Llevat la part del manual del pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica...

[apunts-acces-uib-majors-25-anys-matematiques.git] / 11-examens.tex

\chapter{Exercicis dels exàmens oficials}

Exercicis dels \href{https://estudis.uib.cat/grau/acces/mes_grans25/models_examen/}{exàmens oficials}\footnote{https://estudis.uib.cat/grau/acces/mes\_grans25/models\_examen/} des de l'any 2010 classificats per blocs.

\section{Àlgebra lineal}

\begin{exercise}[2010.a] Donada una matriu quadrada $A$, com es diu una matriu quadrada $B$ tal que $A\cdot B = B \cdot A = I$, on $I$ és la matriu identitat? Quina condició ha de satisfer la matriu quadrada $A$ perquè existeixi l'anterior matriu $B$?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2010.b] Donat el següent sistema d'equacions
\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{l}
x+3y-z=-2 \\ 
2x + \lambda y =0 \\ 
x - 2y + z =3%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
Es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Discutir el seu caràcter per a tots els valors de $\lambda \in \mathbb{R}$
\item Resoldre'l en els casos en què sigui possible
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[2011.a] Siguin $A$ i $B$ dues matrius quadrades d’ordre $2\cdot2$, tals que $A⋅B=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\ 
0 & 3%
\end{pmatrix}$. Si el determinant de la matriu $A$ val 4, $\text{det}(A) = 4$, quant val $\text{det}(B)$ el determinant de la matriu $B$?

\medskip
Donada la matriu $C= \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 \\ 
2 & 3 & 4%
\end{pmatrix}$ escriu la seva matriu transposada $C^t$.

\medskip
Escriu una matriu $X$, que no sigui la identitat, de tal manera que $X^t = X$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2011.b] Una nació importa 21.000 vehicles mensuals de les marques $X$, $Y$, $Z$, al preu de 1,2; 1,5 i 2 milions d'euros respectivament. Si el total de la importació ascendeix a 33.200 milions, i de la marca $X$ s'importa el 40\% de la suma de les altres dues marques, quants vehicles de cada marca entren en el país?
\end{exercise}


\begin{exercise}[2012.a] Determinau els valors de $k$ per als quals la matriu $A = \begin{pmatrix}
k & 1 & 0\\
k & k & k\\
0 & 1 & k
\end{pmatrix}$ admet inversa
\end{exercise}

\begin{exercise}[2012.b]Determinau les solucions del sistema d'equacions
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0\\
2 & 2 & 2\\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0\\
0\\
0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2013.a] Determinau els valors de $t$ per als quals la matriu $A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & t & 3\\
4 & 1 & -t
\end{pmatrix}$ admet inversa
\end{exercise}

\begin{exercise}[2013.b]Determinau les solucions del sistema d'equacions indicant si el sistema és o no compatible determinat
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 2 & 3\\
4 & 1 & -2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2014.a]Determinau els valors de $a$ i $b$ de manera que la matriu $A = \begin{pmatrix}
2 & a\\
-1 & b
\end{pmatrix}$ verifiqui que $A^2 = A$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2014.b]Calculau les arrels del polinomi $p(x) = x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x -6$. Expressau la descomposició factorial del polinomi anterior.
\end{exercise}


\begin{exercise}[2015.a]Determinau els valors de $a$ per als quals la matriu $A= \begin{pmatrix}
a & 1 & 1\\
1 & a & 1\\
1 & 1 & a%
\end{pmatrix}$ no admet inversa
\end{exercise}

\begin{exercise}[2015.b]Determinau si el sistema $\begin{pmatrix}
a & 1 & 1\\
1 & a & 1\\
1 & 1 & a%
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z%
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1\\
1\\
1%
\end{pmatrix}$
és o no compatible (determinat o no) quan $a=1$ i $a=-2$.
\end{exercise}


\begin{exercise}[2016.a]Els sous del pare, la mare i un fill sumats donen 16.250 euros. La mare guanya el doble que el fill. El pare guanya $2/3$ del que guanya la mare. Utilitzant un sistema d'equacions que s'ajusti al problema i resolent-ho, determinau quant guanya cadascun d'ells
\end{exercise}

\begin{exercise}[2016.b]Determinau el conjunt de valors de $x$ per als quals la matriu següent
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
x-1 & -1 & -1\\
0 & x+2 & 1\\
0 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
no admet inversa. Per a quins valors de $x$ la matriu té rang 3?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2017.a] Donades les matrius $A= \begin{pmatrix}
2 & 4\\
0 & 3
\end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 2
\end{pmatrix}$; calculau $(A+B)^t$ o $(A \cdot B)^{-1}$. Nota $A^t$ vol dir la transposada de la matriu $A$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2017.b]Resoleu el següent sistema d'equacions:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x+y+z=2+x \\ 
2x -y -3z = 4x-2 \\
-2x + y = 6 -z.%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}
\end{exercise}


