08-apendix.tex

   1 \chapter{Recordatori de matemàtica elemental}\label{apendix}
   2
   3 Aqu\'{\i} es fa un recordatori de qualcuns continguts de matem\`{a}tiques
   4 elementals.
   5
   6 \section{Operacions amb nombres}
   7
   8 \subsection{Sumes i restes}
   9
  10 Si en una expressió només hi apareixen sumes i restes de nombres sencers, el valor final d'aquesta expressió es calcula de la manera següent:
  11
  12 \begin{enumerate}
  13 \item es sumen per separat el nombres positius i els nombres negatius
  14
  15 \item es resten els resultats de l'apartat anterior i es posa el signe del
  16 que tengui major valor absolut.
  17 \end{enumerate}
  18
  19 \begin{example}
  20 \begin{equation*}
  21 -2+8-15-3+7=15-20=-5
  22 \end{equation*}
  23 \end{example}
  24
  25 \subsection{Producte i quocient de dos nombres}
  26
  27 Per multiplicar o dividir {\em dos} nombres es segueix la regla següent: si els dos nombres tenen el mateix signe, el resultat del producte o de la divisió és positiu, i si els dos nombres tenen signes diferents, el resultat és negatiu.
  28
  29 \begin{example}
  30 \begin{equation*}
  31 -2\cdot \left( -3\right) =6
  32 \end{equation*}%
  33 \begin{equation*}
  34 20:\left( -4\right) =-5
  35 \end{equation*}
  36 \end{example}
  37
  38 \subsection{Jerarquia d'operacions}
  39
  40 Per a calcular expressions aritmètiques que tenen diverses operacions, s'aplica un ordre en la que certes operacions es calculen abans que unes altres. S'anomena \term{jerarquia d'operacions}\index{jerarquia!d'operacions} a l'ordre en el que s'efectuen les operacions. Aquesta és:
  41
  42 \begin{enumerate}
  43 \item Parèntesis
  44 \item Potències
  45 \item Productes i divisions
  46 \item Sumes i rectes
  47 \end{enumerate}
  48
  49 \begin{example}Calculeu
  50 \begin{equation*}
  51 3 + 4 \cdot 5
  52 \end{equation*}
  53
  54 \bigskip
  55 Per a calcular aquesta expressió, hem de calcular en primer lloc el producte, encara que l'operació no sigui la primera en aparèixer. En posterioritat, calcularíem la suma. Per tant,
  56
  57 \begin{equation*}
  58 \begin{split}
  59 3+4 \cdot 5 & = 3 + 20\\
  60                     & = 23
  61 \end{split}
  62 \end{equation*}
  63
  64
  65 \end{example}
  66
  67 \begin{example}Calculeu
  68 \begin{equation*}
  69 \left(3 + 4\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(3^2 - 5\cdot 2\right)^2 + 2^2
  70 \end{equation*}
  71
  72 En primer lloc, calcularem els parèntesis. S'ha de dir que com que el resultat d'un no influeix al resultat de l'altre, llavors es poden calcular de forma simultània. En general, podem fer això sempre que les subexpressions siguin sumands d'una expressió més general (tècnicament es diuen \term{termes}\index{termes}). Així, calcularíem l'expressió numèrica de la forma:
  73
  74 \begin{equation*}
  75 \begin{split}
  76 \left(3 + 4\right) \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(3^2 - 5\cdot 2\right)^2 + 2^2 & = 7 \cdot 5 + \frac{1}{2} - \left(9-10\right) + 4\\
  77    & = 35 + \frac{1}{2} - (-1) + 4\\
  78    & = 35 + \frac{1}{2} + 1 +4 \\
  79    & = 40 + \frac{1}{2} \\
  80    & = \frac{81}{2}
  81 \end{split}
  82 \end{equation*}
  83
  84 \end{example}
  85
  86
  87 \subsection{Càlcul del mínim comú múltiple}
  88
  89 \begin{definition}[múltiple d'un nombre] Donat dos nombres $a$, $b$, direm que $b$ és un \term{múltiple}\index{múltiple} de $a$ si, i només si, existeix un altre nombre $r$ tal que $a \cdot r = b$ o dit d'altra manera si quan dividim $b$ entre $a$ el reste és 0.
  90 \end{definition}
  91
  92 \begin{example}60 és múltiple de 2 perquè $2 \cdot 30 = 60$.  També és múltiple de 3, 5, 10, 20, 30 i 60. Però $60$ no és múltiple de $40$ perquè $60$ entre $40$ no dóna reste 0.
  93 \end{example}
  94
  95 Es pot fer una llista de {\em tots} els múltiples d'un nombre multiplicant aquest nombre consecutivament per $1$, $2$, etc. Per exemple, els múltiples de $60$ són: $60 \cdot 1 = 60$, $60 \cdot 2 = 120$, $60 \cdot 3 = 180$, etc.
  96
  97 \begin{definition}[mínim comú múltiple] Donats els nombres $a_1, a_2, \ldots, a_r$ el seu \term{mínim comú múltiple}\index{mínim comú múltiple} és el menor de tots els seus múltiples comuns. El mínim comú múltiple s'abreuja mcm.
