$\frac{1}{8}$}
 756                     }
 757                     child {
 758                         node[end, label=right:
 759                             {$p(C \cap \overline{O})=\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{24}$}] {}
 760                         edge from parent
 761                         node[above] {No obri}
 762                         node[below]  {$\frac{7}{8}$}
 763                     }
 764                     edge from parent
 765                     node[above] {$C$}
 766                     node[below]  {$\frac{1}{3}$}
 767             }
 768             child {
 769                 node[bag] {Clauer $B$}
 770                 child {
 771                         node[end, label=right:
 772                             {$p(B \cap O)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{21}$}] {}
 773                         edge from parent
 774                         node[above] {Obri}
 775                         node[below]  {$\frac{1}{7}$}
 776                     }
 777                     child {
 778                         node[end, label=right:
 779                             {$p(B \cap \overline{O})=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{7}=\frac{6}{21}$}] {}
 780                         edge from parent
 781                         node[above] {No obri}
 782                         node[below]  {$\frac{6}{7}$}
 783                     }
 784                 edge from parent
 785                     node[above] {$B$}
 786                     node[below]  {$\frac{1}{3}$}
 787             }
 788             child {
 789                 node[bag] {Clauer $A$}
 790                     child {
 791                         node[end, label=right:
 792                             {$p(A \cap O)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}$}] {}
 793                         edge from parent
 794                         node[above] {Obri}
 795                         node[below]  {$\frac{1}{5}$}
 796                     }
 797                     child {
 798                         node[end, label=right:
 799                             {$p(A \cap \overline{O})=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}=\frac{4}{15}$}] {}
 800                         edge from parent
 801                         node[above] {No obri}
 802                         node[below]  {$\frac{4}{5}$}
 803                     }
 804                     edge from parent
 805                     node[above] {$A$}
 806                     node[below]  {$\frac{1}{3}$}
 807             };
 808         \end{tikzpicture}
 809     \caption{Diagrama d'arbre}
 810     \label{fig:diagrama-arbre-0}
 811 \end{figure}
 812
 813 D'aquesta manera, tenim que
 814 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 815 \item\label{apartat:a} La probabilitat d'obrir el rebost és:
 816 \begin{equation*}
 817 p(O) = p(A \cap O) + p(B \cap O) + p(C \cap O) = \frac{1}{15} + \frac{1}{21} + \frac{1}{24} = \frac{131}{840}
 818 \end{equation*}
 819 \item La probabilitat de triar el clauer $C$ i no obrir el rebost és $p(C \cap \overline{O}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{24}$.
 820 \item\label{apartat:c} La probabilitat de què s'hagi triat el clauer $C$ sabent que s'ha obert el rebost és $p(C \mid O)$:
 821 \begin{equation*}
 822 p(C \mid O) = \frac{p(C \cap O)}{p(O)} = \frac{ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} }{ \frac{131}{840}} = \frac{1/24}{131/840} = \frac{840}{3144} = \frac{35}{131}
 823 \end{equation*}
 824 \end{enumerate}
 825
 826 Notem diverses coses:
 827 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 828 \item Per calcular la probabilitat d'una {\em fulla}\index{fulla!d'un diagrama d'arbre} del diagrama d'arbre, hem de multiplicar cadascun del valors de les probabilitats que té cada {\em branca}\index{branca!d'un diagrama d'arbre}. Així hem calculat la probabilitat $p(C \cap \overline{O})$.
 829
 830 \item Cada branca és disjunta, és a dir, la seva intersecció és buida. D'aquesta manera, la probabilitat de què passin esdeveniments que estan a diferents fulles es calcula sumant les seves probabilitats. Així hem calculat $p(O)$.
 831
 832 \item Notem que l'espai mostral d'aquest experiment compost seria
 833 \begin{equation*}
 834 \Omega = \{ (a, a_1), \ldots, (a, a_5), (b, b_1), (b, b_2), \ldots, (b, b_7), (c, c_1), \ldots (c, c_8) \},
 835 \end{equation*}
 836 on, per exemple, $(b, b_5)$ denota que s'ha triat el clauer $B$ i s'ha triat la cinquena clau d'aquest clauer. D'aquesta manera, triar el clauer $A$ seria l'esdeveniment
 837 \begin{equation*}
 838 A = \{ (a, a_1), (a, a_2), (a, a_3), (a, a_4), (a, a_5) \}
 839 \end{equation*}
 840 De forma anàloga es definirien els esdeveniments $B$, triar el clauer $B$, i $C$, triar el clauer $C$. L'esdeveniment ``la clau triada obri el rebost'', $O$, seria
 841 \begin{equation*}
 842 O = \{ (a, a_2), (b, b_3), (c, c_4) \},
 843 \end{equation*}
 844 si suposem que $a_2$, $b_3$ i $c_4$ serien les claus que obririen el rebost. Noteu que el diagrama d'arbre serveix per a trobar fàcilment les probabilitats de $A$, $B$, $C$ i $O$ sense haver de manejar conjunts.
 845
 846 \item Als apartats \ref{apartat:a} i \ref{apartat:c} hem aplicat, sense saber-ho, la probabilitat total de l'esdeveniment $O$ i el teorema de Bayes.
 847
 848 \begin{proposition}[probabilitat total]Sigui un esdeveniment $B$ que pot dependre d'altres esdeveniments $A_1, A_2, \ldots, A_n$ incompatibles entre si ($A_i \cap A_j = \emptyset$ per a tots els $i, j$) i tals que la seva unió és $\Omega$ ($A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \Omega$). Aleshores la probabilitat de $B$ es pot calcular com
 849 \begin{equation*}
 850 p(B) = p(A_1) \cdot p(B \mid A_1) + p(A_2) \cdot p(B \mid A_2) + \ldots + p(A_n) \cdot p(B \mid A_n)
