Llevat la part del manual del pas de l'equació implícita a l'equació paramètrica...

[apunts-acces-uib-majors-25-anys-matematiques.git] / 04-algebra-lineal.tex

\part{Àlgebra lineal}

\chapter{Determinants}

Un \term{determinant}\index{determinant} el nombre, que es calcula segons determinades regles, associat a una disposici\'{o} de nombres escrits en forma d'$n$ fileres i $n$ columnes. El tamany del determinant, és a dir, el nombre de fileres (o de columnes) s'anomena \term{ordre}\index{ordre!determinant}. Alguns exemples d'aquesta disposici\'{o} s\'{o}n les expressions seg\"{u}ents:%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
3 & -5 \\ 
2 & -1%
\end{array}%
\right\vert ,\text{ }\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\ 
3 & 2 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%

En aquest cas, el primer determinant té ordre $2$ i el segon determinant té ordre $3$.

En general, un determinant d'ordre $n$ tendrà una expressió de l'estil

\begin{equation*}
\text{ }\left\vert 
\begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ 
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert,
\end{equation*}%

on cada $a_{ij}$ és un nombre, amb $i=1,\ldots,n$ i $j=1,\ldots,n$.

\medskip
A continuació veurem com es calculen aquests valors numèrics associats a cadascuna d'aquestes expressions. Com pareix natural, aquests valors dependran de l'ordre del determinant.

\section{Càlcul de determinants}

\begin{description}
\item[Ordre 1] El determinant d'ordre 1 és el propi element que el constitueix:

\begin{equation*}
\left\vert a \right\vert = a
\end{equation*}

\item[Ordre 2] Es calculen mitjançant la regla següent:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\ 
a_{21} & a_{22}%
\end{array}%
\right\vert =a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}
\end{equation*}

\begin{example}
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
3 & -5 \\ 
2 & -1%
\end{array}%
\right\vert =3\text{$\cdot $}(-1)-(-5)\text{$\cdot $}2=-3+10=7
\end{equation*}
\end{example}

Observem que el que va precedit del signe positiu és aquell que s'aconsegueix multiplicant els nombres en {\em sentit dret}. En canvi, el terme precedit pel signe negatiu s'obté multiplicant els dos nombres en {\em sentit esquerre}.

\item[Ordre 3] Es calculen mitjançant la regla de Sarrus

\begin{algorithm}[regla de Sarrus]\label{alg:regla-de-Sarrus}\index{regla!de Sarrus}
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 
a_{31} & a_{32} & a_{33}%
\end{array}%
\right\vert & = a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{21}\cdot a_{32}\cdot a_{13} \\
 & \quad -a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32}\cdot a_{11}
\end{split}
\end{equation*}
\end{algorithm}

De la mateixa manera que per als determinants d'ordre 2, els termes del determinant que es calculen multiplicant els nombre en {\em sentit dret} van precedits de signe positiu i tenen signe negatiu els que provénen de multiplicacions de nombres {\em en sentit esquerre}. Gr\`{a}ficament (\autoref{fig:sarrus}):

\begin{figure}[h!ptb]
        \centering
        % pàgina 434 de Manual de TikZ
        % No funciona si no és amb això: http://tex.stackexchange.com/questions/271301/tikz-matrix-does-not-allow-me-to-draw-line-between-nodes/271303#271303
        \begin{tikzpicture}[
          dot/.style={inner sep=0pt,minimum size=2pt,fill=black,circle},
          ring/.style={inner sep=0pt,minimum size=5pt,draw,circle}]

        % Matrius
        \matrix (A) [matrix of math nodes,
                         left delimiter=\lvert,
                         right delimiter=\rvert,
                         column sep=4pt,row sep=4pt] at (0,0)
        {
        |[ring]| & |[dot]| & |[dot]| \\
        |[dot]| & |[ring]| & |[dot]| \\
        |[dot]| & |[dot]| & |[ring]| \\
           };
        \draw[thick,red,->] (A-1-1) -- (A-2-2) -- (A-3-3);

        \matrix (B) [matrix of math nodes,
                         left delimiter=\lvert,
                         right delimiter=\rvert,
                         column sep=4pt,row sep=4pt] at (70pt,0)
        {
        |[dot]| & |[ring]| & |[dot]|\\
        |[dot]| & |[dot]| & |[ring]|\\
        |[ring]| & |[dot]| & |[dot]| \\
           };

        \draw[thick,red,->] (B-1-2) -- (B-2-3) -- (B-3-1);

        \matrix (C) [matrix of math nodes,
                         left delimiter=\lvert,
                         right delimiter=\rvert,
                         column sep=4pt,row sep=4pt] at (140pt,0)
        {
        |[dot]| & |[dot]| & |[ring]|\\
        |[ring]| & |[dot]| & |[dot]|\\
        |[dot]| & |[ring]| & |[dot]| \\
           };

        \draw[thick,red,->] (C-1-3) -- (C-2-1) -- (C-3-2);

        \matrix (X) [matrix of math nodes,
                         left delimiter=\lvert,
                         right delimiter=\rvert,
                         column sep=4pt,row sep=4pt] at (210pt,0)
        {
        |[dot]| & |[dot]| & |[ring]|\\
        |[dot]| & |[ring]| & |[dot]|\\
        |[ring]| & |[dot]| & |[dot]| \\
           };

        \draw[thick,blue,->] (X-1-3) -- (X-2-2) -- (X-3-1);

        \matrix (Y) [matrix of math nodes,
                         left delimiter=\lvert,
                         right delimiter=\rvert,
                         column sep=4pt,row sep=4pt] at (280pt,0)
        {
        |[dot]| & |[ring]| & |[dot]|\\
        |[ring]| & |[dot]| & |[dot]|\\
        |[dot]| & |[dot]| & |[ring]| \\
           };

        \draw[thick,blue,->] (Y-1-2) -- (Y-2-1) -- (Y-3-3);

        \matrix (Z) [matrix of math nodes,
                         left delimiter=\lvert,
                         right delimiter=\rvert,
                         column sep=4pt,row sep=4pt] at (350pt,0)
        {
        |[ring]| & |[dot]| & |[dot]|\\
        |[dot]| & |[dot]| & |[ring]|\\
        |[dot]| & |[ring]| & |[dot]|\\
           };

        \draw[thick,blue,->] (Z-1-1) -- (Z-2-3) -- (Z-3-2);

        % Sumes
        \node [right=10pt] at (A.east) {$+$};
        \node [right=10pt] at (B.east) {$+$};
        \node [right=10pt] at (C.east) {$-$};
        \node [right=10pt] at (X.east) {$-$};
        \node [right=10pt] at (Y.east) {$-$};
        \end{tikzpicture}
        \caption{Regla pnemotècnica per a recordar la regla de Sarrus}
        \label{fig:sarrus}
\end{figure}

\begin{example}
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\ 
3 & 2 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert & = 1 \cdot 2 \cdot (-2) + 5 \cdot 0 \cdot (-1) + (-3) \cdot 3 \cdot 4\\
& \quad -(-3) \cdot 2 \cdot (-1) -5 \cdot 3 \cdot (-2) - 1 \cdot 0 \cdot 4 \\
& = -4 + 0 -36-6+30-0\\
& = -16
\end{split}
\end{equation*}
\end{example}

\item[Ordre $\geq 4$] Per a calcular els determinants d'ordre superior a 3 ens fan falta alguns conceptes que veure més endavant (vegeu \autoref{seccio:adjunt-determinant}).

\end{description}

\begin{exercise} Calculeu els determinants següents:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
-3 & -1 \\ 
2 & -1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
10 & -5 & 3 \\ 
-3 & 2 & 0 \\ 
4 & -3 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & -2 \\ 
-3 & 0 & 2 \\ 
4 & -1 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
7 & -2 \\
1 & 4
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
4 & 3 & 2 \\ 
1 & 2 & 4 \\ 
6 & 7 & 2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
-2 & 3 & 7 \\ 
2 & 4 & 6 \\ 
2 & 5 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{cc}
x & 5+x\\ 
7 & -8x 
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}


\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{cc}
3-x & 4x^2\\ 
6 & 7+2x 
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
x+1 & 1 & 1 \\ 
1 & x+1 & 1 \\ 
1 & 1 & x+1%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{solution*}\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
\item $5$, \item $-7$, \item $15$, \item $30$, \item $-40$, \item $68$, \item $-8x^2 -7x -35$, \item $-26x^2 -x + 21$, \item $x^3+3x^2$.
\end{enumerate*}
\end{solution*}
\end{exercise}

\section{Càlcul de determinants d'ordre superior a 3}

\subsection{Adjunt d'un element d'un determinant}\label{seccio:adjunt-determinant}

\begin{definition}[menor complementari]\index{menor!complementari} Donat un determinant, el \term{menor complementari} d'un element qualsevol és el determinant que resulta de suprimir la filera i la columna a les quals pertany aquest element.
\end{definition}

\begin{example} Donat el determinant següent:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & -3 & 4 \\ 
3 & 5 & 0 & 0 \\ 
-4 & 2 & 3 & 1 \\ 
-6 & 1 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
El menor complementari de l'element que ocupa la filera $3$ i la columna $2$ (és a dir, el nombre $2$) és:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 4 \\ 
3 & 0 & 0 \\ 
-6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert ,
\end{equation*}%
donat que hem llevat la tercera filera i la segona columna.
\end{example}

\begin{definition}[adjunt] S'anomena \term{adjunt}\index{adjunt} d'un element al menor complementari precedit del signe $+$ o $-$ segons l'esquema següent:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{cccc}
+ & - & + & ... \\ 
- & + & - & ... \\ 
+ & - & + & ... \\ 
. & . & . & .%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}

De forma compacte, el signe de l'element $a_{ij}$ és $(-1)^{i+j}$, on $i$, $j$ indiquen, respectivament, la filera i la columna d'aquest element dins el determinant. Això vol dir que si la suma $i+j$ és parell, aleshores el signe de l'adjunt serà positiu, i si $i+j$ és senar, aleshores l'adjunt tendrà signe negatiu.
\end{definition}

\begin{example}
A l'exemple anterior, l'adjunt del $2$ \'{e}s%
\begin{equation*}
-\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 4 \\ 
3 & 0 & 0 \\ 
-6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert ,
\end{equation*}%
el valor del qual \'{e}s $-27$.
\end{example}

\begin{exercise}
Calculeu l'adjunt de l'element central i de l'element $a_{13}$ del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
6 & -1 & 0 \\ 
-2 & 0 & -3 \\ 
6 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Càcul dels determinants d'ordre 4 o superior}

Per al càlcul de determinants d'ordre 4 o majors s'utilitza el \term{desenvolupament}\index{desenvopulament d'un determinant} per una filera o una columna, que consisteix en calcular un determinant d'ordre $n$ a partir de $n$ determinants d'ordre $n-1$. Les passes a seguir són les següents:

\begin{algorithm}[desenvolupament d'un determinant]\hfill%

\begin{enumerate}
\item Es tria una filera o columna qualsevol (la tria és arbitrària)
\item El resultat del determinant és la suma dels adjunts dels elements d'aquesta filera pels seus adjunts
\end{enumerate}

És a dir, si tenim un determinant d'ordre $n$:
\begin{equation*}
\text{ }\left\vert 
\begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ 
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ 
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert,
\end{equation*}%
aleshores el seu desenvolupament per la primer filera seria
\begin{equation*}
a_{11} \cdot \Delta_{11} + a_{12} \cdot \Delta_{12} + a_{13} \cdot \Delta_{13} + a_{14} \cdot \Delta_{14} + \ldots + a_{1n} \cdot\Delta_{1n},
\end{equation*}
on $\Delta_{ij}$ denota l'adjunt de l'element $a_{ij}$.

\end{algorithm}

\begin{example} Calcularem el valor del determinant seg\"{u}ent desenvolupant-lo per la quarta columna:
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert 
\begin{array}{rrrr}
-6 & 5 & 2 & -3 \\ 
2 & 5 & -1 & 1 \\ 
-3 & 1 & 3 & 0 \\ 
4 & -2 & 0 & 3%
\end{array}%
\right\vert & =-3 \cdot \left( -\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & 5 & -1 \\ 
-3 & 1 & 3 \\ 
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) +1 \cdot \left( \left\vert 
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\ 
-3 & 1 & 3 \\ 
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) \\
& \quad + 0 \cdot \left( -\left\vert 
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\ 
2 & 5 & -1 \\ 
4 & -2 & 0
\end{array}
\right\vert \right) +3 \cdot \left( \left\vert 
\begin{array}{rrr}
-6 & 5 & 2 \\ 
2 & 5 & -1 \\ 
-3 & 1 & 3
\end{array}
\right\vert \right) \\
& = -3 \cdot (-70) + 1 \cdot 28 + 0 + 3 \cdot (-77)\\
& = 7
\end{split}
\end{equation*}
\end{example}

Observem que, amb aquest mètode, és convenient triar aquella línea que contengui més zeros, ja que per a aquests no és necessari ni tan sols calcular el seu adjunt.

\begin{exercise} Calculeu el valor dels determinants seg\"{u}ents:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 0 & -6 \\ 
4 & -4 & 2 & 3 \\ 
0 & 6 & 8 & 3 \\ 
-5 & -1 & 3 & -2
\end{array}
\right\vert
\end{equation*}

\item \begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrrr}
-6 & 0 & -3 & 4 \\ 
5 & 5 & 0 & 0 \\ 
8 & 2 & 3 & 1 \\ 
1 & 1 & 0 & 3
\end{array}
\right\vert
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{solution*}
\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]
\item $2326$, \item $0$
\end{enumerate*}
\end{solution*}

\end{exercise}

\section{Propietats dels determinants}\label{seccio:propietats-dels-determinants}

\begin{definition}[línia d'un determinant]S'anomena \term{línia}\index{línia d'un determinant} d'un determinant a qualsevol filera o columna del determinant.
\end{definition}

Vegem a continuaci\'{o} les propietats dels determinants.

\begin{enumerate}
\item Si un determinant té tots els elements d'una línia qualsevol iguals a zero, el determinant val $0$.