  98 \end{definition}
  99
 100 \begin{example}\label{exemple-llista-mcm} Els nombres 10 i 12 tenen com a mínim comú múltiple. La raó és que:
 101 \begin{itemize}
 102 \item Els múltiples de 10 són: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120, \ldots
 103 \item Els múltiples de 12 són: 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, \ldots
 104 \end{itemize}
 105 Per tant, els múltiples comuns són $60$, $120$, etc. Llavors $60$ és el menor d'aquests múltiples i, per tant, és el mcm.
 106 \end{example}
 107
 108 Existeixen diversos procediments per a calcular el mínim comú múltiple de diversos nombres:
 109
 110 \begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la llista de múltiples] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
 111 \begin{enumerate}
 112 \item Es llisten els múltiples de cada nombre
 113 \item Es selecciona el múltiple més petit
 114 \end{enumerate}
 115 \end{algorithm}
 116
 117 L'exemple anterior (\autoref{exemple-llista-mcm}) exemplifica aquest procediment.
 118
 119 S'ha de dir que aquest procediment és molt lent, sobretot per nombres grans.
 120
 121 \begin{algorithm}[càlcul del mcm amb la factorització de nombres] Pel càlcul del mcm dels nombres $a_1$, $a_2$, \ldots, $a_r$ es procedeix de la manera següent:
 122 \begin{enumerate}
 123 \item Es factoritzen els nombres en factors primers\footnote{La llista de primers és infinita, però els sis primers primers són: 2, 3, 5, 7, 11, 13.}
 124 \item El mínim comú múltiple s'obté prenent tots els factors elevats al màxim exponent
 125 \end{enumerate}
 126 \end{algorithm}
 127
 128 Aquest és el procediment {\em estàndard} per al càlcul del mínim comú múltiple.
 129
 130 \begin{example} Calculeu el mcm de 20, 12 i 100:
 131 \begin{enumerate}
 132 \item Factoritzem els nombres
 133 \item Per tant, $20 = 2^2 \cdot 5$, $12 = 2^2 \cdot 3$ i $100 = 2^2 \cdot 5^2$
 134 \item Llavors el mcm és igual a $2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$
 135 \end{enumerate}
 136 \end{example}
 137
 138 \begin{algorithm}[càlcul del mcm de forma ràpida per nombres petits] Aquest algorisme és ràpid sobretot per nombres petits. Si $a$, $b$, $c$ i $d$ són els nombres dels quals volem trobar el mínim comú múltiple, aleshores:
 139 \begin{enumerate}
 140 \item Es selecciona el nombre més gran. Suposem que és $a$
 141 \item Es generen els seus múltiples
 142 \item Per a cada múltiple es comprova si aquest és múltiple dels altres nombres, és a dir, si la seva divisió dóna exacte
 143 \item Si és així, llavors aquest és el mínim comú múltiple. En cas contrari, es genera el múltiple següent de $a$.
 144 \end{enumerate}
 145 \end{algorithm}
 146
 147 El més usual és que necessitem el mínim comú múltiple per resoldre equacions de primer grau que tenguin fraccions. En aquest cas però no és necessari calcular el mínim comú múltiple. Bastaria calcular un múltiple (vegi's \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}).
 148
 149 \begin{exercise} Calculeu el mínim comú múltiple per als conjunts de nombres següents:
 150
 151 \begin{multicols}{3}
 152 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 153 \item $20$ i $8$
 154 \item $12$ i $42$
 155 \item $8$ i $12$
 156 \item $12$ i $21$
 157 \item $30$ i $65$
 158 \item $10$ i $12$
 159 \item $20$ i $36$
 160 \item $15$, $20$ i $30$
 161 \item $6$, $8$ i $12$
 162 \item $30$, $45$ i $60$
 163 \item $12$, $18$, $20$ i $32$
 164 \item $17$, $68$ i $34$
 165 \item $10$, $105$ i $22$
 166 \item $25$, $75$ i $200$
 167 \end{enumerate}
 168 \end{multicols}
 169
 170 \end{exercise}
 171
 172 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 40, \item 84, \item 24, \item 84, \item 390, \item 60, \item 180, \item 60, \item 24, \item 180, \item 1440, \item 68, \item 2310, \item 600 \end{enumerate*} \end{solution*}
 173
 174 \section{Equacions de primer grau}\label{repas-equacions-de-primer-grau}
 175
 176 Per resoldre una \term{equació de primer grau}\index{equació!de primer grau} es segueixen les passes de
 177 l'exemple següent:
 178
 179 \begin{example}
 180 Resol l'equació%
 181 \begin{equation*}
 182 5x-\frac{3x+1}{8}=x+\frac{5x-3}{4}-\frac{3}{2}
 183 \end{equation*}
 184
 185 Resolució:
 186 \begin{enumerate}
 187 \item Primer:
 188 $$\dfrac{5x}{1}-\dfrac{3x+1}{8}=\dfrac{x}{1}+\dfrac{5x-3}{4}-\dfrac{3}{2}$$
 189
 190 \item Segon (càlcul del mcm): $mcm\left( 8,4,2\right) =8$
 191
 192 \item Tercer (reducció a comú denominador):
 193 $$\dfrac{40x}{8}- \dfrac{ 3x+1}{8} =\dfrac{8x}{8}+\dfrac{2\cdot \left(5x-3\right)}{8} -\dfrac{12}{8}$$
 194
 195 \item Quart (eliminem els denominadors):
 196 $$40x-\left( 3x+1\right) =8x+2\cdot \left(5x-3\right) -12$$
 197
 198 \item Cinquè (eliminem els parèntesis):
 199 $$40x-3x-1=8x+10x-6-12$$
 200
 201 \item Sisè (transposició de termes):
 202 $$40x-3x-8x-10x=-6-12+1$$
 203
 204 \item Setè (operar):
 205 $$19x=-17$$
 206
 207 \item Vuitè (aïllar l'incògnita):
 208 $$x=\dfrac{-17}{19}$$
 209 \end{enumerate}
 210
 211 \end{example}
 212
 213 \begin{remark}Normalment es passa del segon al cinquè pas quan es té suficient soltura.