 851 \end{equation*}
 852 Aquesta igualtat es coneix com a \term{probabilitat total de $B$}\index{probabilitat!total}.
 853 \end{proposition}
 854
 855 \begin{theorem}[teorema de Bayes]Amb els mateixos termes que el teorema de la probabilitat total\index{teorema!de Bayes},
 856 \begin{equation*}
 857 p(A_i | B) = \frac{p(A_i) \cdot p(B\mid A_i)}{p(A_1) \cdot p(B \mid A_1) + \ldots + p(A_n) \cdot p(B \mid A_n)}
 858 \end{equation*}
 859 \end{theorem}
 860
 861 \end{enumerate}
 862
 863 \end{solution*}
 864 \end{example}
 865
 866 \begin{exercise}\label{exercici-diagrama-arbre-1}Llançam una moneda dues vegades. Quina és la probabilitat d'obtenir: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Dues cares? \item Almenys una cara? \item Una cara i una creu? \end{enumerate*}
 867 \end{exercise}
 868
 869 \begin{exercise}\label{exercici-diagrama-arbre-2}Un moix encalça un ratolí. Aquest pot fugir per tres carrerons diferents, que designarem per $A$, $B$ i $C$. Les probabilitats de què el ratolí entri en els carrerons $A$, $B$ i $C$ són, respectivament, de $0.3$, $0.5$ i $0.2$. Se sap que la probabilitat de què el moix caci al ratolí després de què aquest entri al carreró $A$ és de $0.4$, de $0.6$ si entra en el carreró $B$, i de $0.1$ si ho fa pel carreró $C$. Calculeu \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item la probabilitat de què el moix caci al ratolí \item la probabilitat de què el ratolí hagi entrat en el carreró $A$ si sabem que finalment el moix l'ha caçat. \end{enumerate*}
 870
 871 \begin{exercise}\label{exercici-diagrama-arbre-3}D'un joc de cartes espanyoles, n'extraiem dues (sense reemplaçament). Quina és la probabilitat de què ambdues siguin d'espases?
 872 \end{exercise}
 873
 874 \end{exercise}
 875
 876 \begin{solution*}
 877 \begin{enumerate*}
 878 \item[Exercici~\ref{exercici-diagrama-arbre-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1/4$ \item $3/4$ \item $1/2$ \end{enumerate*}
 879 \item[Exercici~\ref{exercici-diagrama-arbre-2}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0.44$ \item $0.273$ \end{enumerate*}
 880 \item[Exercici~\ref{exercici-diagrama-arbre-3}] $11/188$
 881 \end{enumerate*}
 882 \end{solution*}
 883
 884 \begin{exercise}\label{exercici-gladiols} A certa floristeria varen rebre quantitats iguals de roses i gladiols, de color groc i blanc. El $60\%$ dels gladiols són de color groc, mentre que el $70\%$ de les roses són de color blanc.
 885 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 886 \item Si triem una rosa, quina probabilitat tenim que sigui de color groc?
 887 \item Quina proporció de flors són de color blanc?
 888 \item Si es varen comprar un total de 2000 flors i prenem dos gladiols, quina és la probabilitat de què aquests siguin de diferent color?
 889 \end{enumerate}
 890 \end{exercise}
 891
 892 \begin{exercise}\label{exercici-maquina-peces}Una màquina ha produït 100 peces, de les quals 15 han presentat algun defecte.
 893 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 894 \item Trobeu la proporció de peces que no són defectuoses
 895 \item Calculeu la probabilitat de què, si examinem dues peces, ambdues resultin defectuoses
 896 \item Calculeu la probabilitat de què, sabent que la segona peça és defectuosa, la primera també ho sigui.
 897 \end{enumerate}
 898 \end{exercise}
 899
 900 \begin{exercise}\label{exercici-tatxes}En una cadena de producció de tatxes, sabem que una de cada 250 tatxes és defectuosa. Es trien dues tatxes a l'atzar. Calculeu
 901 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 902 \item la probabilitat que les dues tatxes siguin defectuoses
 903 \item la probabilitat que almenys alguna de les tatxes siguin defectuoses
 904 \item saben que la segona tatxa és defectuosa, que la primera no ho sigui
 905 \end{enumerate}
 906 \end{exercise}
 907
 908
 909 \begin{exercise}\label{exercici-llapissos}Un estoig conté 15 llàpissos de color vermell i 10 de color blau.
 910 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 911 \item Si triem un llapis a l'atzar, quina probabilitat es té que sigui vermell?
 912 \item Si n'extraiem dos, quina és la probabilitat de què ambdos siguin blaus?
 913 \item Calculeu la probabilitat de què, sabent que el segon és vermell, el primer hagi estat blau
 914 \end{enumerate}
 915 \end{exercise}
 916
 917 \begin{solution*}
 918 \begin{enumerate*}
 919 \item[Exercici~\ref{exercici-gladiols}] Heu de fer dos diagrames d'arbre diferents a l'apartat $b$ i a l'apartat $c$ \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,3$ \item $p(\text{blanc}) = p(\text{gladiol, }\text{blanc}) + p(\text{rosa, }\text{blanc}) = 0,55$ \item $p(\text{color diferent})$ $= p(\text{groc, }\text{blanc}) + p(\text{blanc, }\text{groc})$ $= \frac{600}{1000} \cdot \frac{400}{999} + \frac{400}{1000} \cdot \frac{600}{999}$ $= \frac{160}{333}$ \end{enumerate*}
 920 \item[Exercici~\ref{exercici-maquina-peces}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $25/100$ \item $7/330$ \item $14/99$\end{enumerate*}
 921 \item[Exercici~\ref{exercici-tatxes}] ?
 922 \item[Exercici~\ref{exercici-llapissos}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $3/5$ \item $3/20$ \item $5/12$ \end{enumerate*}
 923 \end{enumerate*}
 924 \end{solution*}
 925
 926
 927 \subsection{Taules de contingència}\label{seccio:taules-de-contingencia}
 928
 929 \begin{example}En una empresa hi ha 300 empleats, amb 200 dones i 100 homes. D'aquests, un $30\%$ dels homes i un $40\%$ de les dones tenen un contracte indefinit. Trobeu la probabilitat de què \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item una persona elegida a l'atzar sigui dona amb contracte indefinit \item una persona tengui un contracte indefinit \item sigui dona sabent que té un contracte indefinit \end{enumerate*}
 930
 931 \begin{solution*} En comptes de fer un diagrama d'arbre, realitzarem una \term{taula de contingència}\index{taula!de contingència} (\autoref{tab:taula-contingencia-contracte}).
 932
 933 \begin{table}[ht!]
 934         \centering
 935         \begin{tabular}{r|r|r|r}
 936         \cline{2-3}
 937         & Homes & Dones & \\
 938         \hline
 939         Contracte indefinit & $30$ & $80$ & $110$\\
 940         \hline
 941         Altres contractes & $70$ & $120$ & $190$\\
 942         \hline
 943         Total & $100$ & $200$ & $300$\\
 944         \hline
 945         \end{tabular}%
 946         \caption{Taula de contingència del sexe i tipus de contracte}
 947         \label{tab:taula-contingencia-contracte}
 948 \end{table}
 949
 950 Per saber, per exemple, el nombre d'homes amb contracte indefinit hem calculat el $30\%$ de $100$: $\frac{30}{100} \cdot 100 = 30$. De forma anàloga, per saber el nombre de dones amb contracte indefinit: $\frac{40}{100} \cdot 200 = 80$. Per saber els homes i dones amb diferent contracte, hem restat el total menys el nombre de contractes indefinits per sexes.