Per exemple:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 3 & 0 \\ 
-1 & -2 & 0 \\ 
7 & 3 & 0%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}

\item\label{item:propietat-3} Un determinant que t\'{e} dues línees paral·leles iguals val $0$.

Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
5 & 5 & -3 \\ 
2 & 2 & 0 \\ 
4 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}

Això és especialment útil quan el determinant involucra lletres. Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
a & 1 & a \\ 
a & 2 & a \\ 
a & 3 & a%
\end{array}%
\right\vert =0,
\end{equation*}
fet que ens estalvia una considerable feina, que de ben segur faríem si calculèssim el valor d'aquest determinant emprant la regla de Sarrus.

\item\label{multiplicacio-determinant-escalar-propietat} Si es multipliquen tots els elements d'una línia d'un determinant per un mateix nombre, el valor del determinant queda
multiplicat per aquest nombre.

Per exemple:%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\ 
3 & 2 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16\quad\text{ \ i \ }\quad\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\ 
6 & 4 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-32.
\end{equation*}%
En aquest darrer determinant hem multiplicat tots els elements de la segona filera per $2$.

Aquesta propietat es fa servir per treure factor com\'{u} d'un determinant; aquesta operaci\'{o} s'ha de fer l\'{\i}nia a l\'{\i}nia quan s'aplica m\'{e}s d'una vegada a un mateix determinant:

\begin{claim}[extracció de factor comú a un determinant]\label{nota:extraccio-factor-comu} Si una línia d'un determinant està multiplicada per un mateix nombre, es pot treure factor comú aquest nombre a fora del determinant.  Per exemple:%
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\ 
6 & 4 & 0 \\ 
-2 & 8 & -4%
\end{array}%
\right\vert & = 2 \cdot \left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\ 
6 & 4 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert \\
& = 2 \cdot 2 \cdot \left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & 10 & -6 \\ 
3 & 2 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert \\
& = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\ 
3 & 2 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert\\
& = 8 \cdot 56 \\
& = 448
\end{split}
\end{equation*}
Després de seguir aquesta regla, el determinant resultant té nombres més petits i, per tant, resulta més fàcil de calcular.
\end{claim}

\begin{example}Volem calcular el determinant $\left\vert 
\begin{array}{rrr}
a & 1 & b \\ 
a & 3 & b \\ 
a & 2 & b%
\end{array}%
\right\vert$.

Podríem aplicar la regla de Sarrus, però el fet de què el determinant tingui lletres faria que fos molt farragós. Per això intentarem extreure factor comú:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
a & 1 & b \\ 
a & 3 & b \\ 
a & 2 & b%
\end{array}%
\right\vert = a \cdot \left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & b \\ 
1 & 3 & b \\ 
1 & 2 & b%
\end{array}%
\right\vert 
 = a b \left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\ 
1 & 3 & 1 \\ 
1 & 2 & 1%
\end{array}%
\right\vert = 0,
\end{equation*}
ja que té dues columnes iguals.
\end{example}

\begin{exercise} Treieu tot el factor com\'{u} que es pugui del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{cc}
6 & -18 \\ 
-4 & 15%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}Només treient factor comú, calculeu el valor del determinant
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
x & 2x & 4x \\ 
x^2 & 2x^2 & 4x^2 \\ 
x^3 & 2x^3 & 4x^3%
\end{array}%
\right\vert.
\end{equation*}
\end{exercise}

\end{enumerate}


\section{Exercicis proposats}

\subsection{Càlcul de determinants}

\begin{exercise}\label{exercici:det-1}
Calculeu el valor dels determinants següents:

\begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})]

\item $\left\vert 
\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\ 
-5 & 1%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 4 \\ 
3 & -5 & -4 \\ 
3 & 3 & 1%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
3 &  2 &  1 \\
2 & 1 & 3%
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert 
\begin{array}{rrr}
0 & -4 & 5 \\
6 & 1 & -3 \\
6 & -8 & 9% 
\end{array}%
\right\vert$

\item $\left\vert 
\begin{array}{rrr}
-7 & -4 & -1 \\
0 & 2 & -8 \\
4 & 5 & 8 %
\end{array}%
\right\vert$

\end{enumerate*}
\end{exercise}

\subsection{Resolució d'equacions amb determinants}

Per afrontar aquesta secció és necessari conèixer la resolució d'equacions de primer, de segon grau i de grau major o igual que 3 (vegeu \autoref{repas-equacions-de-primer-grau}, \autoref{annex:equacions-segon-grau} i \autoref{annex:polinomis}; concretament \autoref{example:trobar-arrels-senceres}).

\begin{exercise}\label{exercici:det-5} Resoleu les equacions següents:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left\vert 
\begin{array}{cc}
x-2 & 1-2x \\ 
x & x^{2}%
\end{array}%
\right\vert =0$

\item $\left\vert 
\begin{array}{rrr}
-1 & 2 & 0 \\ 
a & -3 & 1 \\ 
0 & -1 & 1%
\end{array}%
\right\vert =0$

\item $\left\vert 
\begin{array}{ccc}
a-1 & 1 & -1 \\ 
0 & a+6 & 3 \\ 
a-1 & 2 & 0%
\end{array}%
\right\vert =0$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:det-6} Per a quin valor de $x$ s'anul·la el determinant següent?
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
-x & 1 & 0 \\ 
1 & -x & 1 \\ 
0 & 1 & -x % 
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:det-8} Resoleu l'equació següent:%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
x & 1 & 0 \\ 
0 & x & 1 \\ 
1 & 0 & x %
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}
\end{exercise}

\medskip
\begin{exercise}\label{exercici:det-10} Trobeu, en funció de $a$, el valor del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
a+1 & a & a \\ 
a & a+1 & a \\ 
a & a & a+1 %
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
\end{exercise}

\medskip
\begin{exercise}\label{exercici:det-11} Trobeu, en funció de $a$, el valor del determinant%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{ccc}
a+1 & a+2 & a \\ 
a & a+1 & 1 \\ 
a+2 & a & a+1 %
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
i digueu quan el determinant val 0.
\end{exercise}



\chapter{Matrius}

\section{Definicions}

\begin{definition}[matriu] Una \term{matriu}\index{matriu} és una col·lecció de nombres disposats en fileres i columnes. Es diu \term{quadrada}\index{matriu!quadrada} si aquesta disposició té tantes fileres com columnes; en cas contrari es diu \term{rectangular}\index{matriu!rectangular}.
\end{definition}

\begin{example}
Són exemples de matrius les següents:%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 0 \\ 
\pi & 12 & -4%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left( 
\begin{array}{rr}
-3 & 3 \\ 
5 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La primera és una matriu rectangular i la segona és una matriu
quadrada.
\end{example}

\begin{definition}[ordre d'una matriu] L'\term{ordre}\index{ordre} d'una matriu és el nombre de fileres i columnes que té, i s'escriu de la forma $n\times m$, on $n$ és el nombre de fileres i $m$ és el nombre de columnes.

De vegades també s'anomena \term{dimensió} de la matriu\index{dimensió}.
\end{definition}

En el cas de les matrius quadrades es sol indicar el seu ordre únicament amb el nombre de fileres (o columnes).

\begin{example}
A l'exemple anterior la primera és d'ordre $2\times 3$, i la segona és d'ordre $2\times 2$, o bé, simplement, d'ordre $2$.
\end{example}

En general, una matriu $A$ d'ordre $n \times m$ tendrà l'aspecte
\begin{equation*}
A = \left( 
\begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ 
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ 
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \\ 
\end{array}%
\right),
\end{equation*}
o bé de forma compacte $A= (a_{ij})$ on $i=1,\ldots,n$ i $j=1,\ldots, m$. Per tant, en últim terme, una matriu d'ordre $n \times m$ no és res més que una successió de $n \cdot m$ nombres, que, per diverses raons, s'ha preferit escriure en forma de quadre.

\begin{notation}[conjunt de les matrius] El conjunt de totes les matrius d'ordre $n \times m$ s'indica per $\mathcal{M}_{n \times m}(\mathbb{R})$ o, simplement, $\mathcal{M}_{n \times m}$. Si $m=n$, es sol escriure $\mathcal{M}_{n}$.\footnote{La raó de tenir $\mathbb{R}$ és especificar que les entrades de la matriu pertanyen al conjunt de nombres reals $\mathbb{R}$.}
\end{notation}


\subsection*{Tipus de matrius}

\begin{definition}[matriu nul·la]Una matriu és \term{nul·la}\index{matriu!nul·la} quan tots els seus elements són iguals a zero, és a dir, $a_{ij} = 0$, per a tot $i, j$.
\end{definition}

\begin{example} Les matrius

\begin{multicols}{2}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item \begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%

\item \begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
\end{enumerate}
\end{multicols}

són nul·les (d'ordre $3 \times 4$ i $3 \times 3$ respectivament).
\end{example}

\begin{definition}[matriu oposada]Donada una matriu $A$, la seva \term{oposada}\index{matriu!oposada} és la matriu formada pels elements d'$A$ amb signe oposat, és a dir, $-A = (-a_{ij})$.
\end{definition}

\begin{example} La matriu $\left( 
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 3 & -5\\
0 & 3 & -a & 6
\end{array}%
\right)$ és la matriu oposada de la matriu $\left( 
\begin{array}{rrrr}
-2 & 1 & -3 & 5\\
0 & -3 & a & -6
\end{array}%
\right)$.
\end{example}


\begin{definition}[matriu filera] Una matriu es diu \term{matriu filera}\index{matriu!filera} si només té una filera, és a dir, quan és d'ordre $1 \times m$.
\end{definition}

\begin{definition}[matriu columna] Una matriu s'anomena \term{matriu columna}\index{matriu!columna} si només té una columna, o sigui quan té ordre $n \times 1$.
\end{definition}

\begin{example}
Les matrius%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{llll}
0 & -3 & 2 & 4%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left( 
\begin{array}{r}
3 \\ 
-5%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
són matrius filera i columna respectivament.
\end{example}

\begin{definition}[diagonal principal] S'anomena \term{diagonal principal}\index{diagonal principal} d'una matriu quadrada al conjunt d'elements que van del vèrtex superior esquerre a l'inferior de la dreta.
\end{definition}

\begin{example}
A la matriu%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rrr}
3 & -2 & 0 \\ 
5 & -1 & 5 \\ 
-1 & 4 & 7%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
els nombres $3,-1$ i $7$ són els que formen la diagonal principal.
\end{example}

\begin{definition}[matriu unitat] Es diu \term{matriu unitat} (o \term{matriu identitat})\index{matriu!unitat}\index{matriu!identitat} a aquella matriu quadrada en la qual tots els
elements de la diagonal principal són uns i la resta d'elements són zeros. Es simbolitza per $I$ o $Id$. Si es vol indicar el seu ordre, aleshores s'indica mitjançant un subíndex:%
\begin{equation*}
I_{2}=\left( 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\text{ }I_{3}=\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\text{ }I_{4}=\left( 
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0\\ 
0 & 1 & 0 & 0\\ 
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right), \ldots
\end{equation*}
són les matrius unitat d'ordre $2$, d'ordre $3$, etc.
\end{definition}

\begin{definition}[matriu triangular] Una matriu $A=(a_{ij})$ es diu \term{triangular}\index{matriu!triangular} quan $a_{ij} = 0$ per a tot $i < j$ o bé quan $a_{ij} = 0$ per a tot $i > j$. En paraules, quan els elements per davall o per damunt de la diagonal principal són zero.
\end{definition}

\begin{definition}[matriu diagonal] Una matriu $A=(a_{ij})$ s'anomena \term{diagonal}\index{matriu!diagonal} si, i només si, $a_{ij} = 0$ per a tot $i \neq j$, és a dir, els elements que no estan a la diagonal principal són zero.
\end{definition}

\begin{claim} Una matriu no té res que veure amb un determinant: un determinant és un nombre i una matriu una col·lecció de nombres. Encara que a tota matriu quadrada li podem associar un determinant, que es denota per $\lvert A \rvert$ o bé $\det (A)$.
\end{claim}

\subsection*{Igualtat entre matrius}

\begin{definition}[igualtat de matrius] Direm que dues matrius són \term{iguals}\index{igualtat de matrius} si són del mateix ordre i els seus elements respectius són iguals.
\end{definition}

\begin{example}
Per exemple, les matrius 
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 0 \\ 
\pi & 12 & -4%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3-3 \\ 
\pi & 24/2 & -4%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
són iguals.
\end{example}

\begin{exercise} Calculeu el valor de $x$ perquè les matrius $A$ i $B$ siguin iguals, amb%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{cc}
3 & -x+4 \\ 
-2 & 0%
\end{array}%
\right) \text{ \ i \ }B=\left( 
\begin{array}{rr}
3 & 0 \\ 
-2 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\section{Operacions amb matrius}

A continuació es defineixen les operacions que es poden realitzar amb matrius.

\subsection{Suma i diferència de matrius}

\begin{definition}[suma i resta de matrius] La \term{suma}\index{suma!de matrius} de dues matrius del mateix ordre es fa sumant els elements respectius. La \term{diferència} (o resta)\index{resta!de matrius} es calcula restant els elements corresponents.