\begin{exercise}[2018] Donades les matrius $A= \begin{pmatrix}
2 & 4\\
-1 & 7%
\end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix}
0 & 1\\
2 & -3%
\end{pmatrix}$, es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Calculau $A \cdot B$
\item Calculau $A^{-1}$ i $B^{-1}$
\item Calculau $(A \cdot B)^{-1}$
\item Calculau $A^{-1} \cdot B^{-1}$
\item Quina relació hi ha entre $(A \cdot B)^{-1}$ i $B^{-1} \cdot A^{-1}$?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2019.a]Determinau les matrius $A= \begin{pmatrix}
a & b\\
c & d%
\end{pmatrix}$ que satisfan l'equació matricial
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 1\\
1 & 1
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2019.b]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Donat el següent sistema d'equacions $\left\{
\begin{array}{ll}
x+3y-z & =0 \\ 
2x +ay  & = 0 \\
x - 2y + z & = 3,%
\end{array}%
\right.$
discutiu el seu caràcter en funció del paràmetre real $a$. \item Resoleu-lo quan $a=2$.\end{enumerate*}
\end{exercise}



\section{Geometria}

\begin{exercise}[2010] Una recta $r$ passa pel punt $(3,4,7)$ i és paral·lela a la recta $s$ d'equació
\begin{equation*}
s \colon \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{3} = \frac{z-4}{2}
\end{equation*}
Es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Determinar les equacions contínues i paramètriques de la recta $r$
\item Determinar l'equació d'un pla $\pi$ que és perpendicular a $r$ i passa pel punt $(1,1,1)$ 
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2011] Calculau l'equació implícita del pla que passa pel punt $P=(2,3,5)$ i és paral·l als vectors $\vec{u} = (-1,-2,-3)$ i $\vec{v} = (1,3,5)$. Calculau $n$ perquè el punt $A=(1,n,6)$ pertanyi al pla trobat

\medskip
Determinau l'equació contínua de la recta que té per vector director el vector normal del pla trobat i que passa pel punt $P=(2,3,5)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2012.a]Calculau el valor del pendent de la recta $y=mx+3$ sabent que passa pel punt d'intersecció de les rectes $y=2x+1$ i $y=x+5$
\end{exercise}

\begin{exercise}[2012.b]Determinau l'equació del pla que passa pels punts $A=(2,3,4)$, $B=(7,2,5)$ i $C=(2,3,1)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2013]Els punts $A=(0,0)$, $B=(2,1)$ i $C=(3,3)$ són vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram de vèrtexs $ABCD$. Trobeu les coordenades del vèrtex que falta, les equacions de les rectes que passen per les diagonals i les mesures d'aquestes diagonals.
\end{exercise}


\begin{exercise}[2014.a]Determinau el pla $\pi$ que és perpendicular al vector $\vec{v} = (4, -2, 2)$ i que passa pel punt $A=(1,2,4)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2014.b]Donat el punt $D=(1,1,3)$ calculau el vector $\vec{AD}$, on $A=(1,2,4)$. Està el vector $\vec{AD}$ dins el pla $\pi$, determinat a l'apartat anterior?
\end{exercise}


\begin{exercise}[2015.a]Determinau el punt d'intersecció de la recta $\left\{
\begin{array}{l}
x = 3 - 2 \lambda \\ 
y = 1 - \lambda \\ 
z = 4 + 6 \lambda%
\end{array}%
\right.$ amb el pla $x - 3y + 5z + 11 = 0$
\end{exercise}

\begin{exercise}[2015.b]Calculau $b$ en el punt $(5, -3, b)$ perquè sigui un punt del pla $x - 3y +5z +11=0$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2016] \begin{enumerate*} \item Determinau la intersecció de la recta $r \equiv \frac{x-1}{4} = \frac{y+3}{2} = \frac{z+2}{3}$ i el pla $\pi \equiv x - y + z = 7$. \item Determinau l'equació del pla que és paral·lel al pla $\pi$ i passa pel punt d'intersecció obtingut a l'apartat anterior \end{enumerate*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2017] \begin{enumerate*}\item Donat el pla $\pi \equiv x + y +z =4$, determinau la recta $r$ que passa pel punt $P=(1,2,4)$ i és perpendicular a $\pi$. \item Calculau el punt d'intersecció de $r$ amb $\pi$.\end{enumerate*}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2018.a]Calculau unes equacions paramètriques del pla d'equació implícita $\pi \equiv x + y + z = 3$, i indicau un dels seus punts i dos vectors directors independents.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2018.b]Donada la recta d'equacions paramètriques
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x = 4 + \lambda \\ 
y = 1 + 2\lambda \\ 
z = -2 - 3 \lambda%
\end{array}%
\right.
\end{equation*} 
Està la recta continguda en el pla d'equació $x + y + z = 3$?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2019]Se sap que un pla $\pi$ és perpendicular al vector $\vec{v} = (2,3,-1)$ i que passa pel punt $(2,-1,3)$. Aleshores:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Determinau l'equació del pla $\pi$
\item Determinau l'equació de la recta que és perpendicular al pla $\pi$ i passa pel punt $P=(3,0,-2)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\section{Probabilitat}