 951
 952 Amb aquesta taula podem veure fàcilment que
 953 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 954 \item La probabilitat de què una persona triada a l'atzar sigui dona amb contracte indefinit és $80/300 = 4/15$
 955 \item La probabilitat de què una persona tengui contracte indefinit és de $110/300 = 11/30$
 956 \item La probabilitat de què una persona sigui dona sabent que té contracte indefinit és
 957 \begin{equation*}
 958 p(\text{dona} \mid \text{indefinit}) = \frac{ p(\text{dona} \cap \text{indefinit})}{p(\text{indefinit})} = \frac{80/300}{110/300} = \frac{80}{110} = \frac{8}{11}.
 959 \end{equation*}
 960 \end{enumerate}
 961 \end{solution*}
 962 \end{example}
 963
 964 \begin{claim}En el cas de no saber el nombre total d'empleats, podríem suposar que fossin 100, per exemple.
 965 \end{claim}
 966
 967 \begin{exercise}En una determinada població hi ha un $53\%$ de dones. Un $20\%$ dels homes té afició per la lectura. Aquesta afició augmenta fins al $30\%$ en el cas de les dones. Es tria una persona a l'atzar. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Quina és la probabilitat de què sigui dina i no tengui afició a la lectura? \item Quina és la probabilitat de què la persona triada sigui una dona sabent que té afició per la lectura? \end{enumerate*}
 968
 969 \begin{solution*} \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,371$ \item $0,63$ \end{enumerate*}
 970 \end{solution*}
 971 \end{exercise}
 972
 973
 974 \begin{exercise}En una oficina, el $70 \%$ dels empleats són extrangers. De entre aquests, el $50 \%$ són dones, mentre que, dels nacionals, són homes el $20 \%$.
 975 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 976 \item Quin percentatge d'empleats nacionals són dones?
 977
 978 \item Calculeu la probabilitat de què un empleat de l'oficina sigui dona
 979
 980 \item En Ferran fa feina a l'oficina. Quina és la probabilitat de què sigui extranger?
 981 \end{enumerate}
 982
 983 \begin{solution*} \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $80\%$ \item $0,59$ \item $35/41$ \end{enumerate*}
 984 \end{solution*}
 985 \end{exercise}
 986
 987 \begin{exercise}Una ciutat ha remodelat el seu passeig marítim i en diari local ha aparegut l'enquesta, realitzada a $200$ persones, sobre si el resultat ha estat satisfactori. Els resultats varien depenent de la zona on viuen els enquestats: dels qui viuen al centre, el $30\%$ li ha agradat el resultat final de les obres. Si viuen a les afores, aquest percentatge ha pujat a un $50\%$. Dels $200$ enquestats, $120$ viuen en el centre.
 988 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 989 \item Quina és la probabilitat de què a una persona li hagin agradat les obres?
 990 \item Si sabem que la persona li han agradat les obres, quina probabilitat hi ha que visqui en el centre?
 991 \end{enumerate}
 992 \end{exercise}
 993
 994 \begin{exercise}S'ha realitzat un estudi entre els estudiants d'un curs ofimàtica: d'entre els estudiants, un $40\%$ ja havia cursat anteriorment un curset d'ofimàtica. D'aquests, un $20\%$ té un ordinador a casa, mentre que dels que no havien cursat anteriorment ofimàtica, aquest percentatge baixa al $10\%$.
 995 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 996 \item Quina és la probabilitat de què un estudiant tengui ordinador a casa?
 997 \item Si un estudiant té ordinador a casa, quina és la probabilitat de què no hagi rebut abans formació d'ofimàtica?
 998 \end{enumerate}
 999 \end{exercise}
1000
1001 Amb aquesta tècnica també podem resoldre exercicis referents a propietats de la probabilitat o probabilitat condicionada. Intentem resoldre l'exercici de l'\autoref{exemple:enquesta-tauleta-portatil} amb taules de contingència:
1002
1003 \begin{solution*}
1004 Basta fer una taula com aquesta (\autoref{tab:taula-contingencia-portatil-tauleta}). Indiquem amb negreta les dades copiades talment de l'enunciat. Les altres entrades s'han obtingut restant o usant el càlcul de la probabilitat d'un esdeveniment contrari.
1005
1006 \begin{table}[ht!]
1007         \centering
1008         \begin{tabular}{r|r|r|r}
1009         \cline{2-3}
1010         & $\text{Tauleta}$ & $\text{Tauleta}^c$ & \\
1011         \hline
1012         $\text{Portàtil}$ & $\mathbf{5}$ & $15$ & $\mathbf{20}$\\
1013         \hline
1014         $\text{Portàtil}^c$ & $35$ & $45$ & $80$\\
1015         \hline
1016         Total & $\mathbf{40}$ & $60$ & $100$\\
1017         \hline
1018         \end{tabular}%
1019         \caption{Taula de contingència corresponent a la tinença de tauleta informàtica i portàtil}
1020         \label{tab:taula-contingencia-portatil-tauleta}
1021 \end{table}
1022
1023 Amb aquesta taula, tenim que
1024 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1025 \item $p(T \mid P) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$
1026 \item $p(P \mid T) = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$
1027 \item $p(T^c \cap P) = \frac{15}{100}$.
1028 \end{enumerate}
1029 \end{solution*}
1030
1031
1032 \subsection{Diagrames de Venn}
1033
1034 Aquest mètode és convenient aplicar-lo quan sabem informació sobre esdeveniments excloents, com per exemple tenir una afició o una altra.
1035
1036 \begin{example}En un poble, el $55\%$ dels habitants consumeix pa integral, el $30\%$ pa multicereal i el $20\%$ d'ambdós tipus. Quina és la probabilitat de què una persona triada a l'atzar no consumeixi cap dels dos tipus de pa?
1037
1038 \begin{solution*} Elaborarem un diagrama de Venn dels consumidors de pa (\autoref{fig:metode-Venn-1}). Per fer-ho, suposarem que hi ha 100 habitants al poble (tenim tants per cent al problema, per tant no és una suposició descabellada):
1039 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1040 \item Si hi ha 55 habitants que consumeixen pa integral i 20 que també consumeixen multicereal, aleshores n'hi ha 35 que {\em només} consumeixen pa integral.
1041 \item De la mateixa manera, hi ha 10 persones que només consumeixen pa multicereal.
1042 \item Si en total hi ha 100 persones, tenim que hi ha 35 persones que no consumeixen cap tipus de pa.
1043 \end{enumerate}
1044
1045 \begin{figure}[h!]
