Comparison.tex

   1 \chapter{Сравнение результатов}
   2
   3 Получив решения по явной и неявной схемам и программу, строющую графики этих решений, можно заняться сравнением качества решений. Для этого будем изображать в одной системе координат графики решений по явной и неявной схеме при одинаковых значениях параметров. Кроме того, для наглядности присовокупим к ним ещё и сеточный аналог графика аналитического решения.
   4
   5 Прежде всего, заметим, что решение по неявной схеме сходится к точному решению медленнее, чем решение по явной схеме (рис.~\ref{pic:comp:12}), что выглядит несколько необычно. Это связано с более высокой погрешностью аппроксимации компонент неявной схемы.
   6
   7 \begin{figure}[!hbtp]
   8   \centering
   9   \includegraphics[width=\linewidth]{graph/solution/12}
  10   \caption{Сравнение графиков решений по явной и неявной схемам. $I = 10$, $J = 200$, $T = 1 \cdot 10^{-14}$, $h_t = 1 \cdot 10^{-16}$}
  11   \label{pic:comp:12}
  12 \end{figure}
  13
  14 При измельчении сетки по времени решение по неявной схеме резко улучшается. Это можно наблюдать на рисунке \ref{pic:comp:13}.
  15
  16 \begin{figure}[!hbtp]
  17   \centering
  18   \includegraphics[width=\linewidth]{graph/solution/13}
  19   \caption{Сравнение графиков решений по явной и неявной схемам. $I = 10$, $J = 200$, $T = 4 \cdot 10^{-14}$, $h_t = 1 \cdot 10^{-17}$}
  20   \label{pic:comp:13}
  21 \end{figure}
  22
  23 При этом неявная схема выглядит намного более устойчивой, нежели явная, что не вызывает удивления. На рисунке \ref{pic:comp:14} видно, как при одинаковых параметрах решение по явной схеме даёт неверный результат за счёт своей неустойчивости, при том, что неявная схема даёт более близкий к истине результат.
  24
  25 \begin{figure}[!hbtp]
  26   \centering
  27   \includegraphics[width=\linewidth]{graph/solution/14}
  28   \caption{Сравнение графиков решений по явной и неявной схемам. $I = 10$, $J = 200$, $T = 4 \cdot 10^{-14}$, $h_t = 5 \cdot 10^{-16}$}
  29   \label{pic:comp:14}
  30 \end{figure}
  31
  32 Таким образом, делаем следующие окончательные выводы. Численное решение нашей задачи по неявной схеме хуже аппроксимирует точное решение задачи математической физики, но при этом более устойчиво к возмущениям в вычислительном смысле.