És a dir, si $A = (a_{ij})$ i $B = (b_{ij})$ són dues matrius d'ordre $n \times m$, aleshores les matrius $A + B$ i $A-B$ són iguals $(a_{ij} + b_{ij})$ i $(a_{ij} - b_{ij})$, respectivament, i tenen ordre $n \times m$.

\end{definition}

\begin{example}
Vegem una diferència de matrius:%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rr}
-3 & 3 \\ 
5 & 2%
\end{array}%
\right) -\left( 
\begin{array}{rr}
-1 & 5 \\ 
5 & 0%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{cc}
-3-\left( -1\right) & 3-5 \\ 
5-5 & 2-0%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{rr}
-2 & -2 \\ 
0 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
La suma es fa de manera anàloga.
\end{example}

\begin{exercise}
Calculeu $A-B$, $B-A$ i $-A+B$, amb%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
-1 & 0 & 3 \\ 
0 & -4 & 2%
\end{array}%
\right) ,\text{ \ }B=\left( 
\begin{array}{rrr}
-1 & -2 & -3 \\ 
5 & 4 & -5%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Multiplicació d'un nombre per una matriu}

\begin{definition}[multiplicació de nombres i matrius] Per \term{multiplicar un nombre per una matriu}\index{multiplicació!d'escalar per matriu} es multiplica aquest nombre per cadascun dels elements de la matriu.

De vegades aquest nombre s'anomena \term{escalar}\index{escalar}.
\end{definition}

\begin{example}
\begin{equation*}
-5\text{$\cdot $}\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 0 \\ 
\pi & 12 & -4%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{ccc}
-5\text{$\cdot $}1 & -5\text{$\cdot $}\left( -2\right) & -5\text{$\cdot $}0
\\ 
-5\pi & -5\text{$\cdot $}12 & -5\text{$\cdot $}\left( -4\right)%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{rrr}
-5 & 10 & 0 \\ 
-5\pi & -60 & 20%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}

\begin{exercise}
Calculeu%
\begin{equation*}
-3\cdot \left( 
\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 3 \\ 
0 & -4 & 2%
\end{array}%
\right), \quad 5\cdot \left( 
\begin{array}{ccc}
1 & -3 & 4 \\ 
0 & 5 & 2 \\
2 & -5 & -1%
\end{array}%
\right) 
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Transposició d'una matriu}

\begin{definition}[transposició de matrius] La \term{transposició}\index{transposició de matrius} d'una matriu és l'operació per la qual es canvien de manera ordenada les fileres per les columnes (i viceversa). La \term{matriu transposta}\index{matriu!transposta} de la matriu $A$ es representa per $A^{t}$.
\end{definition}

\begin{example}
La matriu transposta de la matriu%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
8 & -2 & -18 \\ 
-1 & 5 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
\'{e}s la matriu%
\begin{equation*}
A^{t}=\left( 
\begin{array}{rr}
8 & -1 \\ 
-2 & 5 \\ 
-18 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}

\begin{exercise}
Escriviu les transpostes de les matrius%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
0 & 2 & -1 \\ 
-2 & 15 & 6 \\ 
1 & 2 & 3%
\end{array}%
\right), \quad B=\left( 
\begin{array}{rr}
-1 & 4 \\ 
-5 & 1 \\ 
1 & 1 \\
2 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Producte de dues matrius}

No sempre és possible multiplicar dues matrius. Per aquest motiu, abans de definir la multiplicació de dues matrius hem de veure quina condició han de complir les matrius que volem multiplicar per a que aquesta operacióes pugui fer.

\begin{condition}[producte de dues matrius]\label{condicio:producte:matrius} Per poder multiplicar dues matrius s'ha de complir que el nombre de columnes de la primera matriu (la que es col·loca a l'esquerra) ha de coincidir
amb el nombre de fileres de la segona (la que es col·loca a la dreta).
\end{condition}

Aquesta condició, a més de ser necessària per a la multiplicació de dues matrius, és suficient.

Degut a què el nombre de fileres i de columnes de dues matrius poden ser qualssevol, pot ocorre que es pugui calcular el producte $A\cdot B$ de les matrius $A$ i $B$, però que no es pugui calcular $B\cdot A$.


\begin{example} No podem calcular el producte
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & 1 \\ 
1 & 2 & 1%
\end{array}%
\right)
 \cdot \left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\ 
-2 & 1 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
però sí podem calcular el producte
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{cc}
2 & 1\\ 
3 & 4 %
\end{array}%
\right)
 \cdot \left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\ 
-2 & 1 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}

Vegem ara com es multipliquen dues matrius.

\begin{definition}[multiplicació de matrius] Siguin $A$ i $B$ dues matrius d'ordres\index{multiplicació!de matrius} $n\times m$ i $m\times p$ respectivament. El seu producte
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rrrr}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ 
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} %
\end{array}%
\right)
 \cdot \left( 
\begin{array}{rrrr}
b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1p}\\ 
b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2p}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mp} %
\end{array}%
\right) = \left( 
\begin{array}{rrrr}
c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1p}\\ 
c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2p}\\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
c_{n1} & c_{m2} & \ldots & c_{np} %
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
té ordre $n \times p$ i es calcula de la manera següent:
\begin{enumerate}
\item L'element $c_{ij}$, que és l'element del resultat $A \cdot B$, es calcula multiplicant la filera $i$-èssima de $A$ per la columna $j$-èssima de $B$, és a dir,
\begin{equation*}
c_{ij}=a_{i1}\cdot b_{1j}+a_{i2}\cdot b_{2j}+...+a_{im}\cdot b_{mj}
\end{equation*}%
(l'element $c_{11}$ s'obté multiplicant la filera $1$ de $A$ per la columna $2$ de $B$, l'element $c_{12}$ s'obté multiplicant la filera $1$ de $A$ per la columna $2$ de $B$, etc.)
\item Això es realitza per a totes les fileres i columnes
\end{enumerate}
\end{definition}

Amb aquesta definició, l'ordre de la matriu $A\cdot B$ és $n\times p$%
. Esquemàticament:%
\begin{equation*}
\begin{array}{ccccc}
A & \cdot & B & = & AB \\ 
n\times m &  & m\times p &  & n\times p%
\end{array}%
\end{equation*}

\begin{example}
\begin{multline*}
\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & -3 \\ 
0 & 1 & 1%
\end{array}%
\right) \text{$\cdot $}\left( 
\begin{array}{rrr}
-2 & -1 & 0 \\ 
3 & 5 & 2 \\ 
-4 & 0 & 6%
\end{array}%
\right) = \\
\left( 
\begin{array}{ccc}
2(-2)+0\text{$\cdot $}3+(-3)(-4) & 2(-1)+0\text{$\cdot $}5+(-3)\text{$\cdot $%
}0 & 2\text{$\cdot $}0+0\text{$\cdot $}2+(-3)\text{$\cdot $}6 \\ 
&  &  \\ 
0(-2)+1\text{$\cdot $}3+1(-4) & 0(-1)+1\text{$\cdot $}5+1\text{$\cdot $}0 & 0%
\text{$\cdot $}0+1\text{$\cdot $}2+1\text{$\cdot $}6%
\end{array}%
\right) = \\
\left( 
\begin{array}{rrr}
8 & -2 & -18 \\ 
-1 & 5 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{multline*}%
És a dir, l'element que ha d'anar, per exemple, a la 2a filera i 1a columna es calcula sumant els productes dels elements de la 2a filera de la primera matriu amb els elements de la 1a columna de la segona matriu.
\end{example}

\begin{exercise}
Calculeu els productes de matrius següents:%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rrr}
-2 & -1 & 0 \\ 
3 & 5 & 2 \\ 
-4 & 0 & 6%
\end{array}%
\right) \cdot \left( 
\begin{array}{rr}
-1 & 2 \\ 
0 & -5 \\ 
3 & 2%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left( 
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\ 
0 & 8%
\end{array}%
\right) \cdot \left( 
\begin{array}{rrr}
4 & 2 & 1\\ 
0 & -3 & -2%
\end{array}%
\right) ,\text{ }\left( 
\begin{array}{rr}
3 & 0 \\ 
0 & -2%
\end{array}%
\right) \cdot \left( 
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\ 
0 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}


\section{Propietats de les operacions amb matrius}

\subsection*{Propietats de la suma de matrius}

Siguin $A,B$ i $C$ matrius d'ordre $m\times n$. Aleshores, es compleixen les propietats següents:

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Associativa:%
\begin{equation*}
\left( A+B\right) +C=A+\left( B+C\right)
\end{equation*}

\item Commutativa:%
\begin{equation*}
A+B=B+A
\end{equation*}
\end{enumerate}

\subsection*{Propietats del producte de nombres per matrius}

Siguin $a$ i $b$ nombres reals, i $A$ i $B$ matrius d'ordre $m\times n$.
Aleshores, es compleixen les propietats següents:

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Pseudoassociativa: $a\cdot \left( b \cdot A\right) =\left( a\cdot b\right) \cdot A$

\item Distributiva respecte la suma d'escalars: $\left( a+b\right) \cdot A=a\cdot A+b\cdot A$

\item Distributiva respecte la suma de matrius: $a\cdot \left( A+B\right) =a\cdot A+a\cdot B$

\item Element neutre: $1\cdot A=A$
\end{enumerate}

\subsection*{Propietats del producte de matrius}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Associativa: $\left( A \cdot B \right) \cdot
C = A \cdot \left( B \cdot C \right) $

\item Element neutre: $A \cdot I  = I \cdot A =A $

\item Commutativa: en general, com ja hem observat, $A\cdot B\neq B\cdot A$.
\end{enumerate}


\subsection*{Propietats distributives}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $A \cdot \left( B + C \right) =A \cdot B +A \cdot C$

\item $\left( A + B \right) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$
\end{enumerate}

\subsection*{Propietats de la transposició de matrius}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left( A +B \right)^{t}= A^{t} + B^{t}$

\item $\left( A \cdot B\right)^{t}= B^{t} \cdot A^{t}$
\end{enumerate}

\subsection*{Propietats dels determinants de matrius}\label{subseccio:propietats-matrius-determinants}

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item El determinant del producte de dues matrius és igual al
producte dels seus determinants, és a dir,
\begin{equation*}
\left\vert A\text{$\cdot $}B\right\vert =\left\vert A\right\vert \text{$%
\cdot $}\left\vert B\right\vert
\end{equation*}


\item\label{prop:determinant-matriu-transposta} El determinant d'una matriu (quadrada) $A$ és igual al determinant de la seva matriu transposta, és a dir,
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert A^{t}\right\vert.
\end{equation*}
\end{enumerate}

\begin{example} Donades les matrius%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rr}
-1 & 2 \\ 
0 & 3%
\end{array}%
\right) \, B=\left( 
\begin{array}{rr}
4 & -2 \\ 
1 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
tenim que $\left\vert A\right\vert =-3$ i $\left\vert B\right\vert =2$ i, per tant, $\left\vert A\right\vert \text{$\cdot $}\left\vert B\right\vert =-6$,
que coincideix amb%
\begin{equation*}
\left\vert A\text{$\cdot $}B\right\vert =\left\vert 
\begin{array}{rr}
-2 & 2 \\ 
3 & 0%
\end{array}%
\right\vert =-6
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example} Si
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\ 
3 & 2 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
es t\'{e} que 
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 5 & -3 \\ 
3 & 2 & 0 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16\text{ \ i \ }\left\vert A^{t}\right\vert =\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 3 & -1 \\ 
5 & 2 & 4 \\ 
-3 & 0 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-16.
\end{equation*}

\end{example}


\section{Matriu inversa d'una matriu quadrada}

\begin{definition}[matriu inversa] Donada una matriu quadrada $A$, la seva \term{matriu inversa}\index{matriu!inversa}, que es denota per $A^{-1}$, és una matriu del mateix ordre tal que compleix les condicions següents de forma simultània:%
\begin{eqnarray*}
A\cdot A^{-1} &=&I, \\
A^{-1}\cdot A &=&I.
\end{eqnarray*}
\end{definition}

Noteu que una condició per a què una matriu tengui inversa és que sigui quadrada. Les matrius rectangulars no tenen matriu inversa perquè un dels productes no existeix (vegeu \autoref{condicio:producte:matrius}).

\begin{definition}[matriu regular] Les matrius que tenen inversa s'anomenen \term{matrius regulars}\index{matriu!regular}. En altre cas, es diu que la matriu és \term{singular}\index{matriu!singular}.
\end{definition}

\begin{example} No totes les matrius són regulars: per exemple la matriu
\begin{equation*}
A = \left(\begin{array}{rr}
1 & -1 \\ 
-1 & 1 
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
no té inversa, ja que si en tengués arribaríem a un error: si suposem que $A^{-1} = \left(\begin{array}{rr}
a & b \\ 
c & d
\end{array}%
\right)$, aleshores s'hauria de complir que
\begin{equation*}
\left(\begin{array}{rr}
1 & -1 \\ 
-1 & 1 
\end{array}%
\right) \cdot \left(\begin{array}{rr}
a & b \\ 
c & d 
\end{array}%
\right) = \left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\ 
0 & 1 
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
el que implica que
\begin{equation*}
\left\{\begin{aligned}
a-c &= -1 \\
b-d &= 0 \\
-a+c & = 0\\
-b+d & = 1 
\end{aligned}\right.
\end{equation*}
Però la primera i la segona equació impliquen que $0 = 1$. Contradicció!.
\end{example}

\begin{theorem} Una matriu quadrada $A$ és regular si, i només si, $\lvert A \rvert \neq 0$. És a dir
\begin{equation*}
A\text{ té inversa}\iff \left\vert A\right\vert \neq 0
\end{equation*}%

Expressat amb paraules:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si una matriu quadrada té inversa, aleshores el seu determinant és diferent de zero
\item I si el determinant d'una matriu quadrada no val zero, aleshores aquesta matriu té inversa.
\end{enumerate}
\end{theorem}

Ara sabem quina condició s'ha de complir per a què una matriu sigui regular, però com es calcula la matriu inversa d'una matriu quadrada? A continuació ho veurem.

\begin{theorem}[càlcul de la matriu inversa] Si $A$ és regular, aleshores
\begin{equation*}
A^{-1} = \frac{\left( Adj(A)\right)^{t}}{\left\vert A\right\vert },
\end{equation*}
on $Adj(A)$ denota la \term{matriu adjunta} d'$A$\index{matriu!adjunta}, formada pels adjunts dels elements de $A$.
\end{theorem}

\begin{algorithm}[càlcul de la matriu inversa] Per calcular la matriu inversa d'una matriu quadrada $A$ seguirem les passes següents:

\begin{enumerate}
\item En primer lloc calcularem $\left\vert A\right\vert $. Si aquest val $0$, ja podem assegurar que la matriu $A$ no té inversa. Si $\left\vert A\right\vert \neq 0$, seguim amb els punts següents.