1046     \centering
1047
1048         \def\firstcircle{(0,0) circle (1.5cm)}
1049         \def\secondcircle{(0:2cm) circle (1.5cm)}
1050
1051         \colorlet{circle edge}{blue!50}
1052         \colorlet{circle area}{blue!20}
1053
1054         \tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
1055             outline/.style={draw=circle edge, thick}}
1056
1057         \tikzset{filled2/.style={fill=white, draw=black, thick},
1058             outline/.style={draw=black, thick}}
1059     % Generat amb TikZ
1060     % Modified From http://www.texample.net/tikz/examples/set-operations-illustrated-with-venn-diagrams/ - Uwe Ziegenhagen
1061         \begin{tikzpicture}
1062             \draw[outline] \firstcircle node {$35$};
1063             \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$I$};
1064             \draw[outline] \secondcircle node {$10$};
1065             \node[anchor=south] at (2,1.5) {$M$};
1066             \draw (0:1cm) node {$20$};
1067             \draw (-2,-2) -- (-2,2) -- (4,2) --(4,-2) -- cycle;
1068             \draw (4.5,-2) node[anchor=south east] {$\Omega$};
1069             \draw (-2,-2) node[anchor=south west] {$35$};
1070             \draw (4,-2.5) node[anchor=south east] {$100$};
1071         \end{tikzpicture}
1072         \caption{Diagrama de Venn dels consumidors de pa}
1073         \label{fig:metode-Venn-1}
1074 \end{figure}
1075
1076 Per tant, la probabilitat de triar un habitant que no consumeixi cap tipus de pa és $p(\overline{I} \cap \overline{M}) = 35/100 = 0.35$.\footnote{Haguéssim pogut obtenir aquest resultat usant les propietats de les operacions d'esdeveniments: $p(\overline{I} \cap \overline{M}) = p(\overline{(I \cup M)}) = 1 - p(I \cup M) = 1 - (p(I) + p(M) - p(I \cap M)) = 1 - (0.55 + 0.30 - 0.20) = 0.35$ }
1077
1078 \end{solution*}
1079 \end{example}
1080
1081 \begin{exercise}En una població, es sap que el $30\%$ escolta els informatius per la radio, el $60\%$ per la televisió i el $20\%$ pels dos mitjans. Si es tria una persona a l'atzar, determineu la probabilitat de què:
1082 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1083 \item escolti algun dels mitjans de comunicació
1084 \item escolti la radio i no vegi la televisió
1085 \item sabent que no veu la televisió, que escolti la radio
1086 \item escolti només un mitjà de comunicació
1087 \end{enumerate}
1088 \end{exercise}
1089
1090 \begin{example}En una ciutat es publiquen tres diaris: $A$, $B$ i $C$. El $50\%$ de la gent està subscrita al diari $A$, el $40\%$ a $B$ i el $30\%$ a $C$. El $20\%$ està subscrit a $A$ i a $B$, el $10\%$ a $A$ i $C$, el $20\%$ a $B$ i $C$ i el $5\%$ a tots els diaris. Si triem una persona a l'atzar d'aquesta ciutat, calculeu la probabilitat de què:
1091 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1092 \item estigui subscrit almenys a un diari
1093 \item no estigui subscrit a cap diari
1094 \item estigui subscrit exactament a un diari
1095 \end{enumerate}
1096
1097 \begin{solution*}Facem un diagrama de Venn de tres conjunts: subscriptors de $A$, de $B$ i de $C$ (\autoref{fig:tecniques-2}). Hem marcat en negreta les dades donades. Per calcular les dades que falten, hem procedit de la manera següent:
1098 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1099 \item Hem suposat que hi ha $100$ persones en total.
1100 \item Sabem que $\lvert A \cap B \cap C \rvert = 5$ i $\lvert A \cap B \rvert = 20$. Per tant, els subscritors de $A$ i $B$ però que no estan subscrits a $C$, i.e., $A \cap B \cap \overline{C}$, són $20-5 = 15$. De la mateixa manera, $\lvert A \cap C \cap \overline{B} \rvert = 5$ i $\lvert B \cap C \cap \overline{A} \rvert = 15$.
1101 \item Com que $\lvert A \rvert = 50$, per l'apartat anterior, tenim que $\lvert A \cap \overline{B} \cap \overline{C} \rvert = 50  - (5+5+15) = 25$. De la mateixa manera, $\lvert B \cap \overline{C} \cap \overline{A} \rvert = 40 - (5+15+15) = 5$ i $\lvert C \cap \overline{A} \cap \overline{B} \rvert = 30 - (5+5+15) = 5$
1102 \item Per últim, $\lvert \overline{(A \cup B \cup C)} \rvert = 100 - 75 = 25$.
1103 \end{enumerate}
1104
1105 \begin{figure}[h!]
1106     \centering
1107     % From http://www.texample.net/tikz/examples/venn/
1108         % A Venn diagram with PDF blending
1109         % Author: Stefan Kottwitz
1110         % https://www.packtpub.com/hardware-and-creative/latex-cookbook
1111         \begin{tikzpicture}
1112           \begin{scope}[blend group = soft light]
1113             \draw[thick]   ( 90:1.2) circle (2);
1114             \draw[thick] (210:1.2) circle (2);
1115             \draw[thick]  (330:1.2) circle (2);
1116           \end{scope}
1117           \node at ( 90:2)    {$25$};
1118           \node at ( 210:2)   {$5$};
1119           \node at ( 330:2)   {$5$};
1120           \draw (0,0) node {$\mathbf{5}$};
1121           \draw (0,3.2) node[anchor=south] {$A$};
1122           \draw (-3,-2.2) node[anchor=south] {$B$};
1123           \draw (3,-2.2) node[anchor=south] {$C$};
1124           \draw (-4,-4) -- (-4,4) -- (4,4) --(4,-4) -- cycle;
1125           \draw (4,-4) node[anchor=south east] {$\Omega$};
1126           \draw (-4,-4) node[anchor=south west] {$25$};
1127           \draw (270:1.2) node {$15$};
1128           \draw (150:1.2) node {$15$};
1129           \draw (40:1.2) node {$5$};
1130         \end{tikzpicture}
1131     \caption{Diagrama de Venn dels subscriptors de diaris}
1132     \label{fig:tecniques-2}
1133 \end{figure}
1134
1135 Per tant, amb tot,
1136 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1137 \item $p(\text{almenys un diari}) = \frac{25+15+5+5+15+5+5}{100} = 75/100 = 0.75$
1138 \item $p(\text{cap diari}) = 25/100 = 0.25$
1139 \item $p(\text{exactament 1 diari}) = \frac{25+5+5}{100} = 35/100 = 0.35$
1140 \end{enumerate}
1141
1142 \end{solution*}
1143 \end{example}
1144
1145
1146 \begin{exercise}En un grup de matrimonis heterosexuals s'ha observat que en el $50\%$ dels casos la dona té estudis universitaris. En un $30\%$ tant l'home com la dona els té i, finalment, el $37,5\%$ dels matrimonis en els que l'home té estudis universitaris i la dona no els té.
1147 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1148 \item Quina probabilitat hi ha de què en un matrimoni heterosexual l'home tengui estudis universitaris?
