Llevat la part del manual del pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica...

[apunts-acces-uib-majors-25-anys-matematiques.git] / 10-solucions.tex

\chapter{Solucions}

\section{Àlgebra lineal}
\subsection{Determinants}

\begin{itemize}
\item[\ref{exercici:det-1}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $13$, \item $73$ \item $-12$ \item $18$ \item $-256$ \end{enumerate*}

\item[\ref{exercici:det-7}]  \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $256$ \item $-32$ \item $296$ \item $0$ \item $-200$ \end{enumerate*}

\item[\ref{exercici:det-2}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-\left\vert \begin{array}{cc}
l & m \\ 
n & p%
\end{array}\right\vert = - (-13) = 13$, \item $36 \cdot \left\vert\begin{array}{cc}
n & p \\ 
l & m%
\end{array}\right\vert = 36 \cdot 13 = 468$ (aplicant \autoref{nota:extraccio-factor-comu} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants} dues vegades i l'apartat anterior), \item $4 \cdot (-13) = -52$  (aplicant \autoref{nota:extraccio-factor-comu} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants}) \end{enumerate*}

\item[\ref{exercici:det-3}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item sí (\autoref{item:propietat-3} de \autoref{seccio:propietats-dels-determinants}), \item sí (en els dos casos, $3 \cdot 3 \cdot \left\vert 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
3 & 3%
\end{array}
\right\vert$) \item no ($3 \cdot 3 \cdot \left\vert 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
3 & 3%
\end{array}
\right\vert \neq 3 \cdot \left\vert\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
3 & 3%
\end{array}
\right\vert$)
\end{enumerate*}

\item[\ref{exercici:det-4}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-\left\vert 
\begin{array}{cc}
m & p \\ 
n & q%
\end{array}
\right\vert = - (mq - np) = -\left\vert 
\begin{array}{cc}
m & n \\ 
p & q%
\end{array}
\right\vert = 5$\footnote{Es podria haver vist aquest resultat usant que els determinants d'una matriu quadrada i de la seva transposta són iguals (vegi's \autoref{prop:determinant-matriu-transposta} de \autoref{subseccio:propietats-matrius-determinants}).}, \item $\left\vert 
\begin{array}{cc}
m & p \\ 
n & q%
\end{array}
\right\vert + \left\vert 
\begin{array}{cc}
3n & 3q \\ 
n & q%
\end{array}
\right\vert$ $= -5 + 3 \cdot 0 = -5$, \item $-3 \cdot \left\vert 
\begin{array}{cc}
n & m \\ 
q & p%
\end{array}
\right\vert = 3 \left\vert 
\begin{array}{cc}
m & n \\ 
p & q%
\end{array}
\right\vert = -15$ \item $2 \cdot \left\vert 
\begin{array}{cc}
p & m \\ 
q & n%
\end{array}
\right\vert = 2 \cdot 5 = 10$, \item $1/m \cdot \left\vert 
\begin{array}{cc}
m & n \\ 
mp & mq%
\end{array}
\right\vert = \left\vert 
\begin{array}{cc}
m & n \\ 
p & q%
\end{array}
\right\vert = -5$, \item $5 \cdot \left\vert 
\begin{array}{cc}
m & m \\ 
p & p%
\end{array}
\right\vert = 0$
\end{enumerate*}

\item[\ref{exercici:det-9}]\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item \begin{align*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\ 
a+7 & b+7 & c+7\\
\frac{x}{2} & \frac{y}{2} & \frac{z}{2}
\end{array}
\right\vert & = \frac{1}{2} \left\vert 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\ 
a+7 & b+7 & c+7\\
x & y & z
\end{array}
\right\vert\\
& = \frac{1}{2} \cdot \left(\left\vert 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\ 
a & b & c\\
x & y & z
\end{array}
\right\vert + \left\vert 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\ 
7 & 7 & 7\\
x & y & z
\end{array}
\right\vert\right)\\
& = \frac{1}{2} \cdot (5 + 0) = \frac{5}{2}
\end{align*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
a & b & c\\
x & y & z\\
1 & 1 & 1 
\end{array}
\right\vert = - \left\vert 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\ 
x & y & z\\
a & b & c
\end{array}
\right\vert = \left\vert 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\ 
a & b & c\\
x & y & z
\end{array}\right\vert = 5
\end{equation*}

\item \begin{align*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
1-x & 1-y & 1-z\\ 
a+2x & b+2y & c+2z\\
2x & 2y & 2z
\end{array}\right\vert = & \left\vert 
\begin{array}{ccc}
1-x & 1-y & 1-z\\ 
a & b & c\\
2x & 2y & 2z
\end{array}\right\vert\\
= 2 \left\vert 
\begin{array}{ccc}
1-x & 1-y & 1-z\\ 
a & b & c\\
x & y & z
\end{array}\right\vert & = 2\left\vert 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\ 
a & b & c\\
x & y & z
\end{array}\right\vert = 10
\end{align*}