 214 \end{remark}
 215
 216 \begin{remark}D'altra banda, es pot no calcular el mínim comú múltiple dels denominadors i només calcular-ne {\em un} múltiple. Per exemple es podria calcular el múltiple sorgit de la multiplicació dels denominadors, o sigui, $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$. I realitzar tots els càlculs amb 64 en comptes de 8. L'equació resultant tendria les mateixes solucions, encara que els nombres sorgits (dels passos tercer al vuitè) serien majors.
 217 \end{remark}
 218
 219 \begin{exercise}\label{matex-1}Resoleu les equacions següents:
 220 \begin{multicols}{3}
 221 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 222 \item $x+1 = 5$
 223 \item $x-10 = 50$
 224 \item $3x-10 = 30$
 225 \item $5x-2 = 13$
 226 \item $\frac{x}{2} = 8$
 227 \item $\frac{x}{2} + 1 = 8$
 228 \item $\frac{x}{3} -4 = 8$
 229 \item $2x+1 = 7-x$
 230 \item $3x+10 = 22+x$
 231 \item $4x+2=10+2x$
 232 \item $5x-2 = 13 + 3x$
 233 \item $2x+1 = 5$
 234 \item $2x+10 = 2 (7-x)$
 235 \end{enumerate}
 236 \end{multicols}
 237 \end{exercise}
 238
 239 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 5, \item 60, \item $\frac{4}{3}$, \item 3, \item 16, \item 14, \item 36, \item 2, \item 6, \item 4, \item $\frac{15}{2}$, \item 2, \item 0 \end{enumerate*} \end{solution*}
 240
 241
 242 \begin{exercise}\label{matex-2}Resoleu les equacions següents:
 243 \begin{multicols}{2}
 244 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 245 \item $-(3x + 10) = 1 - (21 + x)$
 246 \item $2(x+2) = 24 - 2x$
 247 \item $2(x-2) = 3(1-x) - 7$
 248 \item $1-(3x+10) = 1 - (14-x)$
 249 \item $3-2(x-2) = -5 - 3(1-x)$
 250 \end{enumerate}
 251 \end{multicols}
 252 \end{exercise}
 253
 254 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 5, \item 0, \item 1, \item 3  \end{enumerate*} \end{solution*}
 255
 256 \begin{exercise}\label{matex-3}Resoleu les equacions següents:
 257 \begin{multicols}{2}
 258 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 259 \item $(x+2) - (x+3) = 2 - 3(1-x)$
 260 \item $2x+1 + (2x-3) = 2 + 3(1-x)$
 261 \item $x+1 + (3-x) = -3 (1-2x) -5$
 262 \item $2(x+2) - (x+3) = 1 -3x$
 263 \item $-(2x+1) + (2x-3) = -2 -3 (1-x)$
 264 \item $3x - (x-2) = -3(1+x) + 20$
 265 \end{enumerate}
 266 \end{multicols}
 267 \end{exercise}
 268
 269 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item 0, \item 1, \item 2, \item 0, \item 1, \item 2 \end{enumerate*} \end{solution*}
 270
 271 \section{Extracció de factor comú}\label{annex:factor-comu}
 272
 273 El factor comú d'una expressió pot ser un nombre, una lletra, o bé ambdues coses:
 274
 275 \begin{example}
 276 \begin{eqnarray*}
 277 -8+12-6+2 &=&2\cdot \left( -4+6-3+1\right) \\
 278 && \\
 279 -x^{5}+4x^{3}-x^{2} &=&x^{2}\cdot \left( -x^{3}+4x-1\right) \\
 280 && \\
 281 5x^{6}-10x^{4}-15x^{3} &=&5x^{3}\cdot \left( x^{3}-2x-3\right)
 282 \end{eqnarray*}
 283 \end{example}
 284
 285
 286
 287
 288 \section{Equacions de segon grau}\label{annex:equacions-segon-grau}
 289
 290 Les \term{equacions de segon grau}\index{equacions!de segon grau} són aquelles que involucren una $x^2$. Formalment es formen igualant un polinomi de segon grau a zero (vegeu \autoref{annex:polinomis}).
 291
 292 Les equacions de segon grau són de la forma%
 293 \begin{equation}\label{eq:formula-eq-segon-grau}
 294 ax^{2}+bx+c=0, \text{ amb }a\neq 0
 295 \end{equation}%
 296 La solució d'aquestes equacions es calcula amb la fórmula següent:%
 297 \begin{equation}\label{eq:formula-de-segon-grau}
 298 x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
 299 \end{equation}
 300
 301 \begin{example}La solució de l'equació $x^{2}-5x+6=0$ és%
 302 \begin{eqnarray*}
 303 x &=&\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right) ^{2}-4\cdot 1\cdot 6}%
 304 }{2\cdot 1}=\frac{5\pm \sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2} \\
 305 && \\
 306 &=&\frac{5\pm 1}{2}=\left\{
 307 \begin{array}{c}
 308 \frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3 \\
 309 \\
 310 \frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2%
 311 \end{array}%
 312 \right.
