Matematik afleverin gtil AM37

Afleveret af: Tobias Nielsen - 200975

Email:tobibobi@mip.sdu.dk 16. november 2004

0.1 Opgave A

σ = \frac{1}{M} ∑_{i=0}^{N−1}(x_{i} − ⟨x⟩)^{2}

= \frac{1}{M} ∑_{i=0}^{N−1} x_{i}^{2} + ⟨x⟩^{2} − 2x_{i}⟨x⟩

= \frac{1}{M} ∑_{i=0}^{N−1}(x_{i}^{2} + ∑_{i=0}^{N−1}⟨x⟩^{2} − 2 ∑_{i=0}^{N−1} x_{i}⟨x⟩)

= \frac{1}{M} ∑_{i=0}^{N−1} x_{i}^{2} + \frac{1}{M} ∑_{i=0}^{N−1}⟨x⟩^{2} − 2⟨x⟩\frac{1}{M} ∑_{i=0}^{N−1} x_{i}

= ⟨x^{2}⟩ + ⟨x⟩^{2} − 2⟨x⟩^{2}

= ⟨x^{2}⟩ − ⟨x⟩^{2}

0.2 Opgave B

Vi ved at μ_{02} og μ_{20} er som følger:

μ_{02} = ∑_{i=0}^{N−1}(y_{i} − ⟨y⟩)^{2}  ⇔  μ_{20} = ∑_{i=0}^{N−1}(x_{i} − ⟨x⟩)^{2}

hvis vi sætter X_{i} = (x_{i} − ⟨x⟩) og Y_{i} = (y_{i} − ⟨y⟩) bliver det som følger:

η_{20}(ϕ) = ∑_{i=0}^{N−1}(X_{i} cos(ϕ) − Y_{i} sin(ϕ))^{2}

= ∑_{i=0}^{N−1}(X_{i}^{2} cos^{2}(ϕ) + Y_{i}^{2} sin^{2}(ϕ) − 2X_{i}Y_{i} cos(ϕ) sin(ϕ))

= cos^{2}(ϕ) ∑_{i=0}^{N−1} X_{i}^{2} + sin^{2}(ϕ) ∑_{i=0}^{N−1} −2X_{i}Y_{i} cos(ϕ) sin(ϕ) ∑_{i=0}^{N−1} X_{i}Y_{i}

= cos^{2}(ϕ)μ_{20} + sin^{2}(ϕ)μ_{02} + 2 cos(ϕ) sin(ϕ)μ_{11}

0.3 Opgave C

Vi differentierer resultatet fra b og får:

η′_{20}(ϕ) = sin(2ϕ)(μ_{02} − μ_{20}) − cos(2ϕ)(2μ_{11})

Dette løses for η′_{20}ϕ = 0:

ϕ′ = \frac{1}{2} tan^{−1} (\frac{2μ_{11}}{μ_{02} − μ20}) + p\frac{π}{2}

Hvor p er en konstant.

0.4 Opgave D

Her er X_{i} og Y_{i} som tidligere beskrevet, stadig i anvendelse.

η_{11}(ϕ′) = ∑_{i=0}^{N−1}(X_{i} cos(ϕ′) − Y_{i} sin(ϕ′))(X_{i} sin(ϕ′) + Y_{i} cos(ϕ′))

= ∑_{i=0}^{N−1}(cos(ϕ′) sin(ϕ′)(X_{i} − Y_{i}) + X_{i}Y_{i}(cos^{2}(ϕ′) sin(ϕ′)) = cos^{2}(ϕ′) sin(ϕ′)(μ_{20} − μ_{02}) + μ_{11}(cos^{2}(ϕ′) − sin^{2}(ϕ′))

= \frac{1}{2} sin(2ϕ′)(μ_{20} − μ_{02} = +μ_{11} cos(2ϕ′)

= cos(2ϕ′)(\frac{1}{2} tan(2ϕ′)(μ_{20} − μ_{02}) + μ_{11})

= cos(2ϕ′)(\frac{1}{2} \frac{2μ_{11}}{μ_{02} − μ_{20}} (μ_{20} − μ_{02}) + μ_{11})

= cos(2ϕ′)(μ_{11} − μ_{11})

η_{11}(ϕ′) = 0

0.5 Opgave E

Når η′_{20}(ϕ) er lig med 0 og η′′_{20}(ϕ) er negativ, er der tale om et lokalt maksima. Derfor kan vi finde: η′′_{20}(ϕ) = 2 cos(2ϕ)(μ_{02} − μ_{20}) + 2 sin(2ϕ)(2μ_{11})

0.6 Opgave G

η_{12}(ϕ′′) = ∑_{i=0}^{N−1}(X_{i} cos(ϕ′′) − Y_{i} sin(ϕ′′))(X_{i} sin(ϕ′′) + Y_{i} cos(ϕ′′))^{2}
= μ_{12} cos^{3}(ϕ′′) + 2(μ_{21} cos^{2}(ϕ′′) sin(ϕ′′)) − 2(μ_{12} cos(ϕ′′) sin^{2}(ϕ′′)) − μ_{21} sin^{3}(ϕ′′)

Vi kan her se at hvert led vil skifte fortegn hvis der bliver tillagt π til ϕ′′. Det må derfor gælde at: η_{12}(ϕ′′) = −η_{12}(ϕ′′ + π)