\end{enumerate}


\item[\ref{exercici:det-5}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant és igual a $x^3 - x = x(x^2 -1)=0$ si, i només si, $x=0$ o $x=\pm 1$, \item Fent Sarrus, tenim que $-2a + 2 = 0$ si, i només si, $a=1$ \item $\left\vert 
\begin{array}{ccc}
a & 1 & -1 \\ 
0 & a+6 & 3\\
a & 2 & 0
\end{array}
\right\vert$ $+$ $\left\vert 
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & -1 \\ 
0 & a+6 & 3\\
-1 & 2 & 0
\end{array}
\right\vert = (a-1) \Delta$, on $\Delta = \left\vert 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\ 
0 & a+6 & 3\\
1 & 2 & 0
\end{array}
\right\vert = (a+3)$. Per tant, $a = 1$ o $a=-3$.
\end{enumerate*}

\item[\ref{exercici:det-6}] Aplicant la regla de Sarrus, obtenim que el determinant val $x-x^3 = x (1-x^2)$. Per tant, el determinant val zero si, i només si, $x=0$ o bé $x= \pm 1$.

\item[\ref{exercici:det-8}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $x^3+1$. Per tant, $x^3 +1 = 0$ si, i només si $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

\item[\ref{exercici:det-10}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $3a+1$.

\item[\ref{exercici:det-11}] Aplicant la regla de Sarrus, tenim que el determinant val $-3a^2 + 2a + 5$. Resolent l'equació corresponent, $-3a^2 + 2a + 5 = 1$, tenim que el determinant val 0 si, i només si, $a=-1$ o $a=5/3$ (aplicant la fórmula de segon grau - vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau})

\end{itemize}

\subsection{Matrius}

\begin{itemize}
\item[\ref{exercici:matrius-1}]  Tenim que $AB=\left( 
\begin{array}{rr}
-2 & -3 \\ 
-6 & 1 \\ 
8 & 4%
\end{array}%
\right)$ en canvi $BA$ no es pot fer


\item[\ref{exercici:matrius-2}] $\left( 
\begin{array}{ccc}
33 & -12 & -15\\ 
-12 & 12 & -9\\ 
-15 & -9 & 29%
\end{array}%
\right)$

\item[\ref{exercici:matrius-8}] $m=-1$ i $n=0$

\item[\ref{exercici:matrius-3}] $X=\left( 
\begin{array}{rr}
-4 & -5 \\ 
7 & 14%
\end{array}%
\right)$ i $Y=\left( 
\begin{array}{rr}
-3 & -5 \\ 
4 & 8%
\end{array}%
\right)$


\item[\ref{exercici:matrius-15-parametre}] Les matrius són singulars per \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\alpha=-1$ i $\alpha=-4$, \item $a = \pm\sqrt{3}$, \item $a=-3$, \item $\alpha =-1/3$ i $\alpha=2$, \item $a=0$, \item sempre, \item $m=0$ i $m=1$, \item $m=0$, \item $a=0$ i $a=1$, \item mai, \item $a=0$ i $a=\pm 1$, \item $k=0$, \item $x=1$ i $x=2$, \item $a=1$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=2$ i $a=\pm \sqrt{2}$, \item $a=0$, \item $k=\pm 1$ \end{enumerate*}
\end{itemize}


\subsection{Sistemes d'equacions}

\begin{itemize}
\item[\ref{alicia-espuig-sistemes-0}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(0,1,1)$ \item $(1,2,-1)$ \item $(5,1,0)$ \item $(1/2, -1/4, 1)$ \item compatible indeterminat $(\lambda/2, 3\lambda/2, \lambda)$, amb $\lambda \in \mathbb{R}$ \item incompatible
\end{enumerate*}

\item[\ref{exer:espuig-sistemes-1}] $80$ cotxes blancs, $48$ cotxes negres i $12$ cotxes vermells

\item[\ref{exer:espuig-sistemes-2}]En Pere té $60$ €, en Joan en té $40$ i n'Àngel, $100$.

\item[\ref{exer:espuig-sistemes-3}] Un pastisset de moniato costa $2,5$ €, el de nata, $3,25$ € i el de xocolata, $1,75$ €.

\item[\ref{exer:espuig-sistemes-4}] Hi ha 3 pomes, 4 peres i 5 plàtans.

\item[\ref{xisco:exer4.21}] Inverteixen 5.000€, 5.000 € i 10.000€.

\end{itemize}

\section{Geometria}

\begin{itemize}

\item[\ref{exer:geom:antic-215}] $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{c}$, $\vec{a}$ és paral·lel a $\vec{d}$ i $\vec{c}$ és paral·lel a $\vec{d}$.