 313 \end{eqnarray*}
 314 \end{example}
 315
 316 Les \term{equacions incompletes}\index{equacions!incompletes de segon grau} de segon grau, és a dir, aquelles en les quals $b=0$ o $c=0$ (o tots dos valen zero) es poden resoldre d'una altra manera, encara que també es poden resoldre amb la fórmula de segon grau. Aquí en donem dos exemples (les equacions de segon grau que tenen tots els termes diferents de zero, s'anomenen \term{equacions completes}\index{equacions!completes de segon grau}).
 317
 318 \begin{example}
 319 \begin{equation*}
 320 -3x^{2}+12=0;\text{ }-3x^{2}=-12;\text{ }x^{2}=\frac{-12}{-3}=4;\text{ }%
 321 x=\pm \sqrt{4}=\pm 2
 322 \end{equation*}
 323 \end{example}
 324
 325 \begin{example}
 326 \begin{equation*}
 327 2x^{2}-5x=0;\text{ }x\left( 2x-5\right) =0\text{ }\left\{
 328 \begin{array}{l}
 329 x=0 \\
 330 \\
 331 2x-5=0;\text{ }x=\frac{5}{2}%
 332 \end{array}%
 333 \right.
 334 \end{equation*}
 335 \end{example}
 336
 337 En general, les equacions de segon grau poden no ser de la forma \eqref{eq:formula-eq-segon-grau}, encara que sempre es poden reduir a aquesta forma.
 338
 339 \begin{example}Resoleu l'equació $-3x^2 -2x + 15 = -15 +2x +2x^2 +x$.
 340
 341 Aquesta equació és equivalent a $-3x^2 -2x + 15 +15 -2x -2x^2 -x = 0$. Sumant els termes semblants, tenim que això és equivalent a $-5x^2 -5x +30 = 0$. Aplicant la fórmula de segon grau \eqref{eq:formula-de-segon-grau}, obtenim que les solucions són $2$ i $-3$.
 342 \end{example}
 343
 344
 345 \begin{exercise}\label{meus-eq-2n-grau-2}Resoleu les equacions de 2n grau següents:
 346 \begin{multicols}{2}
 347 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 348 \item $4x^2 + 2x - 4 = -2x +4$
 349 \item $9x^2 - 63 x + 90 = 0$
 350 \item $-x^2 - 3x + 10 = x^2+3x-10$
 351 \item $-2x^2 + 4x -3 = -2x + x^2$
 352 \item $2x^2 + 4x +1 = -1$
 353 \item $2x + 1 = -2 -x^2$
 354 \end{enumerate}
 355 \end{multicols}
 356 \end{exercise}
 357
 358 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item  $-2$ i $1$, \item $2$ i $5$, \item $-5$ i $2$, \item $1$, \item $-1$, \item no té solució \end{enumerate*} \end{solution*}
 359
 360
 361 \begin{exercise}\label{meus-eq-2n-grau-1}Resoleu les equacions de 2n grau següents:
 362 \begin{multicols}{2}
 363 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 364 \item $3x^2 + 2x = 5x -2$
 365 \item $10x - 8x = x^2 -5$
 366 \item $9x - 8 = 7 -x^2$
 367 \item $8x^2 - 2 = 10x^2 -5x$
 368 \item $(x-2)^2 -5 = 10$
 369 \item $3(x+4)^2 = 10$
 370 \item $(x-2)^2 - 8 = 20x$
 371 \item $5(x-1)^2 = 2$
 372 \item $(x-1)^2 = -4$
 373 \item $(x-5)^2 = 5x^2$
 374 \end{enumerate}
 375 \end{multicols}
 376 \end{exercise}
 377
 378 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item no té solucions, \item  no té solucions, \item $-\frac{9}{2} \pm\frac{\sqrt{141}}{2}$, \item $2$ i $\frac{1}{2}$, \item $2\pm\sqrt{15}$, \item $-4 \pm \sqrt{\frac{10}{3}}$, \item $6 \pm 2\sqrt{37}$, \item $1 \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$, \item no té solució, \item $-\frac{5}{4} \pm 5 \frac{\sqrt{5}}{4}$ \end{enumerate*} \end{solution*}
 379
 380
 381 \begin{remark}Recordeu que $(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
 382 \end{remark}
 383
 384
 385 \section{Arrels de polinomis}\label{annex:polinomis}
 386
 387 \begin{definition}[monomi]Un \term{monomi}\index{monomi} és una expressió algebraica formada pel producte d'un nombre real i una o diverses lletres. Al nombre se l'anomena \term{coeficient}\index{coeficient!d'un monomi} del monomi; a la part que conté les lletres de l'anomena \term{part literal}\index{part literal d'un monomi}. Les diverses lletres s'anomenen \term{variables}\index{variables}.