\item Calculam la matriu adjunta de $A$, és a dir, $Adj(A)$.

\item Farem la transposta de $Adj(A)$. La denotarem per $\left( Adj(A)\right)^{t}$.

\item Finalment, es té que%
\begin{equation*}
A^{-1}=\frac{\left( Adj(A)\right)^{t}}{\left\vert A\right\vert }
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{algorithm}

Vegem-ho amb un exemple.

\begin{example}
Sigui 
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 0 \\ 
0 & -3 & -2 \\ 
4 & 0 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Tenim que 
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =-9-16=-25\neq 0
\end{equation*}%
El fet de què aquest determinant no valgui zero ens assegura que
existeix la matriu inversa de $A$. Anem a calcular-la.

La matriu adjunta de $A$ és%
\begin{equation*}
\begin{split}
Adj(A) & =\left( 
\begin{array}{rrrrr}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
-3 & -2 \\ 
0 & 3%
\end{array}%
\right\vert &  & -\left\vert 
\begin{array}{rr}
0 & -2 \\ 
4 & 3%
\end{array}%
\right\vert &  & \left\vert 
\begin{array}{rr}
0 & -3 \\ 
4 & 0%
\end{array}%
\right\vert \\ 
&  &  &  &  \\ 
-\left\vert 
\begin{array}{rr}
2 & 0 \\ 
0 & 3%
\end{array}%
\right\vert &  & \left\vert 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
4 & 3%
\end{array}%
\right\vert &  &  -\left\vert 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
4 & 0%
\end{array}%
\right\vert \\ 
&  &  &  &  \\ 
\left\vert 
\begin{array}{rr}
2 & 0 \\ 
-3 & -2%
\end{array}%
\right\vert &  & -\left\vert 
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\ 
0 & -2%
\end{array}%
\right\vert &  & \left\vert 
\begin{array}{rr}
1 & 2 \\ 
0 & -3%
\end{array}%
\right\vert%
\end{array}%
\right) \\
& =\left( 
\begin{array}{rrr}
-9 & -8 & 12 \\ 
-6 & 3 & 8 \\ 
-4 & 2 & -3%
\end{array}%
\right)
\end{split}
\end{equation*}%
La transposta de l'adjunta és, aleshores,%
\begin{equation*}
\left( Adj(A)\right)^{t}=\left( 
\begin{array}{rrr}
-9 & -6 & -4 \\ 
-8 & 3 & 2 \\ 
12 & 8 & -3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Per tant, la inversa de $A$ és:%
\begin{equation*}
A^{-1}=\frac{\left( Adj(A)\right)^{t}}{\left\vert A\right\vert }=\frac{%
\left( 
\begin{array}{rrr}
-9 & -6 & -4 \\ 
-8 & 3 & 2 \\ 
12 & 8 & -3%
\end{array}%
\right) }{-25}=\left( 
\begin{array}{rrrrr}
9/25 &  & 6/25 &  & 4/25 \\ 
&  &  &  &  \\ 
8/25 &  & -3/25 &  & -2/25 \\ 
&  &  &  &  \\ 
-12/25 &  & -8/25 &  & 3/25%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}

\begin{exercise}Calculeu, si en té, la matriu inversa de la matriu%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -3 \\ 
-1 & 3 & -2 \\ 
0 & 5 & -1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Matriu inversa en funció d'un paràmetre}

\begin{example}
Suposem que volem calcular la matriu inversa de 
\begin{equation*}
B=\left( 
\begin{array}{rrr}
-3 & 1 & 0 \\ 
1 & 2 & a \\ 
0 & 7 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Aquesta matriu depèn del paràmetre $a$. Per tant, podem suposar que la matriu inversa de $B$ existirà o no segons el valor numèric que prengui el paràmetre $a$. \textquestiondown Què ha de valer $a$ per a què existeixi $B^{-1}$? Aquest valor de $a$ quedarà imposat per la
condició
\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert \neq 0,
\end{equation*}
que és la condició que ens assegura que existeix la matriu inversa de $B$. Calculem $\left\vert B\right\vert $:%
\begin{equation*}
\left\vert B\right\vert =\left\vert 
\begin{array}{rrr}
-3 & 1 & 0 \\ 
1 & 2 & a \\ 
0 & 7 & 1%
\end{array}%
\right\vert =21a-7
\end{equation*}%
Aquest determinant val $0$ si, i només si, quan $21a-7=0$. És a dir, quan $a=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$. Aquí apareixen dues possibilitats:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si $a=1/3$, tenim que $\left\vert B\right\vert =0$, i, per tant, no existeix la matriu inversa de $B$.

\item Si $a\neq 1/3$, aleshores $\left\vert B\right\vert \neq 0$, i,
per tant, existeix $B^{-1}$. En aquest cas, podem calcular la matriu inversa de $B$, que òbviament dependrà del paràmetre $a$

\begin{equation*}
\begin{split}
Adj(B) & =\left( 
\begin{array}{rrrrr}
\left\vert 
\begin{array}{cc}
2 & a \\ 
7 & 1%
\end{array}%
\right\vert &  & -\left\vert 
\begin{array}{cc}
1 & a \\ 
0 & 1%
\end{array}%
\right\vert &  & \left\vert 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
0 & 7%
\end{array}%
\right\vert \\ 
&  &  &  &  \\ 
-\left\vert 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
7 & 1%
\end{array}%
\right\vert &  & \left\vert 
\begin{array}{rr}
-3 & 0 \\ 
0 & 1%
\end{array}%
\right\vert &  & -\left\vert 
\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\ 
0 & 7%
\end{array}%
\right\vert \\ 
&  &  &  &  \\ 
\left\vert 
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\ 
2 & a%
\end{array}%
\right\vert &  & -\left\vert 
\begin{array}{rr}
-3 & 0 \\ 
1 & a%
\end{array}%
\right\vert &  & \left\vert 
\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\ 
1 & 2%
\end{array}%
\right\vert%
\end{array}%
\right) \\
\\
 &=\left( 
\begin{array}{ccc}
2-7a & -1 & 7 \\ 
-1 & -3 & 21 \\ 
a & 3a & -7%
\end{array}%
\right)
\end{split}
\end{equation*}%

Per tant, la matriu inversa de $B$ és:
\begin{equation*}
B^{-1}=\frac{\left( Adj(B)\right)^{t}}{\left\vert B\right\vert }=\frac{%
\left( 
\begin{array}{rrr}
2-7a & -1 & a \\ 
-1 & -3 & 3a \\ 
7 & 21 & -7%
\end{array}%
\right) }{21a-7}=\left( 
\begin{array}{rrrrr}
\frac{2-7a}{21a-7} &  & \frac{1}{7-21a} &  & \frac{a}{21a-7} \\ 
&  &  &  &  \\ 
\frac{1}{7-21a} &  & \frac{3}{7-21a} &  & \frac{3a}{21a-7} \\ 
&  &  &  &  \\ 
\frac{7}{21a-7} &  & \frac{21}{21a-7} &  & \frac{7}{7-21a}%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}

\end{enumerate}
\end{example}

\begin{exercise}
Calculeu la matriu inversa de $B$ en funció del paràmetre $\alpha$, amb%
\begin{equation*}
B=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & -7 & \alpha \\ 
1 & 3 & 3 \\ 
0 & 1 & -4%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\section{Rang d'una matriu d'ordre qualsevol}

\begin{definition}[menor d'una matriu] Si en una matriu qualsevol (no necessàriament quadrada) seleccionam $p$ fileres i $p$ columnes, els elements en què s'encreuen aquestes $p$ fileres i $p$ columnes formen una submatriu quadrada d'ordre $p$. El determinant d'aquesta submatriu s'anomena \term{menor d'ordre $p$} (o simplement {\em menor})\index{menor!d'una matriu}\index{ordre!d'un menor} de la matriu inicial.
\end{definition}

\begin{example} De la matriu
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 0 & 3 \\ 
\pi & 12 & -4 & 2 \\ 
5 & 2 & -3 & 1%
\end{array}%
\right) ,
\end{equation*}
el determinant
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\ 
\pi & -4%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
és un menor d'ordre $2$.

En aquest cas, hem seleccionat els elements en els quals s'encreuen les fileres $1$ i $2$ i les columnes $1$ i $3$.
\end{example}

\begin{definition}[rang d'una matriu] Donada una matriu qualsevol $A$, es defineix el seu \term{rang}\index{rang} al màxim ordre dels seus menors no nuls. És a dir, el rang d'una matriu és un nombre $p$
que compleix les condicions següents:

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Existeix un menor no nul d'ordre $p$
\item Tots els menors d'ordre $p+1$ són nuls, o bé no existeixen
menors d'ordre $p+1$.
\end{enumerate}

En altres paraules, calculem el
\begin{equation*}
\max \{p \mid \text{ existeix un menor d'ordre } p \text{ no nul }\}.
\end{equation*}

El rang d'una matriu $A$ es representa per $rg \left( A\right)$ o simplement $rg A$.
\end{definition}

\begin{example}
El rang de la matriu%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 2 & 4 \\ 
2 & 3 & -5 & 4 \\ 
0 & 3 & 3 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
és $3$, ja que existeix, al menys, un menor d'ordre $3$ no nul, com, per
exemple, el menor%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 2 \\ 
2 & 3 & -5 \\ 
0 & 3 & 3%
\end{array}%
\right\vert \neq 0,
\end{equation*}%
i no hi ha cap menor d'ordre $4$.
\end{example}

Tot seguit, veurem com podem calcular el rang d'una matriu de forma efectiva. Per això, hem d'introduïr el concepte d'independència lineal. En primer lloc, recordem la definició de combinació lineal:

\begin{definition}[combinació lineal]Una línia $L$ és {\em combinació lineal}\index{combinació lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, podem obtenir la línia $L$ com a suma de les línies $L_1$, \ldots, $L_n$ prèviament multiplicades per nombres reals, és a dir,
\begin{equation*}
L = a_1 \cdot L_1 + a_2 \cdot L_2 + \ldots + a_n \cdot L_n.
\end{equation*}
\end{definition}

\begin{example}\label{exemple-combinacio-lineal}En la matriu següent
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 &  5\\ 
2 & -3 & -5\\ 
0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
la tercera columna és combinació lineal de les dues primeres, ja que es pot aconseguir sumant la primera columna multiplicada per 2 i la segona columna multiplicada per 3, és a dir, $C_3 = 2 \cdot C_1 + 3 \cdot C_2$.
\end{example}

\begin{proposition}[relació de la combinació lineal i els determinants]Per un determinant qualsevol, són equivalents:
\begin{itemize}
\item Existeix una línia que és combinació lineal de les altres línies paral·leles
\item Totes les línies són combinació lineal de les altres línies paral·leles
\item El determinant val 0
\end{itemize}
\end{proposition}

\begin{example}Tal com hem dit en l'example anterior (\autoref{exemple-combinacio-lineal}), la tercera columna és combinació lineal de les dues anteriors. Per la proposició, això vol dir que:
\begin{itemize}
\item la primera columna també és combinació lineal de la segona i tercera columnes
\item la segona columna és combinació lineal de la primera i tercera columnes
\item el determinant
\begin{equation*}
\left\vert
\begin{array}{rrr}
1 & 1 &  5\\ 
2 & -3 & -5\\ 
0 & 1 & 3%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}
val 0.
\item qualsevol filera és combinació lineal de les altres fileres
\end{itemize}
\end{example}

\begin{definition}[dependència lineal]\label{def:dependencia-lineal-linies} Una línia és \term{linealment dependent}\index{dependència lineal} de $n$ línies $L_1$, $L_2$, \ldots, $L_n$ si, i només si, $L$ es pot expressar com a combinació lineal de $L_1$, \ldots, $L_n$.

En cas contrari, $L$ és \term{linealment independent}\index{independència lineal}, és a dir, no existeixen cap nombres $a_1$, \ldots, $a_n$ tals que $L$ sigui igual a $a_1 \cdot L_1 + \ldots + a_n \cdot L_n$.
\end{definition}

\begin{proposition}[fites del rang d'una matriu]\label{proposicio:fites-rang} Es pot veure que, si $A$ és una matriu qualsevol d'ordre $n \times m$, aleshores:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item $rg A$ és igual al nombre de línies linealment independents
\item $rg A \leq \min \{m, n\}$
\item $rg A \geq 0$. I $rg A = 0$ si, i només si, $A$ és igual a la matriu nul·la.
\item Si $A$ no és la matriu nul·la, aleshores $rg A \geq 1$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{algorithm}[càlcul del rang d'una matriu de dalt a baix] Per a calcular el rang d'una matriu $A$ d'ordre $n \times m$ es segueixen els passos següents:
\begin{enumerate}[label=\alph*)]
\item Es calcula el mínim del nombre de fileres i columnes d'$A$, és a dir, $r = \min \{n, m\}$. Aquest és el rang màxim que pot tenir $A$.