1149 \item En quin percentatge de matrimonis heterosexuals en els que la dona té estudis universitaris, l'home també els té?
1150 \item Quin percentatge correspon a matrimonis en el que l'home no té estudis universitaris i la dona sí?
1151 \end{enumerate}
1152
1153 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,675$, \item $60\%$, \item $20\%$ \end{enumerate*}
1154 \end{solution*}
1155 \end{exercise}
1156
1157
1158 \begin{exercise}Un estudiant fa dues proves el mateix dia. La probabilitat de què passi la primera és de $0,6$, la que passi la segona és de $0,8$ i de què passi ambdues és de $0,5$. Es demana:
1159 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1160 \item la probabilitat de què passi almenys una prova
1161 \item la probabilitat de què no passi cap prova
1162 \item són les proves esdeveniments independents?
1163 \item la probabilitat de què passi la segona prova en cas de no haver superat la primera
1164 \end{enumerate}
1165 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,9$, \item $0,1$, \item no són independents \item $0,75$ \end{enumerate*}
1166 \end{solution*}
1167 \end{exercise}
1168
1169
1170 \begin{exercise}Un aparell elèctric està constituït per dos components: $A$ i $B$. Sabent que hi ha una probabilitat de $0,58$ de què no falli cap element, i que en el $32\%$ dels casos falla $B$ però no $A$, determineu la probabilitat de què en un d'aquests aparells no falli el component $A$.
1171
1172 \begin{solution*}$0,9$\end{solution*}
1173 \end{exercise}
1174
1175 \newpage
1176 \section{Exercicis proposats}
1177
1178 \begin{exercise}Un restaurant té contractats a dos cambrers: Javier i Ana per atendre el servei del menjador. Ana posa el servei el $70\%$ dels dies i es confon al co\lgem{ocar} els coberts només el $5\%$ dels dies. Mentre, Javier co\lgem{oca} malament alguna peça el $25\%$ dels dies que posa el servei.
1179 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1180 \item Aquest matí, l'encarregat del restaurant ha passat revista al servei. Quina és la probabilitat de què trobi algun servei mal co\lgem{ocat}?
1181 \item Per desgràcia, l'encarregat va trobar uns coberts mal co\lgem{ocats} i vol trobar quina és la probabilitat de què hagi estat en Javier
1182 \end{enumerate}
1183 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,11$ \item $15/22$ \end{enumerate*}
1184 \end{solution*}
1185 \end{exercise}
1186
1187 \begin{exercise}Certa persona compra tots els dies el diari local, comprant-lo indistintament en un de les botigues, $A$ i $B$, que estan més pròximes a ca seva. El $80\%$ dels dies el compra a la botiga $A$.
1188 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1189 \item Quina proporció dels dies compra el diari a la botiga $B$?
1190 \item Quina probabilitat hi ha de què compri dos dies el diari a la botiga $A$?
1191 \item Quina és la probabilitat de què dos dies consecutius compri el diari a dues botigues diferents?
1192 \end{enumerate}
1193 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,20$ \item $0,64$ \item $0,32$\end{enumerate*}
1194 \end{solution*}
1195 \end{exercise}
1196
1197 \begin{exercise}La probabilitat de què un aficionat al futbol vagi al camp municipal a veure un partit és del $90\%$ quan es disputa en cap de setmana i el $50\%$ si té lloc en un dia laborable. La probabilitat de què un partit es jugui en cap de setmana és la mateixa que se jugui entre setmana.
1198 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1199 \item Cert partit es celebrarà la setmana que ve en un dia encara sense determinar. Calculeu la probabilitat de què els aficionats vagin a veure'l al camp
1200 \item Si finalment un aficionat va anar a veure el partit, quina és la probabilitat de què aquest hagi estat en cap de setmana?
1201 \end{enumerate}
1202
1203 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $0,7$ \item $45/70$\end{enumerate*}
1204 \end{solution*}
1205 \end{exercise}
1206
1207
1208 \begin{exercise}En una capsa estan desats 20 rellotges, dels quals n'hi ha 15 que funcionen correctament.
1209 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1210 \item Si s'extreu un rellotge a l'atzar, quina és la probabilitat que funcioni bé?
1211 \item Si s'extreuen dos rellotges a l'atzar, quina és la probabilitat de què funcionin els dos correctament?
1212 \item Si el segon no funciona correctament, quina és la probabilitat de què el primer tampoc ho faci?
1213 \end{enumerate}
1214
1215 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $15/20$ \item $21/38$ \item $4/19$\end{enumerate*}
1216 \end{solution*}
1217
1218 \end{exercise}
1219
1220 \begin{exercise}El $25\%$ de les famílies de certa comunitat autònoma espanyola no surt fora de la mateixa durant les vacances d'estiu. El $65\%$ estiueja per la resta de l'estat i el $10\%$ restant se'n va a l'extranger. Dels qui queden a la seva comunitat, només un $10\%$ no usa cotxe en els desplaçaments. Aquesta quantitat augmenta al $30\%$ entre els que surtin per la resta d'Espanya, i al $90\%$ entre els que viatgen a l'extranger.
1221 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1222 \item Calculeu el percentatge de famílies d'aquesta comunitat que utilitza el cotxe en els seus desplaçaments d'estiu
1223 \item Una família no usa cotxe en les seves vacances d'estiu. Quina és la probabilitat de què surti de la comunitat movent-se per la resta d'Espanya?
1224 \end{enumerate}
1225 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $69\%$ \item $13/20$\end{enumerate*}
1226 \end{solution*}
1227 \end{exercise}
1228
1229 \begin{exercise}Un grup de $40$ persones acabar de prendre un bus. D'aquests, només $10$ són fumadors. Entre els fumadors, el $70\%$ es mareja durant el viatge. I entre els qui no fumen, aquesta quantitat baixa al $40\%$.
1230 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1231 \item Quina probabilitat hi ha que dues persones siguin fumadores ambdues?
1232 \item Quina és la probabilitat de què un viatger no es maregi?
1233 \end{enumerate}
1234 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $3/52$ \item $0,525$\end{enumerate*}
1235 \end{solution*}
1236 \end{exercise}
1237
1238 \begin{exercise}Dos joves aficionats als jocs d'atzar es troben realitzant un solitari amb una baralla espanyola. Extreuen una carta de la baralla i volen saber quina és la probabilitat d'obtenir rei condicionat a què s'hagi tret figura
1239 \begin{solution*}$1/3$\end{solution*}
1240 \end{exercise}
1241
1242 \begin{exercise}En un país s'ha constituït una comissió parlamentària integrada per deu membres, dels quals set pertanyen al partit governant i la resta al partit de l'oposició. Entre els set membres del partit governant hi ha quatres homes; dos entre els del partit de l'oposició. El president de la comissió s'elegeix per sorteig entre els seus integrants. Celebrat el sorteig, es sap que el president triat ha estat un home. Quin partit té més possibilitats de dirigir la comissió?