 388 \end{definition}
 389
 390 \begin{example}Les expressions següents són monomis:
 391 \begin{itemize}
 392 \item $5x^3$
 393 \item $2x^2y^5$
 394 \item $-4xy$
 395 \item $\frac{-6}{5}x^4$
 396 \item $6x$
 397 \item $8$
 398 \end{itemize}
 399 En canvi aquestes expressions no són monomis:
 400 \begin{itemize}
 401 \item $\frac{5}{x}$
 402 \item $5x^3\sqrt{y}$
 403 \item $3x^{-2}$
 404 \end{itemize}
 405 \end{example}
 406
 407 \begin{definition}[polinomi]Un \term{polinomi}\index{polinomi} és una expressió algebraica formada per la suma de diversos monomis. Els monomis que formen part del polinomi s'anomenen \term{termes}\index{termes!d'un polinomi}.
 408 \end{definition}
 409
 410
 411 Aquí només veurem polinomis d'una variable, usualment $x$, com per exemple $4x^2 - 5x + 2$ o $5x^4 + 2x^2$.
 412
 413 \begin{definition}[grau d'un polinomi]El \term{grau}\index{grau!d'un polinomi} d'un polinomi d'un variable és el major exponent de la variable de cadascun dels seus termes
 414 \end{definition}
 415
 416 \begin{example}El grau del polinomi $4x^5 - 2^3 - 5x + 8$ és 5 i el grau de $x^{10} - 2x^2 - 5x$ és 10.
 417 \end{example}
 418
 419 \begin{definition}[terme independent d'un polinomi]El \term{terme independent} d'un polinomi\index{terme independent!d'un polinomi} és el monomi de grau 0 del polinomi. Pot no tenir-ne.
 420 \end{definition}
 421
 422 \begin{example}El terme independent del polinomi $4x^3- 2x^2 + 5x - 7$ és $-7$; en canvi el polinomi $4x^3 - 2x^2 - 5x$ no en té.
 423 \end{example}
 424
 425 \begin{notation}Els polinomis en una variable $x$, es denoten per $p(x)$, $q(x)$, etc. que es llegeix ``$p$ de $x$'', ``$q$ de $x$'', etc. Així per exemple si $p(x) = 5x^2 - 2x$ i $q(x) = x^2-2x$, tenim que la seva suma és $p(x) + q(x) = 6x^2 - 4x$.
 426 \end{notation}
 427
 428 Les \term{operacions amb polinomis}\index{operacions!de polinomis} bàsiques són:
 429 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 430 \item Suma. Per sumar dos polinomis, es sumen els termes del mateix grau. Així per exemple si $p(x) = x^5 -6x^3 +8x^2 -10x +7$ i $q(x) = -7x^5 + 3x^4 +6x^3 -x^2 -4x-15$, la seva suma és $p(x) + q(x) = -6x^5 +3x^4 +7x^2 -14x -8$. Aquesta suma es pot fer verticalment:
 431
 432 \begin{equation*}
 433 \begin{tabular}{rrrrrr}
 434 $x^{5}$ &  & $-6x^{3}$ & $+8x^{2}$ & $-10x$ & $+7$ \\
 435 &  &  &  &  &  \\
 436 $-7x^{5}$ & $+3x^{4}$ & $+6x^{3}$ & $-x^{2}$ & $-4x$ & $-15$ \\ \hline
 437 $-6x^{5}$ & $+3x^{4}$ &  & $+7x^{2}$ & $-14x$ & $-8$%
 438 \end{tabular}%
 439 \end{equation*}
 440
 441 \item Resta. La resta $p(x) - q(x)$ es calcula sumant el polinomi $p(x)$ amb el polinomi $q(x)$ amb tots els coeficients canviats, és a dir, $p(x) + (-q(x))$. Si $p(x) =x^5-6x^3+8x^2-10x+7$ i $q(x) = x^5-7x^4+9x^3+x^2-6x$, llavors $p(x) - q(x) = p(x) + (-q(x)) = x^5 -6x^3 +8x^2 -10x +7 - x^5 +7x^4 -9x^3 -x^2 +6x = 7x^4-15x^3+7x^2-4x+7$.