\item Es calculen els menors d'ordre $r$ d'$A$. Si algun d'aquests és no nul, aleshores automàticament $rg A = r$. En cas contrari, $rg A < r$.

Notem que només calcularem {\em tots} els menors d'ordre $r$ quan {\em tots} ells sigui nuls. Tot d'una que trobem un menor d'ordre $r$ no nul, ja no calcularem cap més menor d'ordre $r$ i conclourem que $rg A = r$.

\item Es procedeix de manera anàloga al pas anterior pels menors d'ordre $r-1$ i es conclou que $rg A = r-1$ o bé $rg A < r-1$.
\item Es repeteixen aquestes passes successivament.
\end{enumerate}
\end{algorithm}


\begin{example}\label{exemple:calcul-rang-matriu-dalt-abaix}
Suposem que volem calcular el rang de la matriu
\begin{equation*}
A = \left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & -2 & 4 \\ 
3 & 1 & 0 & -3 \\ 
5 & 1 & -4 & 5%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Per la \autoref{proposicio:fites-rang}, tenim que $rg A \leq \min \{3,4\} = 3$.

\item Hem de veure si existeix un menor d'ordre $3$ no nul. Hi ha quatre possibilitats per a formar menors d'ordre $3$: \begin{enumerate*}[label=\emph{\alph*})] \item triar les columnes $1$, $2$ i $3$, \item triar les columnes $1$, $2$ i $4$, \item triar les columnes $1$, $3$ i $4$ i \item triar les colimnes $2$, $3$ i $4$ \end{enumerate*}. Si algun d'aquests menors fos no nul, aleshores el rang d'$A$ seria $3$. Ara bé,
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -2 \\ 
3 & 1 & 0 \\ 
5 & 1 & -4%
\end{array}%
\right\vert =0,\,\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 4 \\ 
3 & 1 & -3 \\ 
5 & 1 & 5%
\end{array}%
\right\vert =0,\,\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 4 \\ 
3 & 0 & -3 \\ 
5 & -4 & 5%
\end{array}%
\right\vert =0,\,\left\vert 
\begin{array}{rrr}
0 & -2 & 4 \\ 
1 & 0 & -3 \\ 
1 & -4 & 5%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}%
Per tant, $rg A < 3$.

\item Vegem si és dos: existeix un menor no nul d'ordre 2? Sí, per exemple, $\left\vert 
\begin{array}{rr}
1 & 0 \\ 
1 & -4%
\end{array}%
\right\vert \neq 0$. Per la qual cosa, $rg A = 2$.
\end{enumerate}
\end{example}

\begin{exercise} Calculeu el valor del rang de la matriu següent:
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 3 & -2 \\ 
-4 & 2 & 3 & 8%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Rang d'una matriu en funció d'un paràmetre}

De vegades, una matriu pot incloure un paràmetre. El rang d'aquesta
matriu dependrà, aleshores, del valor que tengui aquest paràmetre.
Vegem-ho amb un exemple.

\begin{example}
Sigui la matriu%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 3 \\ 
0 & 1 & \alpha \\ 
-2 & 2 & 5%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Anem a calcular el seu rang. De manera anàloga a l'\autoref{exemple:calcul-rang-matriu-dalt-abaix}, calcularem el rang d'$A$ arran dels menors més grans possibles. Així, en aquest exemple començarem amb%
\begin{equation*}
\Delta = \left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 3 \\ 
0 & 1 & \alpha \\ 
-2 & 2 & 5%
\end{array}%
\right\vert =10+2\alpha +6-4\alpha =16-2\alpha ,
\end{equation*}%
que és el menor més gran que es pot treure a partir d'$A$. Aquest menor val $0$ si, i només si, $16-2\alpha =0$, és a dir, quan $\alpha =8$.

Diferenciem casos:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si $\alpha \neq 8$: existeix un menor d'ordre $3$ diferent de $0$ ($\Delta \neq 0$), i no hi ha menors d'ordre superior a $3$ ($rg A \leq 3$). Per tant, el rang de $A$ és $3$.

\item Si $\alpha =8$: tots els menors d'ordre $3$ (de fet, l'únic menor d'ordre $3$ en aquest cas) són zero. Per tant, $rg A < 3$. Cerquem, aleshores, un menor d'ordre $2$ diferent de $0$. Per exemple%
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
2 & -1 \\ 
0 & 1%
\end{array}%
\right\vert =2\neq 0,
\end{equation*}%
per la qual cosa el rang és $2$.
\end{enumerate}

En conclusió, si $\alpha \neq 8$, aleshores $rg A = 3$. I si $\alpha = 8$, aleshores $rg A = 2$.
\end{example}

\begin{exercise} Calculeu $rg A$ en funció del paràmetre $\alpha$, on%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & -7 & \alpha \\ 
1 & 3 & 3 \\ 
0 & 1 & -4%
\end{array}%
\right).
\end{equation*}
\end{exercise}

\section{Exercicis proposats}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-1}
Donades les matrius%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & -3 \\ 
-2 & 1 & 0 \\ 
2 & 1 & 3%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left( 
\begin{array}{rr}
2 & 0 \\ 
-2 & 1 \\ 
2 & 1%
\end{array}%
\right) ,
\end{equation*}%
calculeu, si \'{e}s possible, $AB$ i $BA$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-2}
Calculeu $3AA^{t}-2I$, amb%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & -3 \\ 
-2 & 1 & 0 \\ 
2 & 1 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-4}
Comproveu que $(A\cdot B)^{t}=B^{t}\cdot A^{t}$ amb les matrius%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rr}
1 & 5 \\ 
2 & 4%
\end{array}%
\right) \text{ i }B=\left( 
\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\ 
3 & 6%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-5}
Determineu els valors de $m$ per als quals es verifica que $X^{2}-\frac{5}{2} X+I=\mathbf{0}$, amb%
\begin{equation*}
X=\left( 
\begin{array}{rr}
m & 0 \\ 
0 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-6}
Determineu $a$ i $b$ de forma que es verifiqui que $A^{2}=A$ amb%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rr}
2 & -1 \\ 
a & b%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-7}
Trobeu totes les matrius $X$ de la forma%
\begin{equation*}
X=\left( 
\begin{array}{rrr}
a & 1 & 0 \\ 
0 & b & 1 \\ 
0 & 0 & c%
\end{array}%
\right) \text{ tals que }X^{2}=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-8}
Calculeu dos nombres reals $m$ i $n$ tals que $A + mA + nI=\pmb{0}$ si%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rr}
2 & 1 \\ 
2 & 3%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-9}
Siguin $A$ i $B$ les matrius%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
5 & 2 & 0 \\ 
2 & 5 & 0 \\ 
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left( 
\begin{array}{rrr}
a & b & 0 \\ 
c & c & 0 \\ 
0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
Trobeu les condicions que han de complir els coeficientes $a,b$ i $c$ perquè es verifiqui que $AB = BA$.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-3}
Trobeu dues matrius $X$ i $Y$ que verifiquin el sistema següent:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ccc}
2X-3Y & = & \left( 
\begin{array}{rr}
1 & 5 \\ 
2 & 4%
\end{array}%
\right) \\ 
&  &  \\ 
X-Y & = & \left( 
\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\ 
3 & 6%
\end{array}%
\right)%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-10}
Calculeu, si és possible, la matriu inversa de cadascuna de les matrius següents:%
\begin{equation*}
\begin{array}{ll}
A=\left( 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
3 & 6%
\end{array}%
\right) & B=\left( 
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\ 
3 & 3%
\end{array}%
\right) \\ 
&  \\ 
C=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\ 
3 & -5 & -2 \\ 
3 & 3 & 6%
\end{array}%
\right) & D=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 4 \\ 
3 & -5 & -4 \\ 
3 & 3 & 1%
\end{array}%
\right)%
\end{array}%
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-11}
Calculeu la matriu inversa de cadascuna de les matrius següents:%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{cc}
-1 & 2 \\ 
3 & a%
\end{array}%
\right) ,\; B=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\ 
3 & -5 & -2 \\ 
3 & b & 6%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-15-parametre}
Digueu en funció dels paràmetres corresponents quan les matrius següents són regulars. En cas de ser-ho, trobeu la seva inversa:%
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha+2 & 1 & 1\\ 
1 & \alpha + 2 & 1\\
1 & 1 & \alpha +2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\ 
1 & a & 2\\
-1 & 1 & a%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 4\\ 
3 & 2 & a\\
-5 & -6 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
\alpha & 2 & -1\\ 
3 & 2 & \alpha + 1\\
7 & 6 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & a & 1\\ 
a-1 & -2 & -1\\
1 & a+1 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
m & 0 & 2\\ 
m & m & 4\\
0 & m & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1\\ 
m & 4 & 4\\
m & 2 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0\\ 
a & 0 & 1\\
a+1 & 1 & a%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
4 & 3 & \lambda\\ 
2 & 1 & 2\\
\lambda & \lambda & -1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
2 & 1 & -a\\ 
2a & 1 & -1\\
2 & a & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & 2\\ 
k & 0 & 1\\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
a & 1 & 2\\ 
a & a & 2\\
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
a & 1 & a\\ 
2 & a & 2\\
a & 1 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
a & 1 & 2\\ 
2 & a & 2\\
a & 1 & a%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
a & -1 & 1\\ 
1 & a & 1\\
1 & 1 & 4a%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\item \begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{ccc}
k & -1 & 1\\ 
k & k & 1\\
1 & -1 & k%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}



\begin{exercise}\label{exercici:matrius-12}
Calculeu el rang de cadascuna de les matrius següents:%
\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 4 & -1 \\ 
-1 & 3 & 2 \\ 
2 & 2 & 0%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 0 & 3 \\ 
-1 & 3 & 1 & 4 \\ 
2 & 1 & 5 & -1%
\end{array}%
\right) , \\
&& \\
C &=&\left( 
\begin{array}{rrr}
3 & 5 & 1 \\ 
6 & 10 & -2 \\ 
1 & 0 & 1 \\ 
4 & 5 & 0%
\end{array}%
\right) ,\text{ }D=\left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 0 & 3 \\ 
-1 & 3 & 1 & 4 \\ 
0 & 1 & 1 & 7%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-13}
Estudieu el rang de les matrius següents segons el valor del paràmetre que hi apareix:%
\begin{eqnarray*}
A &=&\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 0 \\ 
1 & 1 & -2 \\ 
3 & 1 & a%
\end{array}%
\right) ,\text{ }B=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & a \\ 
a & 3 & 4 \\ 
3 & -1 & 2%
\end{array}%
\right) ,\text{ }C=\left( 
\begin{array}{ccc}
a & -1 & 1 \\ 
1 & -a & 2a-1%
\end{array}%
\right) , \\
D &=&\left( 
\begin{array}{rrr}
t & 1 & 1 \\ 
1 & -t & 1 \\ 
1 & 1 & t%
\end{array}%
\right) ,\text{ }E=\left( 
\begin{array}{rrr}
t & 2 & 2 \\ 
2 & t & 0 \\ 
1 & t & t%
\end{array}%
\right) ,\text{ }F=\left( 
\begin{array}{ccc}
t+3 & 4 & 0 \\ 
0 & t-1 & 1 \\ 
-4 & -4 & t-1%
\end{array}%
\right) , \\
G &=&\left( 
\begin{array}{rrrr}
t & 1 & 1 & 2 \\ 
2 & t & t^{2} & 1 \\ 
2 & 1 & 1 & 2%
\end{array}%
\right)
\end{eqnarray*}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exercici:matrius-14}
Estudieu el rang de la matriu seg\"{u}ent en funci\'{o} de $a,b$ i $c$:%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{ccc}
5 & 5 & 5 \\ 
a & b & c \\ 
b+c & a+c & a+b%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{exercise}


\chapter{Sistemes d'equacions lineals}

\section{Definicions}

\begin{definition}[sistema d'equacions lineal] Un \term{sistema d'equacions lineals de $m$ equacions i $n$ incògnites}\index{sistema d'equacions lineal} és un conjunt d'equacions que tenen l'aspecte general següent:
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} & = & b_{1} \\ 
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} & = & b_{2} \\ 
\vdots &  & \vdots \\ 
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{mn}x_{n} & = & b_{m}%
\end{array}%
\right\},
\end{equation*}%
de manera que s'han de verificar conjuntament.

Anomenarem:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item A $x_1$, \ldots, $x_n$ les \term{incògnites} del sistema\index{incògnites d'un sistema}
\item A $a_{ij}$, on $i=1,\ldots, m$ i $j=1,\ldots, n$, els \term{coeficients} del sistema\index{coeficients!d'un sistema}
\item A $b_1$, \ldots, $b_m$ els \term{termes independents} del sistema\index{termes!independents d'un sistema}
\end{enumerate}

Una \term{solució} del sistema\index{solució d'un sistema} és un conjunt de valors $c_1$, \ldots, $c_n$ de manera que verifiquen simultàniament cada equació, és a dir,
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ccc}
a_{11}\cdot c_{1} + a_{12}\cdot c_{2} + \ldots + a_{1n}\cdot c_{n}
& = & b_{1} \\ 
a_{21}\cdot c_{1} + a_{22}\cdot c_{2} + \ldots + a_{2n}\cdot c_{n}
& = & b_{2} \\ 
\vdots &  & \vdots \\ 
a_{m1}\cdot c_{1} + a_{m2}\cdot c_{2} + \ldots + a_{mn}\cdot c_{n}
& = & b_{m}%
\end{array}%
\right\}.
\end{equation*}%
Aquests valors es poden escriure en forma de $n$-tupla ordenada $(c_1, \ldots, c_n)$.