1243 \begin{solution*}$2/3$\end{solution*}
1244 \end{exercise}
1245
1246 \begin{exercise}S'ha fet un estudi d'un nou tractament sobre $120$ persones que pateixen certa enfermetat. Trenta d'elles ja han patit l'enfermetat amb anterioritat. Entre les persones que l'han patida anteriorment, el $80\%$ ha reaccionat positivament al nou tractament. De les que no la han patida amb anterioritat, el percentatge de la reacció positiva ha estat del $90\%$.
1247 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1248 \item Si triem a l'atzar un pacient, quina és la probabilitat de què no reaccioni positivament al nou tractament?
1249 \item Si un pacient ha reaccionat positivament al tractament, quina és la probabilitat de què no hagi patit l'enfermetat amb anterioritat?
1250 \end{enumerate}
1251
1252 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $1/8$ \item $27/35$\end{enumerate*}
1253 \end{solution*}
1254
1255 \end{exercise}
1256
1257 \begin{exercise}A cert curs d'un centre d'ensenyament, el $62.5 \%$ dels alumnes varen aprovar Matemàtiques. D'altra banda, d'entre els qui varen aprovar Matemàtiques, el $80 \%$ també varen aprovar Física. Es sap igualment que només el $33,3 \%$ dels qui no varen aprovar Matemàtiques varen aprovar Física.
1258 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1259 \item Quin percentatge va aconseguir aprovar ambdues assignatures alhora?
1260
1261 \item Quin va ser el percentatge d'aprovats a l'assignatura de Física?
1262
1263 \item Su un estudiant no aprovà Física, quina és la probabilitat de què aprovàs Matemàtiques?
1264 \end{enumerate}
1265 \end{exercise}
1266
1267 \begin{exercise}El $70 \%$ dels so\lgem{icitants} d'un lloc de feina té experiència i a més formació adient amb el lloc de treball. Malgrat això, hi ha un $20\%$ que té experiència i no una formació adient. Es sap també que entre els so\lgem{icitants} que tenen formació adient amb el lloc, un $88,5 \%$ té experiència.
1268 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1269 \item Quina és la probabilitat de què un so\lgem{icitant} no tengui experiència?
1270
1271 \item Si un so\lgem{icitant} té experiència, quina és la probabilitat de què la seva formació sigui adient amb el lloc de treball?
1272
1273 \item Calculeu la probabilitat de què un so\lgem{icitant} tengui formació adient amb el lloc.
1274 \end{enumerate}
1275 \end{exercise}
1276
1277 \begin{exercise}Un grup d'amics ha estat parlant sobre els seus gusts musicals. La música clàssica agrada al $20\%$ d'ells. Es sap també que el percentatge dels qui els agrada la música moderna d'entre els que els agrada la música clàssica és del $75\%$ i que el percentatge de qui els agrada la música moderna d'entre els qui no els agrada la música clàssica és del $87,5\%$.
1278 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1279 \item Quina és la probabilitat de què a un individu del grup li agradi la música moderna?
1280
1281 \item Quina és la probabilitat de què a un individu del grup li agradi tant la música clàssica com la moderna?
1282
1283 \item Si a una persona li agrada la música moderna, quina és la probabilitat de què tamé li agradi la música clàssica?
1284
1285 \item Si a una persona no li agradi la música moderna, quina és la probabilitat de què li agradi la clàssica?
1286 \end{enumerate}
1287 \end{exercise}
1288
1289 \begin{exercise}En un grup de matrimonis heterosexuals s'ha observat que en el $50\%$ dels casos la dona té estudis universitaris; en un $30\%$ tant l'home com la dona els tenen; finalment, en el $37,5\%$ dels matrimonis en els que l'home té estudis universitaris, la dóna també els té. En aquest grup de matrimonis:
1290 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1291 \item Quina probabilitat hi ha de què en un matrimoni el marit tengui estudis universitaris?
1292
1293 \item En quin percentatge de matrimonis en els que la muller té estudis universitaris el marit també els té?
1294
1295 \item En quin percentatge de matrimonis el marit no té estudis universitaris i la muller sí?
1296 \end{enumerate}
1297 \end{exercise}
1298
1299 \begin{exercise}En un grup de persones, al $50\%$ els hi han posat alguna vegada una multa de trànsit. D'altra banda, al $12,5\%$ no els hi han posat mai cap multa però sí han sofert alguna vegada un accident. Finalment, al $60\%$ dels qui mai han tengut un accident no els hi han posat mai una multa.
1300
1301 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1302 \item Quin percentatge de persones no han tengut mai un accident ni els hi han posat una multa?
1303
1304 \item Quin percentatge de persones no han tengut mai cap accident?
1305
1306 \item Entre les persones que mai han tengut cap multa, quin percentatge no ha tengut mai un accident?
1307 \end{enumerate}
1308 \end{exercise}
1309
1310 \begin{exercise}L'urna $S$ conté 4 bolles blanques i 3 negres, i l'urna $T$
1311 conté 3 bolles blanques i dues negres. Prenem a l'atzar una bolla de l'urna $S$ i, sense mirar-la, la introduïm a l'urna $T$. A continuació, extraïem amb reemplaçament dues bolles de l'urna $T$. Trobeu la probabilitat de què:
1312 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1313 \item les bolles siguin del mateix color
1314
1315 \item les bolles siguin de distint color
1316 \end{enumerate}
1317 \end{exercise}
1318
1319 \begin{exercise}Un banc concedeix tres tipus de crèdits: hipotecaris, empresarials i personals. Es sap que el $30\%$ dels crèdits concedits són hipotecaris; el $50\%$,  empresarials; i el $20\%$ restant són personals. Han resultat impagats el $20\%$ dels crèdits hipotecaris, el $25\%$ dels crèdits empresarials i el $50\%$ dels crèdits personals. Es demana:
1320 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1321 \item Representar la situació mitjançant un diagrama d'arbre
1322 \item Seleccionat un crèdit a l'atzar, calcular la probabilitat de què es pagui
1323 \item Un crèdit determinat ha resultat impagat. Calculeu la probabilitat de què sigui un crèdit hipotecari
1324 \end{enumerate}
1325 \end{exercise}
1326
1327 \begin{exercise}En un trajecte entre dues ciutats pròximes, un automobilista ha d'atravessar tres zones que estan en obres i en les que es regula el trànsit mitjançant semàfors. La probabilitat de trobar el semàfor en vermell per a cadascuna de les tres zones és $0,3$, $0,7$ i $0,5$. Calculeu la probabilitat de què el conductor:
1328 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1329 \item Trobi els tres semàfors en vermell
1330 \item Trobi els tres semàfors en vermell
1331 \item Trobi exactament un semàfor en vermell
1332 \item Trobi almenys un semàfor en vermell
1333 \end{enumerate}
1334 \end{exercise}
1335
1336 \begin{exercise}En un determinat barri d'una ciutat s'ha observat que el $70\%$ dels seus habitants té més de 50 anys i que d'aquests el $60\%$ és propietari de la vivenda que habita. També es sap que el percentatge de propietaris és del $30\%$ entre aquelles persones que no superen els 50 anys. Es demana:
1337 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1338 \item Trobar la probabilitat de què un veïnat del barri, el qual ha estat triat a l'atzar, sigui propietari de la vivenda en la qual habita.