\item[\ref{exer:geom:antic-216}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $4$, \item $\sqrt{5}$, \item angle de $61,43\degree$ \end{enumerate*}

\item[\ref{exer:geom:antic-217}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $m = -2$, \item $m=\frac{2}{5}$\end{enumerate*}

\item[\ref{exer:geom:antic-218}] $\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{280}} \sim 86,57\degree$

\item[\ref{exer:geom:antic-219}] $m = \frac{5}{3}$

\item[\ref{exer:geom:antic-220}] $\sqrt{54}$

\item[\ref{exer:geom:antic-221}] $\frac{1}{\sqrt{91}} \vec{(-3, -1, 9)}$

\item[\ref{exer:geom:antic-222}] $\vec{(-2,-2,4)}$ o $\vec{(2,2,-4)}$

\item[\ref{exer:geom:antic-223}] $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] = -6$

\item[\ref{exer:geom:antic-224}] $\left\vert \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right] \right\vert = \lvert -6 \rvert = 6$

\item[\ref{exer:geom:antic-225}] $m = -4$

\item[\ref{exer:geom:antic-226}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $a = 1/\sqrt{24}$, \item $\vec{\left(-12/\sqrt{24}, 12/\sqrt{24}, -24/\sqrt{24}\right)}$ \end{enumerate*}

\item[\ref{exer:geom:antic-227}] $\vec{(2,-1,1)}$

\item[\ref{exer:geom:antic-228}] $\vec{(95/30, 57/45, -57/30)}$

\item[\ref{exer:geom:antic-229}] No estan alineats

\item[\ref{exer:geom:antic-230}] El punt és $A' = (4, -5, 4)$

\item[\ref{exer:geom:antic-231}] $a = -1$ i $b= \frac{-5}{2}$

\item[\ref{exer:geom:antic-233}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-3,2,1) + \lambda (-2,1,-1)$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{
\begin{array}{l}
x=-3-2\lambda \\ 
y=2+\lambda \\ 
z=1-\lambda%
\end{array}%
\right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+3}{-2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$, \item Forma implícita $r \equiv  \left\{
\begin{array}{l}
x+2y-1 = 0 \\ 
-y -z + 3 = 0%
\end{array}%
\right.$ \end{enumerate*}

\item[\ref{exer:geom:antic-234}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item Forma vectorial $r \equiv (-4,2,5) + \lambda (0,0,1)$, \item Forma paramètrica $r \equiv \left\{
\begin{array}{l}
x=-4 \\ 
y=2 \\ 
z=5+\lambda%
\end{array}%
\right.$ \item Forma contínua $r \equiv \frac{x+4}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5}{1}$, \item Forma implícita $r \equiv  \left\{
\begin{array}{l}
x+4 = 0 \\ 
y-2 = 0%
\end{array}%
\right.$ \end{enumerate*}

\item[\ref{exer:geom:antic-235}] No estan en el mateix pla.

\item[\ref{exer:geom:antic-236}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item S'encreuen, \item s'encreuen, \item s'encreuen, \item coincidents \end{enumerate*}

\item[\ref{exer:geom:antic-237}] Es tallen

\item[\ref{exer:geom:antic-238}] $m=12$ i $n = -3$

\item[\ref{exer:geom:antic-239}] \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \colon 5x -3y +4z -23 = 0$, \item $2x -y +3z +1 = 0$ \end{enumerate*}

\item[\ref{exer:geom:mat-especiales-1}]\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $\pi \equiv 13x -y -3z -16 = 0$, \item $\pi \equiv 3x -2y +5z -14 =0$\end{enumerate*}

\item[\ref{exer:geom:antic-240}] Per ser paral·lels $m = 6$ i $n = \frac{1}{3}$. No són coincidents.

\item[\ref{exer:geom:antic-241}] $\pi \colon 2x -y +z -5 =0$.

\item[\ref{exer:geom:antic-242}] L'equació del pla que les conté és $2x +16y-20z +38 = 0$.

\item[\ref{exer:geom:antic-243}]  $a=-2$; el pla que les conté és $\pi \colon x-y-2z -2 = 0$.

\item[\ref{exer:geom:antic-244}] $r$ és paral·lela a $\pi$.


\item[\ref{exer:geom:antic-245}] $4x +7y +z -27 =0$

\item[\ref{exer:geom:antic-246}] $x+14y+11z +12 = 0$

\item[\ref{exer:geom:antic-247}] $m=-1$; $\pi \colon -x +4y -3z +2=0$

\item[\ref{exer:geom:antic-248}] $-5x -3y +z +12 = 0$

\item[\ref{exer:geom:antic-249}] $11x -4y +5z -1 = 0$

\item[\ref{exer:geom:antic-250}] Secants.
\end{itemize}