\term{Resoldre}\index{resoldre un sistema} el sistema és trobar totes les $n$-tuples que són solució d'aquest.
\end{definition}

\section{Tipus de sistemes}

\begin{definition}[tipus de sistemes lineals] Atenent al nombre de solucions, un sistema pot esser de diversos tipus:
\begin{itemize}
\item Si un sistema no té solució, s'anomena \term{incompatible}\index{sistema!incompatible}
\item Si té solució, s'anomena \term{compatible}\index{sistema!compatible}
\begin{itemize}
\item Si el sistema té una sola solució, aleshores s'anomena \term{compatible determinat}\index{sistema!compatible!determinat}
\item Si el sistema té més d'una solució, aleshores s'anomena \term{compatible indeterminat}\index{sistema!compatible!indeterminat}. En els sistemes lineals, un sistema compatible indeterminat té infinites solucions (no en pot tenir un nombre finit distint d'$1$).
\begin{itemize}
\item Un sistema compatible indeterminat es diu \term{simplement indeterminat}\index{sistema!simplement indeterminat} si el conjunt de solucions depèn d'un paràmetre
\item Un sistema compatible indeterminat es diu \term{doblement indeterminat}\index{sistema!doblement indeterminat} si el conjunt de solucions depèn de dos paràmetres\footnote{Per exemple, les solucions del sistema format per l'única equació $2x-3y+4z = 1$ es poden expressar com $y = a$, $z = b$ i $x= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}a -2b$, on $a$ i $b$ són nombres reals qualsevols (paràmetres).}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[sistema homogeni] Un sistema d'equacions s'anomena \term{homogeni}\index{sistema!homogeni} si tots els seus termes independents són iguals a zero. És a dir, els sistemes d'equacions tenen la pinta següent:
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \ldots + a_{1n}x_{n} & = & 0 \\ 
a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \ldots + a_{2n}x_{n} & = & 0 \\ 
\vdots &  & \vdots \\ 
a_{m1}x_{1} + a_{m2}x_{2} + \ldots + a_{mn}x_{n} & = & 0%
\end{array}%
\right\}.
\end{equation*}%
\end{definition}

\begin{example}
El sistema%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rlr}
4x-y+6z & = & -9 \\ 
-x+3y-2z & = & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
és compatible, ja que el conjunt de tres nombres $x=-2,$ $y=1,$ $z=0$ és solució del sistema, donat que
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rlr}
4\cdot \left( -2\right) -1+6\cdot 0 & = & -9 \\ 
-\left( -2\right) +3\cdot \left( -1\right) -2\cdot 0 & = & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
En canvi, el conjunt $x=3,$ $y=27,$ $z=1$ no es solució, ja que alguna de les equacions no es verifica (la segona en aquest cas):%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rlr}
4\cdot 3-27+6\cdot 1 & = & -9 \\ 
-3+3\cdot 27-2\cdot 1 & \neq & -1%
\end{array}%
\right\}.
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
El sistema%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{lll}
x+y & = & 3 \\ 
x+y & = & 2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
és incompatible (no tiene solució), ja que no existeixen dos nombres, $x$ i $y$, tals que la seva suma sigui, a la vegada, $3$ i $2$ (o la suma dóna $3$ o dóna $2,$ pero no els dos valors de cop).
\end{example}

\section{Sistemes matricials}

Per resoldre sistemes d'equacions de forma còmoda, és necessari passar de la seva forma algebraica clàssica (com a conjunt d'equacions) a una forma matricial (com a igualtat entre matrius). Això facilitarà enormement esbrinar el nombre de solucions d'un sistema i el seu càlcul.

Un sistema de $m$ equacions i $n$ incògnites $x_1$, \ldots, $x_n$ adopta la forma general:
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1 \\ 
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2 \\ 
\vdots &  & \vdots \\ 
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n & = & b_m%
\end{array}%
\right\}.
\end{equation*}%
Aquest es pot expressar de forma matricial\index{forma matricial d'un sistema} com:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a_{11} &  a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} &  a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\hdotsfor{4}\\
a_{m1} &  a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix},
\end{equation*}
o bé en la forma més compacte
\begin{equation*}
A \cdot x = b,
\end{equation*}
on 
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
a_{11} &  a_{12} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} &  a_{22} & \dots & a_{2n}\\
\hdotsfor{4}\\
a_{m1} &  a_{m2} & \dots & a_{mn}
\end{pmatrix}; x = \begin{pmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{pmatrix}; b = \begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
\vdots\\
b_m
\end{pmatrix},
\end{equation*}

La matriu $A$ s'anomena \term{matriu de coeficients del sistema}\index{matriu!de coeficients}, la matriu (filera) $b$ s'anomena \term{matriu de termes independents}\index{matriu!de termes independents} i $x$ reb el nom de \term{matriu de variables}\index{matriu!de variables}.

Anomenarem \term{matriu ampliada (o completa) del sistema}\index{matriu!ampliada} i la representarem com a $M$, a la matriu d'ordre $m \times (n+1)$:
\begin{equation*}
M = \begin{pmatrix}
a_{11} &  a_{12} & \dots & a_{1n} & b_1\\
a_{21} &  a_{22} & \dots & a_{2n} & b_2\\
\hdotsfor{4}\\
a_{m1} &  a_{m2} & \dots & a_{mn} & b_m
\end{pmatrix}.
\end{equation*}

\begin{example} Per exemple, en el sistema%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
2x-y+z & = & 0 \\ 
x+3z & = & -2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
les incògnites són $x,y$ i $z$, i els termes independients són $0$
i $-2$. La matriu dels coeficients i la matriu ampliada són,
respectivamente,%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\ 
1 & 0 & 3%
\end{array}%
\right) ,\text{ }M=\left( 
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 3 & -2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}

\begin{example}
El sistema%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rlr}
4x-y+6z & = & -9 \\ 
-x+3y-2z & = & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
és el mateix que%
\begin{equation*}
\left( 
\begin{array}{ccc}
4 & -1 & 6 \\ 
-1 & 3 & -2%
\end{array}%
\right) \cdot \left( 
\begin{array}{c}
x \\ 
y \\ 
z%
\end{array}%
\right) =\left( 
\begin{array}{c}
-9 \\ 
-1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}
\end{example}

\section{Regla de Cràmer}

La regla de Cràmer permet trobar la solució de sistemes d'equacions lineals en els que es verifiquin, simultàniament, les condicions següents:
\begin{itemize}
\item Hi ha tantes equacions com a incògnites
\item La matriu de coeficients té determinant no nul
\end{itemize}

Amb aquestes condicions, la regla de Cràmer permet trobar la solució del sistema. En aquest cas, podem assegurar que només existeix una única solució (el sistema és compatible determinat), però això ho veurem més endavant (\autoref{seccio:discussio-sistemes}).

\begin{algorithm}[regla de Cràmer]\index{regla!de Cràmer} Sigui
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{ccc}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n & = & b_1 \\ 
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n & = & b_2 \\ 
\vdots &  & \vdots \\ 
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n & = & b_n%
\end{array}%
\right\}.
\end{equation*}%
un sistema d'equacions d'$n$ equacions amb $n$ incògnites tal que el determinant $\lvert A \rvert$ de la seva matriu de coeficients $A$ és no nul.
Aleshores, el sistema té una sola solució, $(x_1, \ldots, x_n)$, que ve donada per:%
\begin{equation*}
x_{1}=\frac{\left\vert 
\begin{array}{cccc}
b_{1} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ 
b_{2} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ 
. & . & . & . \\ 
b_{n} & a_{n2} & ... & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert },
\end{equation*}%
\begin{equation*}
x_{2}=\frac{\left\vert 
\begin{array}{cccc}
a_{11} & b_{1} & ... & a_{1n} \\ 
a_{21} & b_{2} & ... & a_{2n} \\ 
. & . & . & . \\ 
a_{n1} & b_{n} & ... & a_{nn}%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert },
\end{equation*}%
\begin{equation*}
\vdots
\end{equation*}%
\begin{equation*}
x_{n}=\frac{\left\vert 
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & b_{1} \\ 
a_{21} & a_{22} & ... & b_{2} \\ 
. & . & . & . \\ 
a_{n1} & a_{n2} & ... & b_{n}%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }
\end{equation*}
\end{algorithm}

\begin{example}
Sigui el sistema%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
2x-y+z & = & 0 \\ 
x+3z & = & -2 \\ 
x+y & = & 1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Aquest sistema té $3$ equacions i $3$ incògnites i, a més, es compleix que%
\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\ 
1 & 0 & 3 \\ 
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert =-3+1-6=-8\neq 0
\end{equation*}%
Per tant, podem aplicar la regla de Cràmer, amb el que la solució del sistema és:%
\begin{eqnarray*}
x &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
0 & -1 & 1 \\ 
-2 & 0 & 3 \\ 
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8} \\
&& \\
y &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 1 \\ 
1 & -2 & 3 \\ 
1 & 1 & 0%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8} \\
&& \\
z &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 0 \\ 
1 & 0 & -2 \\ 
1 & 1 & 1%
\end{array}%
\right\vert }{\left\vert A\right\vert }=\frac{7}{-8}=\frac{-7}{8}
\end{eqnarray*}
Per tant, $(5/8, 3/8, -7/8)$ és la solució del sistema d'equacions.
\end{example}

\begin{exercise}
Resoleu el sistema següent:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
-x-2y+5z & = & -3 \\ 
3x+3z & = & 4 \\ 
2x-2y+z & = & 0%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}

\section{Discussió d'un sistema de equacions}\label{seccio:discussio-sistemes}

Per suposat, no tots els sistemes d'equacions lineals tenen tantes equacions com incògnites, i fins i tot en aquest cas, no tots compleixen que el determinant de la seva matriu de coeficients sigui no nul. Per tant, la regla de Cràmer no és aplicable en aquests casos. Ara bé, tendrem algorismes per a la resolució dels sistemes d'equacions més generals (\autoref{seccio:resolucio-general-sistemes})

Ara bé, abans d'ocupar-nos de la resolució general dels sistemes d'equacions lineals, ens interessarem sobre els criteris que han de complir per a què aquests tenguin solució. És a dir, estudiarem en quins casos un sistema d'equacions té solució i, en aquest cas, quantes en té. D'aquesta manera, podem assegurar-nos que, abans de resoldre un sistema d'equacions, aquest té una solució i, per tant, no començarem a resoldre sistemes que no tenguin solució, amb el conseqüent guany de temps.

\begin{theorem}[teorema de Rouché-Frobenius]\index{teorema!de Rouché-Frobenius}\label{thm-Rouche-Frobenius} Sigui un sistema d'equacions lineals qualsevol amb $n$ incògnites. I siguin $A$ la matriu de coeficients i $M$ la matriu ampliada. Aleshores:%
\begin{itemize}
\item $rg A \neq rg M$ $\iff$ El sistema és incompatible (no té solució)
\item $rg A = rg M$ $\iff$ El sistema és compatible (té solució)
\begin{itemize}
\item $rg A = rg M = n$ $\iff$ El sistema és compatible determinat (té una única solució)
\item $rg A = rg M < n$ $\iff$ El sistema és compatible indeterminat (té infinites solucions)
\end{itemize} 
\end{itemize}
\end{theorem}

D'aquesta manera, per saber si un sistema d'equacions té solució o no, en primer lloc s'han de calcular els valors de $rg A$ i $rg M$ i procedir a classificar el sistema segons la taula anterior.

\begin{claim} Recordem que el rang d'una matriu és el nombre de línies linealment independents (\autoref{proposicio:fites-rang}). Per tant, clarament, tenim que
\begin{equation*}
rg A \leq rg M
\end{equation*}

Notem que, en el cas d'un sistema homogeni, aquest desigualtat realment és una igualtat, és a dir, $rg A = rg M$.
\end{claim}

\begin{claim}
La idea que s'amaga darrera del teorema de Rouché-Frobenius (\autoref{thm-Rouche-Frobenius}) és analitzar si una equació és combinació lineal de les altres: si això passa, aleshores la podem suprimir del sistema, ja que aquesta equació no ens aporta cap informació. Per exemple, en el sistema
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
2x + 3y + 4z & = & 2 \\
x + 2y + 3z & = & 1 \\ 
x + y + z & = & 1
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
tenim que la tercera equació és combinació lineal de les dues primeres ($L_3 = L_1 - L2$). En el nostre cas, això és el mateix que dir que el rang de la matriu ampliada és menor que 3 (el nombre d'incògnites), per aplicació de \autoref{proposicio:fites-rang}, ja que les fileres de la matriu ampliada són les equacions del sistema d'equació. Si el rang de la matriu ampliada coincideix amb el nombre d'incògnites, vol dir que totes les equacions són linealment independents i, per tant, no n'hi ha cap que sigui deduïble de les altres.