1339
1340 \item Triat un veïnat a l'atzar, que és propietari de la vivenda on habita, calculeu la probabilitat de què tengui més de 50 anys.
1341 \end{enumerate}
1342 \end{exercise}
1343
1344 \begin{exercise}Provem una vacuna contra el grip en un grup de 400 persones, de les quals 180 són homes i 220 dones. De les dones, 25 es contagien de grip i, dels homes, ho fan 23. Determineu les probabilitats de què:
1345 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1346 \item Al seleccionar una persona a l'atzar, resulti que no té grip
1347
1348 \item Al seleccionar una persona a a l'atzar, resulti ser una dona que no té grip
1349
1350 \item Seleccionada una persona que no té grip, resulti que sigui un home
1351
1352 \item Seleccionada una dona, resulti que no té grip
1353 \end{enumerate}
1354 \end{exercise}
1355
1356 \begin{exercise}El $20 \%$ dels empleats d'una empresa són enginyers i un altre $20\%$ són economistes. Tres de quatre enginyers ocupa un càrrec directiu, mentre que només ho fa el $50 \%$ dels economistes. De la resta dels empleats, només ocupen càrrecs directius un $20\%$. Calculeu les probabilitats de què:
1357 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1358 \item Al seleccionar un empleat a l'atzar resulti ser un enginyer que no ocupa càrrec directiu
1359
1360 \item Al seleccionar un empleat a l'atzar resulti no ser ni enginyer ni economista, però que ocupi un càrrec directiu
1361
1362 \item Al seleccionar un càrrec directiu a l'atzar resulti ser economista
1363
1364 \item Al seleccionar un càrrec directiu a l'atzar resulti ser enginyer o economista
1365 \end{enumerate}
1366 \end{exercise}
1367
1368 \begin{exercise}El $15 \%$ dels habitants d'un país pateix certa enfermetat.
1369 Per a diagnosticar-la es disposa d'un procediment, el qual no és completament fiable: dóna positiu en el $90\%$ dels casos de persones realment malaltes, però també dóna positiu en el $5\%$ de les persones sanes (el que es coneix com {\em fals positius}). Determineu la probabilitat de què:
1370 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1371 \item estigui sana una persona el diagnòstic de la qual ha donat positiu
1372 \item estigui malalta una persona el diagnòstic del qual ha estat negatiu
1373 \end{enumerate}
1374 \end{exercise}
1375
1376 \begin{exercise}Tres tiradors disparen simultàniament a un blanc. Si els dispars són independients l'uns dels altres i la probabilitat que un tirador encerti al blanc és $0,6$, llavors calculeu la probabilitat que el blanc sigui destruït.
1377 \end{exercise}
1378
1379 \begin{exercise}Una caixa conté 100 peces, entre les que hi ha 20 defectuoses pel que fa a la longitud, 12 defectuoses pel que fa a l'amplada i 15 defectuoses pel que fa a l'altura. D'altra banda, sabem que hi ha 7 peces defectuoses en longitud i altura, 4 peces defectuoses en longitud i amplada, 5 que ho són en amplada i altura i 2 defectuoses en els tres aspectes. Es demana:
1380 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1381 \item La probabilitat de què una peça triada a l'atzar presenti un sol defecte.
1382
1383 \item La probabilitat de què una peça triada a l'atzar sigui defectuosa només pel que respecte a la longitud
1384 \end{enumerate}
1385 \end{exercise}
1386
1387 \begin{exercise}De 150 pacients, 90 tenen una enfermetat cardíaca, 50 tenen càncer i 20 tenen ambdues enfermetats. Determineu la probabilitat de què un pacient triat a l'atzar tengui només una de les dues enfermetats.
1388 \end{exercise}
1389
1390 \begin{exercise}Una màquina es composa de dos components: $A$ i $B$. La probabilitat de què el component $A$ falli és de $0,05$ mentre que la probabilitat de què $B$ arribi a fallar és de $0,03$. La màquina funciona correctament sempre que ho fan ambdos components i també en el $30\%$ dels casos en què ambdos components es comportin erròniament. En cas contrari, la màquina falla. Calculeu la probabilitat de què la màquina no funcioni correctament.
1391 \end{exercise}
1392
1393 \begin{exercise}Els habitants d'un poble poden votar entre dos partits polítics: $A$ i $B$. El $55 \%$ dels habitants són menors de 30 anys; d'ells, el
1394 $80 \%$ són del partit $B$. Dels majors de 30 anys, només ho són 1 de 10 persones. Escollim una persona a l'atzar.
1395 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1396 \item Calculeu la probabilitat de què sigui del partit $A$
1397
1398 \item La persona triada resulta ser del partido $A$. Quina probabilitat hi ha de què tengui menys de 30 anys?
1399 \end{enumerate}
1400 \end{exercise}
1401
1402 \begin{exercise}N'Aina, en Bartomeu i en Cristòfol sortegen a l'atzar l'ordre en què entraran per una porta.
1403
1404 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1405 \item Calculeu la probabilitat de què els dos darrers en entrar siguin homes
1406 \item Determineu si són independients els esdeveniments `la dona entra abans que algun dels homes' i `els dos homes entren consecutivament'.
1407 \end{enumerate}
1408 \end{exercise}
1409
1410 \begin{exercise}Es tenen dues urnes, $U_1$ i $U_2$, el contingut del qual és el següent:
1411 \begin{itemize}
1412 \item en l'urna $U_1$ hi ha 4 bolles blaves, 3 vermelles i 3 verdes
1413
1414 \item en l'urna $U_2$ hi ha 4 bolles vermelles, 5 blaves i 1 verda
1415 \end{itemize}
1416
1417 Es llancen tres monedes a l'aire i si s'obtenen dues cares, s'extreu una bolla de l'urna $U_1$; en qualsevol cas, s'extreu una bolla de l'urna $U_2$. Trobeu la probabilitat de què la bolla extreta sigui blava. Ajudeu-vos d'un diagrama d'arbre.