 442
 443 També es pot fer verticalment:
 444 \begin{equation*}
 445 \begin{tabular}{rrrrrr}
 446 $x^{5}$ &  & $-6x^{3}$ & $+8x^{2}$ & $-10x$ & $+7$ \\
 447 &  &  &  &  &  \\
 448 $-x^{5}$ & $+7x^{4}$ & $-9x^{3}$ & $-x^{2}$ & $+6x$ &  \\ \hline
 449 & $+7x^{4}$ & $-15x^{3}$ & $+7x^{2}$ & $-4x$ & $+7$%
 450 \end{tabular}%
 451 \end{equation*}
 452 \item Producte de polinomis. Es calcula multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del segon: si $p(x) = 7x^2 -4x +7$ i $q(x) = 2x^4 -5x^3 +x^2$, llavors $p(x) \cdot q(x)$ és igual a:
 453
 454 \begin{multline*}
 455 \left(7x^2-4x+7)\cdot (2x^4-5x^3+x^2\right)= \\
 456 \\
 457 14x^6-35x^5+7x^4-8x^5+20x^4-4x^3+14x^4-35x^3+7x^2= \\
 458 \\
 459 14x^6-43x^5+41x^4-39x^3+7x^2
 460 \end{multline*}
 461
 462 \item No tractarem la divisió de polinomis en general. Només tractarem el  \term{mètode de Ruffini}\index{mètode de Ruffini}, que permet dividir un polinomi qualsevol $p(x)$ per un polinomi de la forma $x-a$, amb $a$ un nombre enter positiu. Veurem un exemple: volem dividir el polinomi $p(x) = x^3 - x^2 -4x -4$ per $x-1$:
 463
 464 \begin{enumerate}
 465 \item En primer lloc, escrivim els coeficients del polinomi $p(x)$ de major
 466 a menor grau a una taula, posant-hi zeros allà on el polinomi no tengui termes:%
 467 \begin{equation*}
 468 \begin{tabular}{r|rrrr}
 469 & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
 470 & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
 471 $1$ &  & $1$ & $2$ & $-2$ \\ \hline
 472 & $1$ & $2$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$-6$}%
 473 \end{tabular}%
 474 \end{equation*}%
 475
 476 \item El primer coeficient del polinomi $p(x)$ baixa sempre directament, tal com indica la fletxa,
 477
 478 \item A continuació, el divisor (l'$1$), que l'hem escrit a l'esquerra
 479 de la línea vertical, multiplica el primer coeficient ($1\cdot 1=1$) i
 480 el resultat es col·loca davall del segon coeficient del polinomi,
 481
 482 \item Llavors es suma el resultat d'aquesta multiplicació amb el segon
 483 coeficient del polinomi ($1+1=2$)
 484
 485 \item Ara, el divisor multiplica aquesta suma i el resultat es
 486 col·loca davall del tercer coeficient del polinomi $p(x)$
 487
 488 \item Es repeteix aquest procés fins que no quedin coeficients.
 489
 490 \item El darrer nombre és el reste de la divisió (en aquest cas $-6$); el quocient de la divisió l'hem d'extreure dels nombres del final de la taula $1 \; 0 \; -4 \rightarrow x^2 + 0x -4$. El grau del polinomi quocient és sempre un menys que el grau de $p(x)$ (en aquest cas $3-1 = 2$).
 491
 492 \item Per tant, la divisió de $p(x) = x^3 - x^2 -4x -4$ per $x-1$ dóna com a quocient $x^2 -4$ i reste $-6$; en altres paraules $(x^2 -4)(x-1) + (-6) = x^3 - x^2 -4x -4$.
 493 \end{enumerate}
 494
 495 \end{enumerate}
 496
 497 El mètode de Ruffini serveix per a factoritzar un polinomi en polinomis irrecductibles i per a trobar les seves arrels enteres.
 498
 499 \begin{definition}[arrel d'un polinomi]Donat un polinomi $p(x)$, un nombre $a$ és una \term{arrel}\index{arrel d'un polinomi} seva si substituïnt la $x$ pel valor de $a$, dóna 0.
 500 \end{definition}
 501
 502 \begin{theorem}[teorema fonamental de l'Àlgebra]\label{thm:fonamental-algebra}Donat un polinomi, el nombre d'arrels reals d'aquest polinomi és com a màxim el seu grau
 503 \end{theorem}
 504
 505 \begin{example}Són arrels de $p(x) = 2 x^2 - 7 x + 6$ són $2$ i $\frac{3}{2}$, ja que l'equació de segon grau $2 x^2 - 7 x + 6 = 0$ té com a solucions aquests nombres (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}); en altres paraules $p(\frac{3}{2}) = 0$ i $p(2) = 0$.
 506 \end{example}
 507
 508 En general trobar les arrels d'un polinomi és un problema irresoluble, però existeix una manera de trobar les seves arrels enteres.
 509
 510 \begin{algorithm}[procediment per trobar les arrels enteres d'un polinomi]Donat un polinomi $p(x)$, les arrels
 511
 512 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 513 \item Si té terme independent, calculam els seus divisors enters
 514 \item Per a cada divisor $d$ del terme independent, dividim $p(x)$ per $x-d$. Si el reste de la divisió és 0, llavors $d$ és una arrel de $p(x)$. Si el reste de la divisió no és 0, llavors $d$ no és una arrel de $p(x)$.
 515 \item En cas de no tenir terme independent, llavors $0$ és una arrel i podem factoritzar $p(x)$ com un polinomi $q(x)$ multiplicat per $x^r$, per qualque $r > 0$. En aquest cas, apliquem l'anterior a $q(x)$: totes les arrels de $q(x)$ ho seran de $p(x)$.
 516 \end{enumerate}
 517 \end{algorithm}
 518
 519 \begin{example}\label{example:trobar-arrels-senceres}Trobeu les arrels del polinomi $p(x) = x^3 +x^2 -4x -4$.
 520
 521 \begin{enumerate}
 522 \item Els divisors enters de $-4$ són $1$, $-1$, $2$, $-2$, $4$, $-4$.