D'altra banda, la comparació entre els rangs de la matriu ampliada i la matriu de coeficients ens dóna informació sobre la compatibilitat del sistema. Per a què un sistema tengui solució, la independència lineal de les seves equacions ha de ser la mateixa que la independència lineal de les equacions considerades sense termes independents.
\end{claim}

\begin{example}
Sigui el sistema de equacions%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
2x-y+z & = & 0 \\ 
x+3z & = & -2 \\ 
3x-y+4z & = & -2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Per a determinar quin tipus de sistema és, hem de calcular els rangs de les matrius%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\ 
1 & 0 & 3 \\ 
3 & -1 & 4%
\end{array}%
\right) \quad \text{i} \quad M=\left( 
\begin{array}{rrrr}
2 & -1 & 1 & 0 \\ 
1 & 0 & 3 & -2 \\ 
3 & -1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
\begin{itemize}
\item Com que
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 1 \\ 
1 & 0 & 3 \\ 
3 & -1 & 4%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}%
aleshores $rg A < 3$. Si cercam un menor d'ordre 2, en trobem un no nul:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
2 & -1 \\ 
1 & 0%
\end{array}%
\right\vert =1\neq 0
\end{equation*}%
Per tant, $rg A = 2$.
\item Com que $rg A = 2$ i $rg A \leq rg M$, sabem que $rg M \geq 2$. Hem de veure si $rg M$ pot ser igual a $3$. Per aixo, hem de calcular tots els menors d'ordre 3 de $M$. Ara bé,
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 0 \\ 
1 & 0 & -2 \\ 
3 & -1 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0, \quad \left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & 1 & 0 \\ 
1 & 3 & -2 \\ 
3 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0, \quad \left\vert 
\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 0 \\ 
0 & 3 & -2 \\ 
-1 & 4 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0,
\end{equation*}%
pel que $rg M = 2$.
\item Per tant, $rg A = rg M = 2 < 3$. Per la qual cosa, aquest sistema és compatible indeterminat. Per tant, té un nombre infinit d'incògnites.
\end{itemize}
\end{example}

\begin{exercise}
Clasifiqueu el sistema d'equacions següent:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
2x-3y+z & = & 0 \\ 
x-3z & = & 3 \\ 
3x-3y-2z & = & 3%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Discussió d'un sistema de equacions en funció d'un paràmetre}

Quan en un sistema apareix un paràmetre en els termes independents o en els coeficients del sistema, aleshores la classificació d'aquest depèn del valors que té aquest paràmetre.

\begin{example} Sigui el sistema d'equacions%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
2x-3y+5z & = & 0 \\ 
x-3z & = & -2 \\ 
3x-\alpha y+2z & = & -2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Estudiem els valors dels rangs de les seves matrius de coeficients i ampliada en funció del paràmetre $\alpha$.

\begin{equation*}
\left\vert A\right\vert =\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & -3 & 5 \\ 
1 & 0 & -3 \\ 
3 & -\alpha & 2%
\end{array}%
\right\vert =33-11\alpha
\end{equation*}%
Pel que, $\left\vert A\right\vert $ valdrà zero si, i només si, $33-11\alpha =0$, és a dir, si $\alpha =3$. D'aquí es segueix que hem de diferenciar casos:
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item Si $\alpha \neq 3$, aleshores $\lvert A \rvert \neq 0$. Per tant, $rg A = 3$. I, per tant, com que $rg A \leq rg M \leq 3$, tenim que $rg M = 3$. I tenim tres incògnites, pel que el sistema és compatible determinat (té una única solució per a cada valor concret de $\alpha$).

\item Si $\alpha = 3$, aleshores les matrius de coeficients i ampliades són:
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
2 & -3 & 5 \\ 
1 & 0 & -3 \\ 
3 & -3 & 2%
\end{array}%
\right) ,\quad M=\left( 
\begin{array}{rrrr}
2 & -3 & 5 & 0 \\ 
1 & 0 & -3 & -2 \\ 
3 & -3 & 2 & -2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
En aquest cas, sabem que $rg A < 3$ (l'únic menor d'ordre 3, $\lvert A \rvert$, és zero). I com que 
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
2 & -3 \\ 
1 & 0%
\end{array}%
\right\vert =3\neq 0
\end{equation*}%
aleshores $rg A = 2$ (hi ha un menor d'ordre dos no nul).

Queda ara calcular el rang de $M$. Sabem segur que $rg M$ com a mínim és 2. Hem de veure si pot ser tres. Per això, calculem tots els menors d'ordre tres:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & 5 & 0 \\ 
1 & -3 & -2 \\ 
3 & 2 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0,\quad \left\vert 
\begin{array}{rrr}
2 & -3 & 0 \\ 
1 & 0 & -2 \\ 
3 & -3 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0, \quad \left\vert 
\begin{array}{rrr}
-3 & 5 & 0 \\ 
0 & -3 & -2 \\ 
-3 & 2 & -2%
\end{array}%
\right\vert =0.
\end{equation*}%
Per tant, $rg M = 2$.
\end{enumerate}

En resum, si $\alpha \neq 3$, el sistema és compatible determinat. I si $\alpha = 3$, el sistema és compatible indeterminat.
\end{example}

\begin{exercise}Clasifiqueu el sistema següent en funci\'{o} del paràmetre $\alpha$:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
2x-3y+z & = & 0 \\ 
\alpha x-3z & = & 3 \\ 
3x-3y-2z & = & 3%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}

Notem que l'aplicació del teorema de Rouché-Frobenius (\autoref{thm-Rouche-Frobenius}) no proporciona la solució del sistema, sinó tan sols quantes en té. En l'apartat següent es mostra com trobar aquestes solucions.

\section{Resolució d'un sistema d'equacions}\label{seccio:resolucio-general-sistemes}

La resolució d'un sistema d'equacions varia lleugerament segons si aquest és un sistema compatible determinat o un sistema compatible indeterminat. Ara bé, a grans trets, sempre es realitzen els mateixos passos:
\begin{itemize}
\item En primer lloc, s'esbrina si el sistema és compatible o incompatible usant el teorema de Rouché-Frobenius (\autoref{thm-Rouche-Frobenius}). En cas de què el sistema sigui incompatible, s'ha acabat (no hi ha solució per tant no es pot calcular).
\item Quan es té un sistema compatible, es determina si aquest és determinat o indeterminat.
\item En el primer cas, usant la regla de Cràmer es resol el sistema i es calcula la seva única solució. En l'altra cas, es transforma el sistema en un altre compatible determinat, el qual depèn d'un paràmetre, i es calcula la seva solució, aplicant de nou la regla de Cràmer. En aquest cas, s'obté una solució que depèn d'un paràmetre.
\end{itemize}

Vegem els dos tipus de sistemes a continuació.

\subsection{Sistema compatible determinat}

\begin{example}Sigui el sistema%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
x-2y+3z & = & -2 \\ 
4x-3y & = & 0 \\ 
y+z & = & -1 \\ 
3x-2z & = & 1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Volem resoldre aquest sistema. Per fer-ho, escrivim les matrius de coeficients i ampliada, respectivament:
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\ 
4 & -3 & 0 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
3 & 0 & -2%
\end{array}%
\right) , \; M=\left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 3 & -2 \\ 
4 & -3 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 1 & -1 \\ 
3 & 0 & -2 & 1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
i calculem els seus rangs:
\begin{itemize}
\item $A$ té un menor d'ordre $3$ no nul:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
4 & -3 & 0 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
3 & 0 & -2%
\end{array}%
\right\vert =-17\neq 0,
\end{equation*}%
Per tant, $rgA=3$ (recordem que $rg A \leq 3$ perquè no hi pot haver menors d'ordre $4$).
\item $\lvert M \rvert =0$, ja que
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrrr}
1 & -2 & 3 & -2 \\ 
4 & -3 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 1 & -1 \\ 
3 & 0 & -2 & 1%
\end{array}%
\right\vert =0,
\end{equation*}%
(que és l'únic menor d'ordre $4$ de $M$). Per tant, $rg M = 3$.
\item Com que $rgA=rgM=3$, aleshores el sistema és compatible determinat (teorema de Rouché-Frobenius)
\end{itemize}

Per tant, per ara sabem que el sistema té una solució i que aquesta és única, però encara no sabem com calcular-la. El pas següent és reduïr el nombre d'equacions del sistema: el nostre sistema té tres incògnites i quatre equacions. Per tant, de qualque manera, {\em sobra} una equació. Per saber quina sobra, trobarem quines equacions són (linealment) independents unes de les altres. Ara bé, hem vist que el menor
\begin{equation*}
\Delta = \left\vert 
\begin{array}{rrr}
4 & -3 & 0 \\ 
0 & 1 & 1 \\ 
3 & 0 & -2%
\end{array}%
\right\vert
\end{equation*}%
era diferent de zero. Aquest menor correspon a les fileres 2a, 3a i 4a. Això vol dir que les equacions 2a, 3a i 4a són independents unes de les altres (tres línies són linealment independents si el seu determinant no és zero). O sigui, la primera equació és redundant (és combinació lineal de les altres).

Aleshores, a partir d'ara les úniques equacions que es tendran en compte seran la segona, la tercera i la quarta. El nostre sistema és ara:
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
4x-3y & = & 0 \\ 
y+z & = & -1 \\ 
3x-2z & = & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%

Ara el nostre sistema compleix les condicions de la regla de Cràmer ($\Delta \neq 0$ i hi ha tantes equacions com a incògnites). Aleshores, aplicant aquesta regla es té que la seva solució és:
\begin{eqnarray*}
x &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
0 & -3 & 0 \\ 
-1 & 1 & 1 \\ 
1 & 0 & -2%
\end{array}%
\right\vert }{-17}=\frac{3}{-17}=\frac{-3}{17} \\
&& \\
y &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
4 & 0 & 0 \\ 
0 & -1 & 1 \\ 
3 & 1 & -2%
\end{array}%
\right\vert }{-17}=\frac{4}{-17}=\frac{-4}{17} \\
&& \\
z &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
4 & -3 & 0 \\ 
0 & 1 & -1 \\ 
3 & 0 & 1%
\end{array}%
\right\vert }{-17}=\frac{13}{-17}=\frac{-13}{17}
\end{eqnarray*}%
Per tant, l'única solució del sistema és:%
\begin{equation*}
x=\frac{-3}{17},\text{ }y=\frac{-4}{17},\text{ }z=\frac{-13}{17}
\end{equation*}
\end{example}

\begin{exercise}Resoleu el sistema següent:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
4x+y & = & -1 \\ 
-x+3y & = & 2 \\ 
3x+4y & = & 1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Sistema compatible indeterminat}

\begin{example}Sigui el sistema%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
6x+y-3z & = & 1 \\ 
2x-y+z & = & -1 \\ 
10x-y-z & = & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
La matriu de coeficients i la matriu ampliada són, respectivament%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
6 & 1 & -3 \\ 
2 & -1 & 1 \\ 
10 & -1 & -1%
\end{array}%
\right) ,\; M=\left( 
\begin{array}{rrrr}
6 & 1 & -3 & 1 \\ 
2 & -1 & 1 & -1 \\ 
10 & -1 & -1 & -1%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
En primer lloc, hem de calcular $rg A$ i $rg M$ per a saber de quin tipus de sistema es tracta:
\begin{itemize}
\item En primer lloc, calculem el determinant d'$A$:
\begin{equation*}
\lvert A \rvert = \left\vert 
\begin{array}{rrr}
6 & 1 & -3 \\ 
2 & -1 & 1 \\ 
10 & -1 & -1%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}%
Per tant, $rg A < 3$. I com que 
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rr}
6 & -3 \\ 
2 & 1%
\end{array}%
\right\vert = 6+6 = 12 \neq 0,
\end{equation*}%
aleshores $rg A = 2$.

\item Per a calcular $rg M$, mirem si existeixen menors d'ordre tres no nuls. Ja sabem que $\lvert A \rvert = 0$. Per tant, ens queden tres menors d'ordre tres a calcular:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
6 & 1 & -1 \\ 
2 & -1 & -1 \\ 
10 & -1 & -1%
\end{array}%
\right\vert =0, \; \left\vert 
\begin{array}{rrr}
6 & -3 & 1 \\ 
2 & 1 & -1 \\ 
10 & -1 & -1%
\end{array}%
\right\vert =0, \; \left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & -3 & 1 \\ 
-1 & 1 & -1 \\ 
-1 & -1 & -1%
\end{array}%
\right\vert =0
\end{equation*}%
Per tant, el $rg M$ no pot ser $3$. I com que $rg A \leq rg M$, tenim que $rg M = 2$.
\item Amb tot, el sistema és compatible indeterminat, ja que $rg A = rg M = 2 <$ nombre d'incògnites del sistema. Per tant, té infinites solucions.
\end{itemize}

El menor que ha decidit el rang d'ambdues matrius ha estat%
\begin{equation*}
\Delta = \left\vert 
\begin{array}{rr}
6 & -3 \\ 
2 & 1%
\end{array}%
\right\vert .
\end{equation*}%
Per tant, aquest és el menor que indica quines són les {\em les equacions i incògnites principals} del sistema. Aquest menor correspon a les fileres $1$a i $2$a i a les columnes $1$a i $3$a. Per les que les úniques equacions que es tendran en compte a partir d'ara seran la primer i la segona. D'altra banda, aïllarem a l'esquerra del símbol $=$, les incògnites $x$ i $z$ (que són la primera i la tercera), i es passaran a la dreta de l'igual els termes de la incògnita $y$. Aleshores, el nostre sistema és ara:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
6x-3z & = & 1-y \\ 
2x+z & = & -1+y%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Les incògnites $x$ i $z$ depenen d'una tercera incògnita, $y$, que pot tenir el valor que es vulgui. És a dir, $y$ és un paràmetre. Per a fer constar aquest fet i no confondre una incògnita amb un paràmetre, es fa el canvi de variable $y = \lambda$, on $\lambda$ és un nombre real qualsevol. Amb tot el sistema queda:
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
6x-3z & = & 1-\lambda \\ 
2x+z & = & -1+\lambda%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%

Ara volem resoldre aquest sistema que té incògnites $x$ i $z$. Aquest sistema compleix les condicions de la regla de Cràmer (té tantes equacions com a incògnites i el determinant de la matriu de coeficients és no nul, ja que aquest és $\Delta$). Aplicant la regla de Cràmer, s'obté que:%
\begin{eqnarray*}
x &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rr}
1-\lambda & -3 \\ 
-1+\lambda & 1%
\end{array}%
\right\vert }{12}=\frac{-2+2\lambda}{12}=\frac{2\left( -1+\lambda\right) }{2\cdot 6}=\frac{-1+\lambda}{6} \\
z &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rr}
6 & 1-\lambda \\ 
2 & -1+\lambda%
\end{array}%
\right\vert }{12}=\frac{-8+8\lambda}{12}=\frac{4\left( -2+2\lambda\right) }{4\cdot 3}=\frac{-2+2\lambda}{3} \\
\end{eqnarray*}%

Per tant, les solucions del sistema d'equacions són:
\begin{equation*}
x = \frac{-1+\lambda}{6}, \; y = \lambda \; z= \frac{-2 + 2 \lambda}{3},
\end{equation*}
on $\lambda \in \mathbb{R}$ és un nombre qualsevol.
\end{example}

\begin{exercise}Resoleu el sistema següent:%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
x-5y+2z & = & -3 \\ 
-5x-y & = & 2 \\ 
-4x-6y+2z & = & -1%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Sistemes d'equacions amb un paràmetre}

La solució, en cas d'existir, d'un sistema d'equacions lineals en el que apareix un paràmetre dependrà del valors d'aquest paràmetre. Vegem-ne un exemple.

\begin{example}Sigui el sistema d'equacions%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcr}
\alpha x+y+z & = & 4 \\ 
x+y+z & = & \alpha \\ 
x-y+\alpha z & = & 2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}%
Aquest sistema depèn del paràmetre $\alpha$. L'existència de solucions i quines siguin aquestes solucions, en cas d'existir, dependrà, doncs, del valor d'$\alpha$.