1418 \end{exercise}
1419
1420 \begin{exercise}Un aparell elèctric està constituït per dos components, $A$ i $B$. Sabent que hi ha una probabilitat de $0,58$ que no falli cap dels
1421 dos components, i que en el $32 \%$ dels casos falla $B$ no havent fallat $A$, determineu la probabilitat de què en un d'aquests aparells no falli el component $A$.
1422 \end{exercise}
1423
1424 \begin{exercise}Una urna, $A$, conté 5 bolles blanques i 3 de negres. Una altra urna, $B$, en té 6 de blanques i 4 de negres. Elegim una urna a l'atzar i extraiem dues bolles, que resulten ser negres. Trobeu la probabilitat de què l'urna elegida hagi estat la $B$.
1425 \end{exercise}
1426
1427 \begin{exercise}La probabilitat que un missatge de correu electrònic sigui {\sl spam} varia depenent de la llengua en la qual està escrita: si el missatge està escrit en català, la probabilitat és de 1 de cada 20, mentre que si el missatge està escrit en anglès, la probabilitat augmenta a un 10\%. En la bústia de correu electrònic d'una persona només trobam missatges en aquestes dues llengües: hi ha 300 missatges en català i 100 missatges en anglès.
1428 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1429 \item Que un missatge estigui escrit en català i no sigui {\sl spam}
1430 \item Si es tria un missatge de correu electrònic a l'atzar, quina probabilitat hi ha que sigui {\sl spam}
1431 \item Sabent que un missatge no és {\sl spam}, quina probabilitat tenim que estiugi escrit en català?
1432 \end{enumerate}
1433 \end{exercise}
1434
1435 \begin{exercise}Uns analistes econòmics fan un estudi. Les conclusions són que el sistema econòmic pot co\lgem{apsar} en un 75\% si algun banc es declara en fallida. Aquesta probabilitat baixa al 25\% en cas contrari. Calculeu les probabilitats següents si sabem que a hores d'ara la probabilitat que un banc faci fallida és del 30\%.
1436 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1437 \item Que un banc faci fallida i que el sistema econòmic co\lgem{apsi}
1438 \item Que el sistema econòmic no co\lgem{apsi}
1439 \item Que el sistema econòmic no co\lgem{apsi} sabent que ha fet fallida un banc
1440 \item Que un banc faci fallida sabent que el sistema econòmic no co\lgem{apsi}
1441 \end{enumerate}
1442 \end{exercise}
1443
1444 \begin{exercise}\label{exer:Javier-Sanchez-2}La probabilitat que cert article estigui fabricat per dues màquines $A$ i $B$ és de $0,7$ i $0,3$, respectivament. La màquina $A$ produeix articles defectuosos amb una probabilitat de $0,02$ i la $B$ amb $0,06$. S'observa un article i resulta que és defectuós. Quina probabilitat tenim que hagi estat fabricat per la màquina $A$.
1445
1446 \begin{solution*}$0,4375$\end{solution*}
1447 \end{exercise}
1448
1449 \begin{exercise}\label{exer:Javier-Sanchez-3}Disposam de dues monedes: una correcta i l'altra amb dues cares. També tenim una urna amb 10 bolles: quatre blanques i sis negres. Extraiem dues bolles de l'urna: si són del mateix color, triem la moneda correcta i la tiram en l'aire; altrament, elegim la moneda incorrecta i la llancem a l'aire. Trobeu la probabilitat que
1450 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1451 \item Que les bolles siguin del mateix color
1452 \item Obtenir cara en el llançament de la moneda
1453 \item Si el resultat del llançament de la moneda ha estat creu, trobeu la probabilitat que les dues bolles siguin de distint color
1454 \end{enumerate}
1455
1456 \begin{solution*}$42/90$, $23/30$ i $1$\end{solution*}
1457 \end{exercise}
1458
1459 \begin{exercise}\label{exer:Javier-Sanchez-5}Es tiren dos daus. Siguin $S$ l'esdeveniment que la suma dels punts obtinguts sigui senar; i $U$ l'esdeveniment que almenys un d'ells mostri un 1. Trobeu la probabilitat que $p(S \cap U)$ i $p(S \cup U)$.
1460
1461 \begin{solution*}$1/6$ i $23/36$\end{solution*}
1462 \end{exercise}
1463
1464 \begin{exercise}\label{exer:Javier-Sanchez-7}Dos escaquistes d'igual mestratge juguen als escacs. Què és més probable: guanyar dues partides de quatre jugades o bé guanyar-ne tres de sis?
1465
1466 \begin{solution*}És més probable guanyar-ne dos de quatre: $p(\text{guanyar-ne 2 de 4}) = 6/16$ i $p(\text{guanyar-ne 3 de 6})=5/16$. Hem fet servir permutacions per trobar aquests resultats, encara que es pot fer servir un diagrama d'arbre.\end{solution*}
1467 \end{exercise}
1468
1469 \begin{exercise}\label{exer:Javier-Sanchez-8}En una àrea geogràfica determinada, el 60\% dels vots han estat pel partit $A$. Si es consideren 3 votants d'aquesta àrea, es demana \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item la probabilitat que l'hagin votat exactament dos votants \item la probabilitat que no l'hagi votat cap votant \item la probabilitat que l'hagin votat, almenys, dos votants\end{enumerate*}
1470 \end{exercise}
1471
1472 \begin{exercise}\label{exer:Javier-Sanchez-10}En una ciutat, el 40\% dels habitants té un cotxe vermell, el 25\% té una moto vermella i el 15\% té el cotxe i la moto vermells. Es tria una persona a l'atzar.
1473 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
1474 \item Si té el cotxe vermell, quina és la probabilitat que tengui la moto vermella?
1475 \item Si té la moto vermella, quina és la probabilitat que tengui lel cotxe vermell?
1476 \item Quina és la probabilitat que no tengui ni la moto ni el cotxe vermells?
1477 \end{enumerate}
1478
1479 \begin{solution*}El més ràpid és fer una taula de contingència amb les dades anteriors. \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $15/40$ \item $10/25$ \item $50/100$ \end{enumerate*}
1480 \end{solution*}
1481 \end{exercise}
1482
1483 \begin{exercise}\label{exer:Javier-Sanchez-12}Una persona ha de prendre un avió per anar a Barcelona. Existeixen tres companyies: $A$, $B$ i $C$ que fan el trajecte. Les probabilitats que els avions de les companyies $A$, $B$ i $C$ compleixin el seu horari previst és de $0,7$, $0,8$ i $0,9$, respectivament. El comportament de cada avió no depèn dels altres. La probabilitat que aquesta persona triï un avió de la companyia $A$, $B$ i $C$ és del $50\%$, $20\%$ i $30\%$, respectivament. Quina probabilitat té aquesta persona d'arribar a l'hora al seu destí.
1484 \end{exercise}