 523 \item Provam de fer Ruffini amb $p(x)$ i $x-1$:
 524 \begin{equation*}
 525 \begin{tabular}{r|rrrr}
 526 & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
 527 & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
 528 $\mathbf{1}$ &  & $1$ & $2$ & $-2$ \\ \hline
 529 & $1$ & $2$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$-6$}%
 530 \end{tabular}%
 531 \end{equation*}%
 532 Com que el reste és $-6$ vol dir que 1 no és arrel de $p(x)$
 533 \item Ara provem amb $-1$:
 534 \begin{equation*}
 535 \begin{tabular}{r|rrrr}
 536 & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
 537 & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
 538 $\mathbf{-1}$ &  & $-1$ & $0$ & $4$ \\ \hline
 539 & $1$ & $0$ & $-4$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
 540 \end{tabular}%
 541 \end{equation*}%
 542 Ara sí que hem obtingut un 0 al final. Per tant, $-1$ és arrel de $p(x)$.
 543 \item Ara provem de fer Ruffini amb 2:
 544 \begin{equation*}
 545 \begin{tabular}{r|rrrr}
 546 & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
 547 & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
 548 $\mathbf{2}$ &  & $2$ & $6$ & $4$ \\ \hline
 549 & $1$ & $3$ & $2$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
 550 \end{tabular}%
 551 \end{equation*}%
 552 Per tant, $2$ és arrel de $p(x)$.
 553 \item Igualment, si aplicam el mètode de Ruffini amb $-2$ també tendrem reste 0, pel que $-2$ també és una arrel.
 554 \begin{equation*}
 555 \begin{tabular}{r|rrrr}
 556 & $1$ & $1$ & $-4$ & $-4$ \\
 557 & $\downarrow $ & $+$ & $+$ & $+$ \\
 558 $\mathbf{-2}$ &  & $-2$ & $2$ & $4$ \\ \hline
 559 & $1$ & $-1$ & $-2$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
 560 \end{tabular}%
 561 \end{equation*}%
 562 \item Com que ja tenim 3 arrels, ja no hem de intentar trobar-ne més (\autoref{thm:fonamental-algebra}).
 563 \end{enumerate}
 564 \end{example}
 565
 566 \begin{remark}En general, l'ordre en el que provem si els divisors senzers són o no arrels enteres és indistint
 567 \end{remark}
 568
 569 \begin{remark}Pot ser que un polinomi no tengui arrels enteres però sí arrels reals: per exemple $x^2 -2$ no té arrels enteres (proveu de fer Ruffini per als divisors de $-2$) però sí té arrels reals ($\sqrt{2}$ i $-\sqrt{2}$).
 570
 571 També pot ser que no tengui arrels reals: per exemple $x^2 + 2$ no té arrels reals (es veu aplicant la fórmula de segon grau).
 572 \end{remark}
 573
 574 \begin{exercise}Trobeu les arrels dels polinomis següents:
 575 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 576 \item $x^4 + 3x^3 - 40x^2$
 577 \item $2x^3 - x^2 -118 x -315$
 578 \item $x^5 - 2 x^4 - 3 x^2 + 6 x$
 579 \item $x^4 + x^3 - 8 x^2 - 2 x + 12$
 580 \item $3 x^4 - 12 x^3 - 33 x^2 + 90 x$
 581 \item $x^4 + 28 x^3 - 60 x^2$
 582 \end{enumerate}
 583 \end{exercise}
 584
 585 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-8$, $0$ i $5$, \item $-5$, $\frac{-7}{2}$ i $9$, \item $0$, $2$ i $\\sqrt[3]{3}$, \item $\pm \sqrt{2}$, $2$ i $-3$, \item $2$, $-3$, $0$ i $5$, \item $0$ (doble), $2$ i $-30$ \end{enumerate*} \end{solution*}
 586
 587
 588 \begin{exercise}Resoleu les equacions següents:
 589 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 590 \item $x^4 + 3x^3 - 40x^2  = 0$
 591 \item $2x^3 - x^2 -118 x = 315$
 592 \item $x^3 - \frac{5x^2}{2} + x = 0$
 593 \item $12x^4 -39x^2 + 27 = 0 $
 594 \end{enumerate}
 595 \end{exercise}
 596
 597 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $-8$, $0$ i $5$, \item $5$, $\frac{-7}{2}$ i $9$,  \item $\frac{1}{2}$, $2$ i $0$, \item $\pm\frac{3}{2}$, $\pm 1$.\end{enumerate*} \end{solution*}
 598
 599 \section{Factorització de polinomis}
 600
 601 \begin{definition}[polinomi irreductible]Un polinomi és \term{irreductible}\index{polinomi!irreductible} si no es pot escriure com a producte de polinomis de menor grau. En altre cas, s'anomena \term{reductible}\index{polinomi!reductible}
 602
 603 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 604 \item Els polinomis de primer grau són irreductibles. És a dir, tots els polinomis de l'estil $ax+b$ són irreductibles. Per exemple $2x-4$ i $x+4$ són irreductible.
 605 \item Els polinomis de segon grau són irreductibles si, i només si, no tenen cap arrel real. És a dir $p(x) = ax^2 + bx + c$ és irreductible si, i només si, l'equació $ax^2 +bx+c = 0$ no té solució (vegeu \autoref{annex:equacions-segon-grau}). Per exemple, $x^2 + 9$ és irreductible, però $x^2 -9$ i $x^2 -2x +1$ són reductibles.
 606 \item Els polinomis de grau major o igual que 3 mai són irreductibles.
 607 \end{enumerate}
 608 \end{definition}
 609
 610 \begin{definition}[factorització de polinomis]\term{Factoritzar}\index{factoritzar!un polinomi} un polinomi $p(x)$ és descompondre $p(x)$ com a producte de polinomis irreductibles.
 611 \end{definition}
 612
 613 No existeix cap procediment per a factoritzar polinomis, ja que és equivalent a trobar arrels reals de polinomis de qualsevol grau. Encara que existeix un algorisme per factoritzar polinomis trobant arrels enteres.