La matriu de coeficients i la matriu ampliada són, respectivament:%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
\alpha & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 1 \\ 
1 & -1 & \alpha%
\end{array}%
\right) , \; M=\left( 
\begin{array}{rrrr}
\alpha & 1 & 1 & 4 \\ 
1 & 1 & 1 & \alpha \\ 
1 & -1 & \alpha & 2%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%
En primer lloc, hem de classificar el sistema. Per tant, hem de calcular $rg A$ i $rg M$. Però, com què ambdues matrius depenen d'$\alpha$, aquests rangs també dependran d'aquest paràmetre. D'aquesta manera, hem d'estudiar els rangs de $A$ i $M$ en funció d'$\alpha$.

Comencem, per exemple, amb la matriu de coeficients. Prenem el menor més gran possible: 
\begin{equation*}
\lvert A \rvert = \left\vert 
\begin{array}{rrr}
\alpha & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 1 \\ 
1 & -1 & \alpha%
\end{array}%
\right\vert =\alpha ^{2}-1
\end{equation*}%
Aquest menor valdrà zero si, i només si,%
\begin{equation*}
\alpha ^{2}-1=0 \iff \alpha ^{2}=1 \iff \alpha =\pm 1
\end{equation*}%
Per tant, hem de considerar diverses possibilitats:

\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item Si $\alpha \neq \pm 1$, aleshores $\lvert A \rvert \neq 0$. Per tant, existeix un menor d'ordre $3$ no nul. El que implica que, $rg A=3$. I aleshores $rg M = 3$. Per tant, el sistema és compatible determinat. I a més es compleixen les condicions de la regla de Cràmer. Per tant,
\begin{eqnarray*}
x &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
4 & 1 & 1 \\ 
\alpha & 1 & 1 \\ 
2 & -1 & \alpha%
\end{array}%
\right\vert }{\alpha^2-1}=\frac{-\alpha^2+3\alpha +4}{\alpha^2-1}=%
\frac{\left( \alpha -4\right) \left( -\alpha -1\right) }{\left( \alpha
+1\right) \left( \alpha -1\right) }=\frac{4-\alpha }{\alpha -1} \\
y &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
\alpha & 4 & 1 \\ 
1 & \alpha & 1 \\ 
1 & 2 & \alpha%
\end{array}%
\right\vert }{\alpha^2-1}=\frac{\alpha^3-7\alpha +6}{\alpha^2-1}=%
\frac{\left( \alpha -1\right) \left( \alpha -2\right) \left( \alpha
+3\right) }{\left( \alpha +1\right) \left( \alpha -1\right) }=\frac{\left(
\alpha -2\right) \left( \alpha +3\right) }{\alpha +1} \\
z &=&\frac{\left\vert 
\begin{array}{rrr}
\alpha & 1 & 4 \\ 
1 & 1 & \alpha \\ 
1 & -1 & 2%
\end{array}%
\right\vert }{\alpha^2-1}=\frac{\alpha^2+3\alpha -10}{\alpha^2-1}=%
\frac{\left( \alpha -2\right) \left( \alpha +5\right) }{\left( \alpha
+1\right) \left( \alpha -1\right) }
\end{eqnarray*}%
Per tant, per a cada possible valor de $\alpha$, tenim una única solució.

\item Si $\alpha =1$, aleshores les matrius $A$ i $M$ són:%
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 1 \\ 
1 & -1 & 1%
\end{array}%
\right) \; M=\left( 
\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 4 \\ 
1 & 1 & 1 & 1 \\ 
1 & -1 & 1 & 2%
\end{array}\right) .
\end{equation*}%
Esbrinem el rang de $M$. Per això, calculem tots els seus menors d'ordre $4$, excepte $\lvert A \rvert$ que ja hem calculat. Ara bé, no importa calcular-los tots\footnote{Els altres dos menors donen $0$ i $6$.}, ja que 
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 4 \\ 
1 & 1 & 1 \\ 
1 & -1 & 2%
\end{array}%
\right\vert = -6.
\end{equation*}%
Per tant, tenim que $rg M = 3$. Ara bé, $rg A \neq 3$. Per tant, el sistema és incompatible. I per tant, no té solució.

\item Si $\alpha = -1$, aleshores les matrius de coeficients i ampliada són iguals a:
\begin{equation*}
A=\left( 
\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 1 \\ 
1 & -1 & -1%
\end{array}%
\right) \; M=\left( 
\begin{array}{rrrr}
-1 & 1 & 1 & 4 \\ 
1 & 1 & 1 & -1 \\ 
1 & -1 & -1 & 2%
\end{array}%
\right).
\end{equation*}%
Sabem que $rg A \neq 3$. D'altra banda, $rg M = 3$, ja que el menor següent és no nul:
\begin{equation*}
\left\vert 
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 4 \\ 
1 & 1 & 1 \\ 
-1 & 1 & 2%
\end{array}%
\right\vert =6\neq 0 .
\end{equation*}%
Per tant, de nou, el sistema és incompatible.
\end{enumerate}

\end{example}

\section{Exercicis proposats}

\begin{exercise}Apliqueu la regla de Cràmer per resoldre els sistemes següents:%
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+y-z=1 \\ 
x-y+z=1 \\ 
-x+y+z=1%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
3x-y=2 \\ 
2x+y+z=0 \\ 
3y+2z=-1%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{ll}
x +y + 2z & =2 \\ 
x -z & =0 \\ 
 y -z & =-1%
\end{array}%
\right.$


\item $\left\{ 
\begin{array}{ll}
3x -2y & =4 \\ 
y -z & =4 \\ 
2x +2z & =4%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{ll}
2x +3y + 4z & =0 \\ 
-5x -4y -3z & =0 \\ 
x+ y +2z & =0%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{ll}
x +2y + 3z & =1 \\ 
2x -y +z & =1 \\ 
x+ y +z & =0%
\end{array}%
\right.$


\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exer:classificacio-2}Classifiqueu els sistemes d'equacions següents:%
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]
\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
3x-y=2 \\ 
2x+y+z=0 \\ 
6x-2y=-1%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
3x-y=2 \\ 
2x+y+z=0 \\ 
5x+z=2%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+y-z+t=1 \\ 
x-y-t=2 \\ 
z-t=0%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x-y-z+t=4 \\ 
x+y+z-t=2%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
3x-y=0 \\ 
2x+y+z=0 \\ 
3x-2y-z=0%
\end{array}%
\right. $
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}Discutiu els sistemes següents segons els valors del paràmetre $m$:%
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
mx+y+z=4 \\ 
x+y+z=m \\ 
x-y+mz=2%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+2y+3z=0 \\ 
x+my+z=0 \\ 
2x+3y+4z=2%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+my+z=4 \\ 
x+3y+z=5 \\ 
mx+y+z=4%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
mx+y+z=m \\ 
x+y+z=3 \\ 
x+y+mz=3%
\end{array}%
\right.$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{alicia-espuig-sistemes-0}Resoleu, si es pot, els sistemes següents:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
-x+2y +z =3 \\ 
5x-y+4z=3 \\ 
-3x+3y-5z=-2%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
2x+2y +5z =1 \\ 
x-y+3z=-4 \\ 
3x-4y+z=-6%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x-3y +8z =2 \\ 
x+3y-z=8 \\ 
-x+2y+z=-3%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+2y +z =1 \\ 
6x-4y+7z=11 \\ 
-x+2y+3z=2%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+y -2z =0 \\ 
-x+y-z=0 \\ 
-2x+4y-5z=0%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+3y +z =5 \\ 
x+5y+7z=1 \\ 
-x-y+5z=1%
\end{array}%
\right. $

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}Resoleu els sistemes compatibles de l'\autoref{exer:classificacio-2}.
\end{exercise}

\begin{exercise}Resoleu aquests sistemes compatibles indeterminats:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
-x+2y +z =3 \\ 
3x-y+2z=5 \\ 
x+3y+4z=11%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
2x+2y +6z =12 \\ 
x+y+3z=6 \\ 
3x-y+z=0%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x-2y +z =6 \\ 
3x-6y+3z=18 \\ 
x-2y+z=6%
\end{array}%
\right. $

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+2y +z =10 \\ 
2x-y=5 \\ 
5x+z=20%
\end{array}%
\right. $

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}Discutiu i resoleu els sistemes següents en funció del paràmetre corresponent:%
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})]

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
mx-y-z=m \\ 
x-y+mz=m \\ 
x+y+z=-1%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
3x-2y-3z=2 \\ 
2x+ay-5z=-4 \\ 
x+y+2z=2%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
ax+7y+20z=1 \\ 
ax+8y+23z=1 \\ 
x-az=1%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
mx+y=2-2m \\ 
x+my=m-1%
\end{array}%
\right.$

\item $\left\{ 
\begin{array}{r}
x+y+z=1 \\ 
ax=2 \\ 
ay+2z=0%
\end{array}%
\right.$

\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}Hi ha algun valor d'$a$ per al qual el sistema tengui infinites solucions?%
\begin{equation*}
\left. 
\begin{array}{rcl}
\left( a+1\right) x+2y+z & = & a+3 \\ 
ax+y & = & a \\ 
ax+3y+z & = & a+2%
\end{array}%
\right\}
\end{equation*}
\end{exercise}

\subsection{Problemes de sistemes d'equacions}

\begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-1}En una fàbrica es produeixen cotxes blancs, negres i vermells. Fabriquen 140 cotxes diaris. El nombre de cotxes negres representa $3/5$ del nombre de cotxes blancs, i el nombre de cotxes vermells és $1/4$ del nombre de cotxes negres. Quants cotxes de cada color es fabriquen cada dia?
% Exercici d'Alícia Espuig
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-2}Els diners que porten en Pere, en Joan i n'Àngel sumen 200€. N'Àngel porta la mateixa quantitat de diners que en Pere i en Joan junts, i en Pere porta $3/2$ dels diners que porta en Joan. Quants diners porta cadascú?
% Exercici d'Alícia Espuig
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-3}La Mariona va tres diumenges seguits a la pastisseria. El primer diumenge compra tres pastissets de moniato, dos de nata i un de xocolata, i es gasta 15,75 €. El segon diumenge compra dos pastissets de moniato, un de nata i un de xocolata, i es gasta 10 €. El tercer dia compra un pastisset de cada tipus i es gasta 7,5 €. Quin és el preu de cada pastisset?
% Exercici d'Alícia Espuig
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{exer:espuig-sistemes-4}En una caixa hi ha  pomes, peres i plàtans. En total sumen 12 peces de fruita. El triple del nombre de pomes és igual a la suma del nombre de peres i plàtans i el doble del nombre de peres és igual a la suma del nombre de pomes i plàtans. Trobeu el nombre de pomes, peres, i plàtans.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{xisco:exer4.21}Dos amics inverteixen 20000 € cadascun. El primer col·loca una quantitat $A$ al 4\% d'interès, una quantitat $B$ al 5\% i la resta al 6\%. L'altre inverteix la mateixa quantitat $A$ al 5\%, la quantitat $B$ al 6\% i la resta al 4\%. Determineu les quantitats $A$, $B$ i $C$ si el primer
obté uns interessos de 1050 € i el segon de 950 €%
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{xisco:exer4.22}Una botiga ha venut 600 exemplars d'un article per un total de 6384€. El preu original era de 12 €, però també han venut còpies defectuoses amb descomptes del 30\% i del 40\%. Si el nombre de còpies defectuoses venudes va ser la meitat del de còpies en bon estat, calculeu a quantes còpies s'aplicà el descompte del 30\%
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{xisco:exer4.23}Un caixer automàtic conté 95 bitllets de 10, 20 i 50 €, i un total de 2000€. Si el nombre de bitllets de 10€ és el doble que el nombre de bitllets de 20€, calculeu quants de bitllets hi ha de cada tipus.
\end{exercise}

\begin{exercise}\label{xisco:exer4.24}La suma de les tres xifres d'un nombre és 7. La xifra de les centenes és igual a la suma de la xifra de les desenes més el doble de la xifra de les unitats. D'altra banda, si s'inverteix l'ordre de la xifres, el nombre original disminueix en 297 unitats. Calculeu les xifres del nombre inicial
\end{exercise}