\begin{exercise}[2010] Una enquesta ha revelat que el 23\% dels habitants de Barcelona llegeix {\em La Vanguardia}, el 14\% llegeix {\em El País} i el 6\% llegeix ambdós diaris.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Quina probabilitat hi ha que un individu, triat a l'atzar i que duu {\em El País} sota l'aixella, sigui lector de {\em La Vanguardia}?
\item I, si duu {\em La Vanguardia}, quina és la probabilitat que llegeixi {\em El País}?
\item Expressau  i   interpretau  els   resultats  obtinguts  als   apartats  anteriors  enpercentatge de lectors.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[2011]En una determinada fàbrica d'automòbils, el 6\% dels cotxes tenen defectes en el motor, el 8\% tenen defectes en la carrosseria i el 2\% té defectes en ambdós [components]. Sigui $A$ el succés "el cotxe té defecte en el motor" i $B$ el succés "el cotxe té defecte en la carrosseria". Es demana:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Expressar les dades proporcionades a l'enunciat com a probabilitats relacionades anb els successos $A$ i $B$.
\item Quina és la probabilitat que un cotxe tingui almenys un defecte?
\item I la probabilitat que un cotxe no sigui defectuós?
\item Expressau i interpretau els resultats obtinguts als apartats $b)$ i $c)$ en percentatge de cotxes
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2012]Donats dos successos $A$ i $B$, se sap que $p(A) = 0,5$, $p(B) = 0,3$ i $p(A \cap B) = 0,1$.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Calculau $p(A \mid B)$ i $p(A \mid A \cap B)$
\item Calculau $p(A \cap B \mid A \cup B)$ i $p(A \mid A \cup B)$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2013]Donades tres urnes, $U1$, $U2$ i $U3$, amb la següent composició de bolles blanques i negres:

U1: 3 blanques i 2 negres; U2: 4 blanques i 2 negres; U3: 1 blanca i 3 negres,

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Calculeu la probabilitat d'extreure una bolla negra
\item Determinau la probabilitat que una  bolla negra que s'ha extret procedeixi de la segona urna
\end{enumerate}
\end{exercise}


\begin{exercise}[2014]Una caixa conté 15 boles negres i 10 boles blanques. Es demana:
\begin{enumerate}
\item Si en triam una a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui negra? I que sigui blanca?
\item Si extraiem dues boles, sense reemplaçament, quina és la probabilitat que ambdues siguin blanques?
\item Si extraiem dues boles, sense reemplaçament, calculau la probabilitat que la primera sigui blanca i la segona negra
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2015]Dels successos $A$ i $B$ se sap que $p(A) = 0,4$, $p(B) = 0,5$ i $p(A \cup B) = 0,7$. \begin{enumerate*} \item Calculau $p(A \cap B)$ i $p(A^c \cap B^c)$. \item Són els successos $A$ i $B$ independents?\end{enumerate*}. Nota: per $A^c$ denotam el succés complementari de $A$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2016.a] En una aula de dibuix hi ha 40 cadires, 30 amb respatller i 10 sense. Entre les cadires sense respatller n'hi ha 3 de noves, i entre les cadires amb respatller n'hi ha 7 de noves. Triada a l'atzar una cadira, quina és la probabilitat qie sigui nova?
\end{exercise}

\begin{exercise}[2016.b]En un experiment se sap que $p(B) = 0,3$ i $p(A \mid B) =) 0,1$. Determinau $p(A \cap B)$.
\end{exercise}

\begin{exercise}[2017]Un CEO d'una empresa balear té una reunió a Madrid i ha de triar de forma equiprobable entre dues companyies aèries. La probabilitat d'arribar amb retard amb la companyia $A$ és de $0,25$ i amb la companyia $B$ és de $0,10$.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Triada a l'atzar una companyia, quina és la probabilitat que el CEO arribi amb retard a la reunió?
\item Si el CEO ha arribat tard a la reunió, quina és la probabilitat que hagi utilitzat la companyia $A$?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2018]D'una baralla espanyola\footnote{Una baralla espanyola de 48 cartes està formada per quatre colls de 12 cartes cada coll: oros, bastos, espases i copes. Les cartes dins de cada coll van numerades de l'1 al 12. Una figura és una carta marcada amb un 10, 11 o un 12. Un as és una carta marcada amb un 1.} de 48 cartes es considera l'experiment aleatori ``extreure una carta''. Calculau la probabilitat dels successos següents:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Treure una carta que sigui un nombre primer
\item Que la carta que extraiem no sigui un as
\item Que sigui una figura d'espases
\item Treure una carta de copes
\item Treure una carta que sigui una figura i que no sigui de copes
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[2019]El 70\% dels clients d'una companyia d'assegurances d'automòbils té més de 25 anys. Un 5\% dels clients d'aquest grup té algun accident al llarg de l'any. En el cas de clients més joves de 25 any, aquest percentatge és del 20\%.
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si s'escull un assegurat a l'atzar, calculau la probabilitat que tingui algun accident aquest any
\item Si una persona va tenir algun accident, calculau la probabilitat que sigui més jove de 25 anys.
\end{enumerate}
\end{exercise}