 614
 615 \begin{algorithm}[procediment per factoritzar els polinomis]Donat un polinomi $p(x)$, s'han de seguir les passes següents
 616 \begin{enumerate}
 617 \item Treure factor comú, si és possible (vegeu \autoref{annex:factor-comu})
 618 \item Trobarem els divisors del terme independent
 619 \item Per a cada divisor $d$ del terme independent, provarem si $d$ és arrel del polinomi $p(x)$
 620 \item Si $d$ és arrel del polinomi, llavors $p(x)$ es pot expressar com a producte de $(x-d)$ i un polinomi $q(x)$ de grau $d-1$. En aquest cas, repetirem aquest algorisme des del primer pas amb el polinomi $q(x)$..
 621
 622 Si $d$ no és arrel, seguirem provant amb els altres divisors.
 623 \item Si cap divisor del terme independent és arrel, llavors no podem factoritzar $p(x)$.
 624 \item Al final, haurem de d'ajustar el coeficient de major grau per a què quedi el coeficient del terme de major grau de $p(x)$.
 625 \end{enumerate}
 626 \end{algorithm}
 627
 628 \begin{example}
 629 Factoritzem el polinomi $30x^{4}+35x^{3}-45x^{2}+10x$.
 630
 631 \begin{enumerate}
 632 \item Podem treure factor comú perquè tots el termes són múltiples de $5$ i de $x$:%
 633 \begin{equation*}
 634 5x(6x^3+7x^2-9x+2)
 635 \end{equation*}
 636
 637 \item Aplicam el mètode de Ruffini al polinomi que queda dins el parèntesi (després de provar els divisors, l'únic que va bé és el $-2$):%
 638 \begin{equation*}
 639 \begin{tabular}{r|rrrr}
 640 & $6$ & $7$ & $-9$ & $2$ \\
 641 &  &  &  &  \\
 642 $\mathbf{-2}$ &  & $-12$ & $10$ & $-2$ \\ \hline
 643 & $6$ & $-5$ & $1$ & \multicolumn{1}{||r}{$0$}%
 644 \end{tabular}%
 645 \end{equation*}%
 646 Cap dels divisors permet factoritzar per Ruffini el polinomi $6x^2-5x+1$.
 647 Així, en aquest punt, la factorització és%
 648 \begin{equation*}
 649 5x(x+2)(6x^2-5x+1)
 650 \end{equation*}
 651
 652 \item Com que el polinomi $6x^2 -5x +1$ és de segon grau, resoldrem l'equació corresponent (sempre farem això amb els polinomis de segon grau):%
 653 \begin{equation*}
 654 6x^2-5x+1=0
 655 \end{equation*}%
 656 Les solucions d'aquesta equació són:%
 657 \begin{equation*}
 658 x=\frac{-\left( -5\right) \pm \sqrt{\left( -5\right)^2-4\cdot 1\cdot 6}}{%
 659 2\cdot 6}=\frac{5\pm 1}{12}=\left\{
 660 \begin{array}{c}
 661 \frac{5+1}{12}=\frac{1}{2} \\
 662 \\
 663 \frac{5-1}{12}=\frac{1}{3}%
 664 \end{array}%
 665 \right.
 666 \end{equation*}%
 667
 668 \item Per tant, la factorització final obtinguda és
 669 \begin{equation*}
 670 5x\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{3}\right) (x+2).
 671 \end{equation*}
 672 Ara bé, volem tenir $30$ com a coeficient de major grau (30 és el coeficient de major grau del polinomi original) i no 5 (observa que $5x\cdot x\cdot x\cdot x=5x^{4}$ és el terme de major grau).
 673
 674 Llavors, hem de muiltiplicar per 6. D'aquesta manera, la factorització final és $6\cdot 5x\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x-\frac{1}{3}\right) (x+2)$, és a dir,%
 675 \begin{equation*}
 676 30x\left( x-\tfrac{1}{2}\right) \left( x-\tfrac{1}{3}\right) (x+2).
 677 \end{equation*}%
 678 \end{enumerate}
 679 \end{example}
 680
 681
 682 \begin{exercise}Factoritzeu els polinomis següents:
 683 \begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
 684 \item $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$
 685 \item $x^3 - x^2 + 9x -9$
 686 \item $15x^3 + 25x^2 - 10x$
 687 \item $3x^3-3x^2-6x$
 688 \item $2 x^4 + 4 x^3 - 10 x^2 - 8 x + 12$
 689 \item $-x^3 + x^2 + 4 x - 4$
 690 \item $-5 x^4 + 20 x^2 - 20$
 691 \item $3 x^4 - 6 x^3 - 27 x^2 + 54 x$
 692 \end{enumerate}
 693 \end{exercise}
 694
 695 \begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item $(x - 1) (x + 2) (x - 3)$, \item $(x - 1) (x^2 + 9)$, \item $15 x (x - \frac{1}{3}) (x + 2)$, \item $3x(x-2)(x+1)$, \item $2(x-1)(x^2-2)(x+3)$, \item $-(x-1)(x+2)(x-2)$, \item $-5 (x- \sqrt{2})^2 (x+\sqrt{2})^2$ (resoleu l'equació biquadrada $-5t^2 + 20t -20 =0$), \item $3 (x - 2) x (x - 3) (x + 3)$  \end{enumerate*} \end{solution*}
 696
 697
 698